超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)的確定

1、5.1超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)的確定1.超靜定結(jié)構(gòu)的概念前面討論的是靜定結(jié)構(gòu)，從本章開始我們討論超靜定結(jié)構(gòu)的受力情況。關于結(jié)構(gòu)的靜 定性可以從兩個方面來定義從幾何組成的角度來定義靜定結(jié)構(gòu)就是沒有多余聯(lián)系的幾何不 變體系；從受力的角度來定義，靜定結(jié)構(gòu)就是只用靜力平衡方程就能求出全部反力和內(nèi)力 的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)在，我們要討論的是超靜定結(jié)構(gòu)。它同樣可以從以上兩個方面來定義，從幾何組成 的角度來定義，超靜定結(jié)構(gòu)就是具有多余聯(lián)系的幾何不變體系；從受力的角度來定義，超 靜定結(jié)構(gòu)就是只用靜力平衡方程不能求出全部的反力或內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。如圖5.1(a)所示的簡支梁是靜定的，當跨度增加時，其內(nèi)力和變形都將迅速增加。為

2、減少梁的內(nèi)力和變形，在梁 的中部增加一個支座，如圖5.1(b)所示，從幾何組成的角度分析，它就變成具有一個多余聯(lián)系的結(jié)構(gòu)。也正是由于這個多余聯(lián)系的存在，使我們只用靜力平衡方程就不能求出全部4個約束反力Fax、Fay、Fby、Fey和全部內(nèi)力。具有多余約束、僅用靜力平衡條件不能求出全 部支座反力或內(nèi)力的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。圖5.1(b)和圖5.2所示的連續(xù)梁和剛架都是超靜定結(jié)構(gòu)。圖5.3給出了工程中常見的幾種超靜定梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)和排架。本章 討論如何用力法計算這種類型的結(jié)構(gòu)。AArr r(b)71ST4,J圖5.1圖5.2圖5.3第5章力法1032.超靜定次數(shù)的確定力法是解超靜定結(jié)

3、構(gòu)最基本的方法。用力法求解時，首先要確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。 通常將多余聯(lián)系的數(shù)目或多余未知力的數(shù)目稱為超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。如果一個超靜 定結(jié)構(gòu)在去掉n個聯(lián)系后變成靜定結(jié)構(gòu)，那么，這個結(jié)構(gòu)就是n次超靜定。顯然，我們可用去掉多余聯(lián)系使原來的超靜定結(jié)構(gòu)（以后稱原結(jié)構(gòu)）變成靜定結(jié)構(gòu)的方法來確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。去掉多余聯(lián)系的方式，通常有以下幾種：（1）去掉支座處的一根支桿或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個聯(lián)系。如圖5.4所示結(jié)構(gòu)就是一次超靜定結(jié)構(gòu)。圖中原結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系去掉后用未知力X1代替。去掉一個單鉸，相當于去掉兩個聯(lián)系把剛性聯(lián)結(jié)改成單鉸聯(lián)結(jié)，相當于去掉一個聯(lián)系（圖5.6）。圖5.6（町 7T圖5.

4、4（4）在剛性聯(lián)結(jié)處切斷，相當于去掉三個聯(lián)系（圖5.7）。應用上述去掉多余聯(lián)系的基本方式，可以確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。應該指出，同一個 超靜定結(jié)構(gòu)，可以采用不同方式去掉多余聯(lián)系，如圖5.8（a）可以有三種不同的去約束方法，分別如圖5.8（b）、（c）、（d）所示。無論采用何種方式，原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)都是相同的。所以說去約束的方式不是惟一的。這里面所說的去掉“多余聯(lián)系”（或“多余約束”），是以保證結(jié)構(gòu)是幾何不變體系為前提的。如圖5.9（a）所示中的水平約束就不能去掉，因為它是使這個結(jié)構(gòu)保持幾何不變的“必要約束”（或“必要聯(lián)系”）。如果去掉水平鏈桿（圖5.9b），則原體系就變成幾何可變了。丄卜(&#

5、187;)h<圖5.9如圖5.10(a)所示的多跨多層剛架，在將每一個封閉框格的橫梁切斷，共去掉34=12個多余聯(lián)系后，變成為如圖5.10(b)所示的靜定結(jié)構(gòu)，所以它是12次超靜定的結(jié)構(gòu)。如圖5.10(c)所示剛架，在將頂部的復鉸(相當于兩個單鉸)去掉后，變成為如圖5.10(d)所示的靜定結(jié)構(gòu)，所以它是 4次超靜定的結(jié)構(gòu)。圖 5.105.2力法原理和力法方程1. 力法基本原理力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)最基本的方法。下面通過一個簡單的例子來說明力法的基本 原理。如圖5.11(a)所示為一單跨超靜定梁，它是具有一個多余聯(lián)系的超靜定結(jié)構(gòu)。如果把支 座B去掉，在去掉多余聯(lián)系B支座處加上多余未知力Xi，

6、原結(jié)構(gòu)就變成靜定結(jié)構(gòu)，說明它是一次超靜定結(jié)構(gòu)。此時梁上(圖5.11b)作用有均布荷載 q和集中力Xi,這種在去掉多余聯(lián)系后所得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)，代替多余聯(lián)系的未知力X1稱為多余未知力，如果能設法求出符合實際受力情況的X1，也就是支座B處的真實反力，那么，基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余力X1共同作用下的內(nèi)力和變形就與原結(jié)構(gòu)在荷載作用下的情況完全一樣，從而將超靜定結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)問題。如圖5.11(b)所示的基本結(jié)構(gòu)上的B點，其位移應與原結(jié)構(gòu)相同，即b=0。這就是原結(jié)構(gòu)與基本結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移相同的位移條件?；窘Y(jié)構(gòu)上同時作用有荷載和多余未知力X1,稱其為基本體系。我們可以把基本體系分解

7、成分別由荷載和多余未知力單獨作用在基 本結(jié)構(gòu)上的這兩種情況的疊加(圖5.11(c)和(e)的疊加)。用11表示基本結(jié)構(gòu)在 X1單獨作用下 B點沿X1方向的位移(圖5.11(c)，用11表示當 X1=1時B點沿X1方向的位移，所以有 11= 11X1。這里11時物理意義為：基本結(jié)構(gòu)上， 由于1=1的作用，在X1的作用點，沿X1方向產(chǎn)生的位移。用1p表示基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下B點沿X1方向的位移。根據(jù)迭加原理，B點的位移可視為基本結(jié)構(gòu)上，上述兩種位移之和，即111X110有11X110(5-1)上式是含有多余未知為X1的位移方程，稱為力法方程。式中，11稱作系數(shù)；1稱為自由項，它們都表示靜定結(jié)構(gòu)在已

8、知荷載作用下的位移。利用力法方程求出X1后就完成了把超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成靜定結(jié)構(gòu)來計算的過程。上述計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法稱為力法。它的基本特點就是以多余未知力作為基本未知 量，根據(jù)所去掉的多余聯(lián)系處相應的位移條件，建立關于多余未知力的方程或方程組，我 們稱這樣的方程(或方程組)為力法典型方程，簡稱力法方程。解此方程或方程組即可求出 多余未知力。F面計算系數(shù)11和自由項111l 2l l311llEI233EI丄1笙l3 l1EI3248EI11 p 3X1: 8ql()把11和1代入5-1式得計算結(jié)果Xi為正值，表示開始時假設的Xi方向是正確的(向上)。多余未知力 Xi求出后，其內(nèi)力可按靜定結(jié)構(gòu)的方

9、法進行分析，也可利用迭加法計算。即將Xi=l單獨作用下的彎矩圖M1乘以X1后與荷載單獨作用下的彎矩圖MP迭加。用公式可表示為M MiX, M通過這個例子，可以看出力法的基本思路是：去掉多余約束，以多余未知力代替，再根據(jù)原結(jié)構(gòu)的位移條件建立力法方程，并解出多余未知力。這樣就把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜 定問題了。由于去掉多余聯(lián)系的方式不同，同一個超靜定問題可能選擇幾個不同的基本結(jié)構(gòu)。圖5.12(a)就是圖5.11(a)所示的單跨超靜定梁的又一基本結(jié)構(gòu)，其多余未知力X,是原結(jié)構(gòu)固定端支座的反力偶。讀者可根據(jù)位移條件列出力法方程，并按圖5.12所示的Mi圖和Mp圖，求出系數(shù)和自由項，解出Xi并作出M圖，如圖

10、5.12(f)所示。應該指出的是：不論選用哪種基本結(jié)構(gòu)，力法方程的形式都是不變的，但是力法方程中的系數(shù)和自由項的物理 意義與數(shù)值的大小可能不同。圖 5.11 nTrrnTrTTvr材、圖 5.122. 力法典型方程以上我們以一次超靜定梁為例，說明了力法原理，下面我們討論多次超靜定的情況。如圖5.13(a)所示的剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)。下面以 B點支座的水平和豎直方向反力Xi、X2為多余未知力，確定基本結(jié)構(gòu)，如圖5.13(b)所示。按上述力法原理，基本結(jié)構(gòu)在給定荷載和多余未知力 Xi、X2共同作用下，其內(nèi)力和變形應等同于原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。原 結(jié)構(gòu)在鉸支座 B點處沿多余力 Xi和X2方向的位移(或

11、稱為基本結(jié)構(gòu)上與 Xi和X2相應的位移)都應為零，即1 02 0 (5-2)(町* J.-f£11(bNqKH+tEbJ亍糾菇帛站構(gòu)式(5-2)就是求解多余未知力Xi和X2的位移條件。圖 5.13如圖5.14所示，1表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力 Xi的作用點沿其作用方向，由于荷 載單獨作用時所產(chǎn)生的位移；2表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力 X2的作用點沿其作用方向，由于荷載單獨作用時所產(chǎn)生的位移；j表示基本結(jié)構(gòu)上 Xi的作用點沿其作用方向，由于Xj=1單獨作用時所產(chǎn)生的位移。根據(jù)迭加原理，式(5-2)可寫成以下形式11 X112X3(5-3)22 X 311 X101圖 5.14式(5-3)就是

12、為求解多余未知力Xi和X2所需要建立的力法方程。其物理意義是：在基本結(jié)構(gòu)上，由于全部的多余未知力和已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應與 原結(jié)構(gòu)中相應的位移相等。在本例中等于零。在計算時，我們首先要求得式(5-3中的系數(shù)和自由項，然后代入式(5-3)，即可求出Xi和X2，剩下的問題就是靜定結(jié)構(gòu)的計算問題了。如圖5.15(a)所示為一 3次超靜定剛架，我們將原結(jié)構(gòu)的橫梁在中間處切開，取這樣切 為兩半的結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，如圖5.15(b)所示。由于原結(jié)構(gòu)的實際變形是處處連續(xù)的，顯然，同一截面的兩側(cè)不可能有相對轉(zhuǎn)動或移動。因此，在荷載和各多余力的共同作用下，基本結(jié)構(gòu)切口兩側(cè)的截面，沿各多余力

13、指向的相對位移都應為零，即:(5-4)30圖 5.15式（5-4）就是求解多余未知力X1、X2和X3的位移條件。根據(jù)迭加原理，式(5-4)可改寫成11 X112 X213 X31 P021 X122X223X 32 P031 X132 X233 X33 P0這就是求解多余未知力 X1、X2和X3所需要建立的力法方程。因為X1、X2和X3都是成對的未知力（或力偶），所以式（5-5）中與它們相應的 3及應理解為相對位移（相對移動或 相對轉(zhuǎn)動）。n次超靜定的結(jié)構(gòu)，用力法3. 力法一般方程的建立用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對于n個多余計算時，可去掉n個多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在

14、去掉的多余聯(lián)系處代以未知力。相應地也就有n個已知的位移條件（i 1,2丄，n）。據(jù)此可以建立 n個關于多余未知力的方程21X1X22 2X233MMn1 X1.2X2.3X3當與多余力相應的位移都等于零，即i0(i11X112X213X321 122 2233MMMn1 1n22n3 311X112 X213X31nXn1 P12nXnO T>2 Pi(5-6)MnnXnn P11,2,L,n)時,則式（5-6）即變?yōu)?nXn1P02nn2 P0(5-7)nn nnPii (ij)稱為主式（5-6）或（5-7）就是力法方程的一般形式。通常稱為力法典型方程。 在以上的方程組中，位于從左上方

15、至右下方的一條主對角線上的系數(shù)第5章力法109系數(shù)，主對角線兩側(cè)的其他系數(shù)Mi j)稱為副系數(shù)，最后一項iP稱為自由項。所有系數(shù)和自由項都是基本結(jié)構(gòu)上與某一多余未知力相應的位移，并規(guī)定以與所設多余未知力方 向一致為正。由于主系數(shù)j代表由于單位力Xi 1的作用，在其本身方向所引起的位移，它總是與該單位力的方向一致，故總是正的。而副系數(shù)Ji j)則可能為正、為負或為零。根據(jù)位移互等定理，有ij ji，它表明，力法方程中位于對角線兩側(cè)對稱位置的兩個副系數(shù)是相等的。力法方程在組成上具有一定的規(guī)律，其副系數(shù)具有互等的關系。無論是哪種n次超靜定結(jié)構(gòu)，也無論其靜定的基本結(jié)構(gòu)如何選取，只要超靜定次數(shù)是一樣的，

16、則方程的形式和組成就完全相同。因為基本結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，所以力法方程和式(5-6)及(5-7)中的系數(shù)和自由項都可按靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法求得。對于梁和剛架，可按下列公式或圖乘法計算2iiM idsElijEl(5-8)M iMpElds式中，Mi、Mj和Mp分別代表在Xi=1、Xj=1和荷載單獨作用下基本結(jié)構(gòu)中的彎矩。 從力法方程中解出多余力Xi(i=1,2,n)后，即可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求原結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力。或按下述疊加公式求出彎矩M X! M 12 M 2 L Xn M n M(5-9)再根據(jù)平衡條件即可求其剪力和軸力。根據(jù)以上所述，用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下：(1) 去掉結(jié)構(gòu)

17、的多余聯(lián)系得靜定的基本結(jié)構(gòu)，并以多余未知力代替相應的多余聯(lián)系的 作用。在選取基本結(jié)構(gòu)的形式時，以使計算盡可能簡單為原則。(2) 根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和荷載共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應與原結(jié)構(gòu) 相應的位移相同的條件，建立力法方程。(3) 作出基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖(或?qū)懗鰞?nèi)力表達式)，按照求位移的方法計算方程中的系數(shù)和自由項。(4) 將計算所得的系數(shù)和自由項代入力法方程，求解各多余未知力。(5) 求出多余未知力后，按分析靜定結(jié)構(gòu)的方法，繪出原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖，即最后內(nèi)力圖。最后內(nèi)力圖也可以利用已作出的基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖按公式(5-9)求得。5.5.3用力法計算超靜定結(jié)

18、構(gòu)1.梁和剛架【例5-1】試分析如圖5.16, (a)所示單跨超靜定梁。設 EI為常數(shù)。 解：此梁具有3個多余聯(lián)系，為3次超靜定。取基本結(jié)構(gòu)及 3個多余力，如圖5.16(b)2所示。根據(jù)支座 B處位移為零的條件，可以建立以下力法方程11 X112 X113X321 X122X223X331 X132 X233 X3其中，X1和X3分別代表支座 B處的豎向反力和水平反力， X2代表支座B處的反力偶。作 基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖和荷載彎矩圖，如圖5.16（c）、（d）、（e）、所示。利用圖乘法求得力法方程的各系數(shù)和自由項為;|=i111 (1H(-I)I33EI1221丄山IEl 21)I22EI22

19、1!T(I1 1)13311P2P231 rPa1 1(Pa El 232El0(I1)Pa2EIPa (31 a)6EI（C）3)2竺5.163P330 ；考慮軸力對變形關于33的計算分兩種情況：不考慮軸力對變形的影響時,的影響時，330。將以上各值代入力法方程,而在前兩式中消去2l3X1 3l2X23l2X16IX2后，得6EIPa2 (3I 3Pa2a) 00解以上方程組求得Pa2 (I 2b) X pX2可以看出，按不同的假設有不同的結(jié)果。若不考慮 軸力對變形的影響(§3=0)，則第三式變?yōu)橛闪Ψǚ匠痰牡谌角蠼釾1Pa2bX3時,2 2Pa (I 2b) Pa b03020

20、 X300I3I2所以X3為不定值。按此假設，不能利用位移條件求出軸力。如考慮軸力對變形的影 響，則330，而3P仍為零，所以X3的值為零。用迭加公式 M X1 M12M2 L XnMn M 計算出兩端的最后彎矩，畫出最后彎矩圖，如圖5.16(g)所示。【例5-2】試作如圖5.17(a)所示梁的彎矩圖。設B端彈簧支座的剛度為k, EI為常數(shù)。解：此梁是一次超靜定，去掉支座B的彈簧聯(lián)系，代以多余力X1。得圖5.17(b)所示B處向下移動的基本結(jié)構(gòu)。由于 B處為彈簧支座，在荷載作用下彈簧被壓縮,1X1 k(負號表示移動方向與多余力 X1的方向相反)，據(jù)此建立如下力法方程。-X10k11 Xi1P或

21、改寫成X1WHH(b) 丫圖 5.17作基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖和荷載彎矩圖，利用圖乘法可求得32IPa (3I a)11；1 p3EL6EL第5章力法111將以上各值代入力法方程解得圖 5.18Xi21a)2Pa (31 3_6ELk2 3b Pa 2b_ - 3EI t 13kl由上式可以看出，由于 而且與梁 AB的彎曲剛度2Pa2 1Xi Pa5B端為彈簧支座，多余力X1的值不僅與彈簧剛度 k值有關,EI有關。當 k= a時，相當于 B端為剛性支承情形，此時3b2b2l3l3當k=0時，相當B端為完全柔性支承(即自由端)情形，此時X10故實際上 B端多余力(即B支座處豎向反力)在X1和X1之

22、間。求得 X1后，根據(jù)5.17, c 所示。3 3bPa b 13a3EIklMX1M1 Mp作出最后彎矩圖，如圖r 3 EL ab , 2 Pabkl 2Ma2 3EI l 1 T klMe【例5-3】用力法計算如圖5.18(a)所示剛架。解：剛架是二次超靜定結(jié)構(gòu)，基本結(jié)構(gòu)如圖11 X121X1nTHH4(W 4)jTnTTrn-Qy2(3k 4(05.18(b)所示。力法方程為12 X 21P 022 X 22 P 0(d) MJ flqa(c) A/,圖第5章力法121作Mi、M2和Mp圖，用圖乘法計算系數(shù)和自由項，得EI2 aEI2 33EI2 aK2Ka3K22-a； 12 21 &

23、#39;EI233EIEI2K21 2111231PEIaqaqaaa2EI 324K2 a1 2K42P'EI2"qaqa24EI代入力法方程，解得K 1 a22 3K 1 311a3aaK 3 a 2EI4K 14qa 8EIX13(K1)2(3K4)qaX234(3K4)qaM圖如圖5.18(f)所示，讀者按 M圖作出Fs圖?！纠?-4】試作如圖5.19(a)所示剛架的彎矩圖。設EI為常數(shù)。解：此剛架是三次超靜定，去掉支座B處的三個多余聯(lián)系代以多余力X1、X2和X3,得如圖5.19(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。根據(jù)原結(jié)構(gòu)在支座B處不可能產(chǎn)生位移的條件，建立力法方程如下。11X1

24、21X131X112 X222 X 232 X 2分別繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖和荷載彎矩圖, 圖乘法求得各系數(shù)和自由項如下2 1211 ( 6 6 6)2EI 2313 X323 X333 X3如圖1P2P3P05.19(c)、(d)、(e)和(f)所示。用1446)百6m6tn圖 5.192C、112 c、 13222(6 66)-(-6 66)2EI3EI 23EI21833(1 61)(1 61)2EI3EIEI1111901221(666)( 6 6 6)2EI23EI2EI2111301331(6 61)(6 6 1)2EI23EI2EI1 1 ,1亠c八 242332 -(66 1

25、)-(66 1)2EI3EI2EI11 .1180ip(一 126 6 -6)2EI34EI117562P(126 66)2EI 3EI111263P(126 6)2EI 3EI將系數(shù)和自由項代入力法方程，化簡后得24X!15X25X331.5015Xi 22X24X3126 05人4X24X3321 0解此方程組得：X1=9 kN ；X2=6.3 kN ; X3=30.6 kN m按迭加公式計算得最后彎矩圖如圖5.20。從以上例子可以看出，在荷載作用下，多余力和內(nèi)力的大小都只與各桿彎曲剛度的相對值有關，而與其絕對值無關。對于同一材料構(gòu)成的結(jié)構(gòu)（即梁、柱的E值相同），材料的彈性模量E對多余力和

26、內(nèi)力的大小也無影響。14.414.430,6圖 5.202.超靜定桁架和排架用力法計算超靜定桁架，在只承受結(jié)點荷載時，由于在桁架的桿件中只產(chǎn)生軸力，故 力法方程中的系數(shù)和自由項的計算公式為ijijijFNil"EaFn F NjlEAFNi FNP lEAij2FNilEA(5-10)Xn F Nn FnEA為常數(shù)。桁架各桿的最后內(nèi)力可按下式計算Fn X1F N1 + X2 F N2【例5-5】試分析如圖5.21(a)所示桁架。設各桿解：此桁架是一次超靜定。切斷 BC桿代以多余力 X1,得如圖5.21(b)所示的基本結(jié) 構(gòu)。根據(jù)原結(jié)構(gòu)切口兩側(cè)截面沿桿軸方向的相對線位移為零的條件，建立

27、力法方程11X11P 0圖 5.21分別求出基本結(jié)構(gòu)在單位力X!1和荷載單獨作用下各桿 的內(nèi)力Fni和Fnp(圖 5.21(c)、(d)，即可按式(5-10)求得系數(shù)和自由項F Nil211EA EA12 a21 a (2)22a空(2EA22)Fn1Fnp1P1 1P a 1P a (2P)2( i2).2 a Pa(2 2 2)EAEAEA代入力法方程求得1PPX1112各桿軸力按下式計算FnX1 FN1Fnp最后結(jié)果示于圖5.21(e)中。【例5-6】用力法計算如圖5.22(a)所示桁架各桿軸力。設各桿EA為常數(shù)。分析：(1) 本題桁架和荷載都是對稱的，宜取對稱的基本體系。取對稱基本體系

28、時，可計算 半個桁架的桿件。(2) 計算ii和ip時，只考慮軸向變形的影響。計算半個桁架的變形時，EF桿長度可取其一半長度。最后結(jié)果為半個桁架桿件變形總和的兩倍。因取基本體系時作為多余約束的鏈桿已切斷，基本結(jié)構(gòu)在Xi=l作用下，ii中應包含切斷桿的變形影響；在荷載作用下切斷桿軸力為零，1p中切斷桿的變形影響為零。解：(1) 切斷對稱軸上的 CD鏈桿，代以多余未知力Xi,得到基本體系和基本未知量，如圖5.22(b)所示。iiXii p 0。，并求 ii、 ip。5.22(c)、(d)所示。(2) 列力法方程：(3) 計算 Fn i、FNPFni、Fnp，圖如圖iiipFn iiEAFNil Fn

29、pEAiiEA1i3.5EA27EAip解方程:XiFni FnP|EAip i260i2 27630i260EA EA46.57(kN)(5)利用疊加公式 所示。F NFNiXiFnp計算機軸力。各桿軸力結(jié)果見表5.i及圖5.22(e)具體計算可列表進行，見表5.i。桿件EAI (m)FNp(kN)F NiFn i Fnp 1F Ni1FNFNiXiFNPACEA4.24-56.57000-56.57AEEA3.00+40.00000+40.00CEEA3.00+70.003/4i57.50i.69+35CFEA5.00-50.00543i2.507.8i+8.34EFEA2.00+80.0

30、0ii602+33.33CDEA2.000i2-46.67E630i3.5T40LN +40khu40圖 5.22【例5-7】如圖5.23所示為兩跨廠房排架的計算簡圖。求在圖示吊車荷載作用下的內(nèi) 力。計算數(shù)據(jù)如下。1) 截面慣性矩左柱：上段 lsi=10.1 杓4 cm4，下段 lxi=28.6 >104cm4右柱及中柱：上段 Is2=16.1 104cm4,下段 1x2=81.8 X04cm4(2)右跨吊車荷載豎向荷載 PH=108kN , PE=43.9kN。由于 Ph、Pe與下柱軸線有偏心距 e=0.4m，因此在 H、E 點的力偶荷載為 MH=PHe=43.2kN m ; ME=P

31、Ee=17.6kN m。解：橫梁FG和DE是兩端鉸接的桿件，在吊車荷載作用下橫梁起鏈桿作用，只受軸 力。此排架是兩次超靜定結(jié)構(gòu)。取鏈桿FG和DE的軸力X1和X2為多余未知力。截斷兩個鏈桿的軸向約束，在切口 處加上軸力 X1和X2,得出基本體系如圖 5.24(b)所示。S-：圖 5.2443.6LN * ni=17.6kN*r這里需要說明兩點：第一，多余未知力 X1和X2都是廣義力，每個廣義力是由數(shù)值相等、方向相反的一對 力組成的。FG在切口處的詳細情形。第二，通常說的切斷一根桿件，是指在切口處把與軸力、剪力和彎矩相應的三個約束 全部切斷。這里說的切斷桿件中的軸向約束，即指切斷與軸力相應的那一個

32、約束，另外兩 個約束仍然保留。如圖 5.24(b)所示為桿力法基本方程為11 X112 X21P021 X122 X22P 0這里1和2分別表示與軸力 X1和X2相對應的廣義位移，即切口處兩個截面的軸向 相對位移。因此，這里力法基本方程所表示的變形條件為：切口處的兩個截面沿軸向保持 接觸，即沿軸向的相對位移為零。作基本結(jié)構(gòu)的Mp、M!和M2圖(圖5.25(a)、(b)、5.24(a)中小圓圈內(nèi)的數(shù)字是各桿(c)，由此求得自由項和系數(shù)如下(圖ipM1M PdsEIEI的相對值)12.60 9.356.751P11M 2 M pdsEI2M1 dsEI22128.1018.1011.59(2.6

33、6.75) 5.982M2 ds2.1El12.831218.1(43.217.6)303(m)6.75 6.7522.6 2.626.75 6.7517.62.649.5(m)6.7518.102.1 2.118.10(2.16.756.75 6.754.65)4.43234.656.754.656.757.1020(m)2.1 2.125.2050.9(m)力法方程為73.4X!20X!20X250.9X2303 049.50解方程得X14.33kN，X10.73kN第5章力法127在排架計算中，柱是階梯形變成面桿件，柱底為固定端，柱頂與屋架為鉸接。通常忽 略屋架軸向變形的影響。利用迭加公

34、式 M M1X1 M2X2 Mp作M圖，如圖5.25(d)所示。I.b(a) 帆,圖 ON.th)(c) 圖仲(b) 隨圖(d)畸圖(kNui)圖 5.253.超靜定組合結(jié)構(gòu)桁架是鏈桿體系，計算其位移時只考慮軸向力的影響。組合結(jié)構(gòu)中既有鏈桿又有梁式 桿，計算位移時，對鏈桿只考慮軸力的影響，而對梁式桿通常可忽略軸力和剪力的影響， 只考慮彎矩的影響?！纠?-8】如圖5.26(a)所示為一次超靜定的組合結(jié)構(gòu)，求在圖示荷載作用下的內(nèi)力。各桿的剛度給定如下。桿AD為梁式桿：El=1.4 x104kN m2EA=1.99 X06kN桿AC和CD為鏈桿：EA=2.56 XI05kN桿BC為鏈桿：EA=2.2

35、0 X105kN解：(1)求基本體系和力法方程切斷多余鏈桿 BC,在切口處代以未知軸力Xi，得到如圖5.26(b)所示基本體系?；?1體系由于荷載和未知力在 零。由此得力法方程：X1方向的位移應當為零，亦即切口處兩截面的相對位移應為11 X11P0UOkNHOkN1.225m1 .?5m1 75m t 1.225m«H-h3kN/m5 95mp=1lOkNp=IIOkN圖 5.26(2)求系數(shù)和自由項。 在基本結(jié)構(gòu)切口處加單位力Xi=1。各桿軸力可由結(jié)點法求得，如圖5.27 (a)所示。桿AD還有彎矩，Mi圖如圖5.27(b)所示。各桿沒有軸力，只有桿基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下，產(chǎn)生的兩

36、個Mp圖分別如圖5.27(c)和(d)所示。FN 1lEA 1.4AD有彎矩，由集中荷載和均布荷載11匠ds +EI11.01.49 2.9751.49216(1.862 5.95)1.99 1061P52.56 10M1 M P dsEl(1.9323.09)52.02 10(120.80)0.000419m/kN-0.643141.4 102 (135(3)求多余未知力1.75)X113.25 2.9750.61 1.491P1.490.0438(m)12- 1.35 1.22520.0438104.5(kN)(壓力)0.000419求內(nèi)力 內(nèi)力疊加公式為FnFN 1X1F NPMM1X1

37、 MP各桿軸力及橫梁AD彎矩圖見圖5.28(a)、(b)所示。(c)隨周(d) AfpSf圖 5.27(5)討論由圖5.28(b)可以看出，橫梁 AD在中點B受到下部桁架的支承反力為104.5kN，這時橫梁最大彎矩為79.9kN如果沒有下部桁架的支承，則橫梁 AD為一簡支梁，其彎矩圖如圖5.29(a)所示，其最大彎矩為148.3kN m?？梢娪捎阼旒艿闹С校瑱M梁的最大彎矩減少了 46%。還需指出，這個超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布與橫梁和桁架的相對剛度有關。如果下部鏈桿 的截面很小，則橫梁的 M圖接近于簡支梁的M圖(圖5.29(a)。如果下部鏈桿的截面很大，則橫梁的 M圖接近兩跨連續(xù)梁的M圖(圖5.29

38、(b)。(a)(b)79,9 lO4.SkN 79.9上'58.0 A(a) M 圖(b)圖 5.28圖 5.29M圖，其中【例5-9】用力法計算如圖5.30(a)所示組合結(jié)構(gòu)的鏈桿軸力，作第5章力法129-L。并討論當EA 0和EA時鏈桿軸力及 M圖的變化。A 10說明：(1) 組合結(jié)構(gòu)是由梁式桿和鏈桿組成的，用力法計算時，通常切斷鏈桿作為基本體 系，以鏈桿軸力為基本未知量。(2) 計算系數(shù)和自由項時，注意系數(shù)中應包含切斷鏈桿的軸向變形影響，因鏈桿已切 斷，自由項中的鏈桿軸向變形為零。解：這是一次超靜定組合結(jié)構(gòu)，取基本體系及相應的基本未知量，如圖5.30(b)所示。力法方程為11 X

39、11P0計算代、M1> MP，如圖5.30(c)、(d);計算11、1P。M12F 2112L5 3L11-dx2 -L L-L(L L L)L3EIEAEI23EA3ELEAM12m1P112 11 PdxLPLLPLLEIEI23 25PL3617rlo丄2丄UDnlnnnTrTTrT5iii)圖 5.30第5章力法133解方程X11P11丄5plEl 62l3丄3EI EAIl2當-時,A 10(5)作M圖,校核。X1如圖25 P。535.30(e)所示。校核公式:應含有鏈桿的軸向變形項(7)討論。PL6EI2l33EI由X1當EA時X1M1M Fn 1 FndxEl)。EA(請同

40、學自己完成。注意1的計算公式中可以看出。EAP，由M2M1X1Mp得到M圖，如圖5.30(f)所示。這時鏈桿 AB相當于一剛性桿，結(jié)構(gòu)可以看成是B端為固定鉸支座的剛架，如圖5.30(h)所示。5.4 對稱性的利用對于超靜定結(jié)構(gòu)來說，對稱結(jié)構(gòu)是幾何形狀和剛度分布都對稱的結(jié)構(gòu)。而對于靜定結(jié) 構(gòu)來說，不論剛度分布是否對稱，只要幾何形狀對稱就是對稱結(jié)構(gòu)。我們用力法分析超靜定結(jié)構(gòu)時，力法方程是多余未知力的線性代數(shù)方程組，需要計算 方程的系數(shù)和解聯(lián)立方程。其結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)越高，方程數(shù)量越多，計算工作量就越 大。而主要工作量的大小取決于典型方程，并且需要計算大量的系數(shù)和自由項并求解該線 性方程組。我們利用

41、對稱性來計算超靜定結(jié)構(gòu)，其目的就是要簡化計算過程。要簡化計算 必須從簡化典型方程著手。在典型方程中若能使一些系數(shù)和自由項等于零，則計算可得到 一定程度的簡化。通過對典型方程中系數(shù)的物理意義的分析我們知道，主系數(shù)是恒為正 數(shù)，因此只能從副系數(shù)、自由項和基本未知量這三個方面考慮。力法簡化的原則是：使盡 可能多的副系數(shù)和自由項等于零。這樣不僅簡化了系數(shù)的計算工作，也簡化了聯(lián)立方程的 求解工作。為達到這一目的，本節(jié)我們討論利用結(jié)構(gòu)的對稱、荷載的對稱和反對稱，來簡 化計算。實際工程中很多結(jié)構(gòu)是對稱的，利用它的對稱性可簡化計算過程。1.選取對稱的基本結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)如圖5.31(a)所示，它有一個對稱軸。對稱

42、包含兩方面的含義。(1) 結(jié)構(gòu)的軸線形狀對稱，幾何形狀和支承情況對稱。(2) 各桿的剛度(EI和EA等)對稱。取對稱的基本結(jié)構(gòu)如圖5.31(b)所示，此時，多余未知力有3對，它們是一對彎矩 Xi和一對軸力 X2是正對稱的，還有一對剪力X3是反對稱的。所謂正對稱是指繞對稱軸折疊后其兩個力的大小、方向和作用線均重合；所謂反對稱是指繞對稱軸折疊后兩個力的大 小、作用點相同，而方向相反，作用線重疊。對稱軸基本如樂圖 5.31繪出基本結(jié)構(gòu)在各多余未知力單位力作用下的彎矩圖，如圖5.32所示?？梢钥闯?Mt圖和M2圖是正對稱的，而 M3圖是反對稱的。由于正對稱和反對稱的圖形圖乘時恰 好正圖 5.32所以可

43、得典型方程中的副系數(shù)0。于0,負抵消，使結(jié)果為零, 是，典型方程便簡化為I11 X112 X221 X122 X 233 X 32P3P由此可見，典型方程已分為兩組，一組只含正對稱的多余未知力 只含反對稱的多余未知力 X3。X1和X2，而另一組2 選擇對稱或反對稱的荷載(荷載分組)如果作用在對稱結(jié)構(gòu)上的荷載也是正對稱的(圖5.33(a),(圖5.33b)，于是有3P 0。由典型方程的第3式可知反對稱的多余未知力須計算正對稱的多余未知力Xi和X2。最后的彎矩圖為 m m1x1 m2x2正對稱的，其形狀如圖5.33(c)所示。由此可推知：對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)上所有的反力、內(nèi)力及位移 (

44、圖5.33(a)中虛線所示)都是正對稱的。同時必須注意，此時剪力 圖是反對稱的，這是由于剪力的正負號規(guī)定所致，而剪力的實際方向則是正對稱的。Mp圖也是正對稱的X3=0 ,因此只Mp ,它也將是(a)(b)圖 5.33如果作用在結(jié)構(gòu)上的荷載是反對稱的，如圖5.34(a)所示，作出Mp圖如圖5.34(b)所示，則同理可證，此時正對稱的多余未知力X1=X2=0，只剩下反對稱的多余未知力X3。最后彎矩圖為 MM3X3 Mp ,它也是反對稱的，如圖5.34(c)所示，且此時，結(jié)構(gòu)上所有反力、內(nèi)力和位移都是反對稱的。但必須注意，剪力圖是正對稱的，剪力的實際方向則是 反對稱的。JT<r4TTTrs(b

45、) V 圖(a)變形圖 5.34通過前面的分析可得出如下結(jié)論：(1) 對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移都是正對稱的。(2) 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移都是反對稱的。也就是說，對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，反對稱多余未知力必等于零；在反對稱荷 載作用下，正對稱的多余未知力必等于零，只需計算反對稱多余未知力?！纠?-10】求作如圖5.35(a)所示剛架在水平力 P作用下的彎矩圖。解：荷載P可分解為正對稱荷載(圖5.35(b)和反對稱荷載(圖5.35(c)。圖 5.35在正對稱荷載作用下(圖5.35b)，可以得出只有橫梁承受壓力P/2，而其他桿無內(nèi)力的結(jié)論。這是因為在計算剛架時通

46、常忽略軸力對變形的影響，也就是忽略橫梁的壓縮變形。 在這個條件下，上述內(nèi)力狀態(tài)不僅滿足了平衡條件，也同時滿足了變形條件，所以它就是 真正的內(nèi)力狀態(tài)。因此，為了求如圖5.35 (a)所示剛架的彎矩圖，只須求作如圖 5.35(c)所第5章力法1352ii6kPhip6k121ii(b)Ph©一十n "門kftlJkBjJPh1PXi2EIi4EI1L3L2h2得示中剛架在反對稱荷載作用下的彎矩圖即可。圖 5.36圖 (b) kfti小吋的M圈(c) k-3irlw圖 (d) MW大時的師I在反對稱荷載作用下，基本體系如圖5.36(a)所示。切口截面的彎矩、軸力都是對稱的未知力，

47、應為零；只有反對稱未知力Xi存在?；窘Y(jié)構(gòu)在荷載和未知力方向的單位力作用下的彎矩圖，如圖5.36(b)、(c)所示。由此得剛架的彎矩圖如圖5.37(a)所示。k恨小時代入力法方程，并設，kPh2L12EI2()pJ倉7w62幡防丨"陽I 4圖 5.37第5章力法141結(jié)合上例討論如下：彎矩圖隨橫梁與立柱剛度比值k而改變。(1) 當橫梁剛度比立柱剛度小很多時，即k很小時，彎矩圖如圖 5.37(b)所示，此時柱頂彎矩為零。(2) 當橫梁剛度比立柱剛度大很多時，即k很大時，彎矩圖如圖 5.37(d)所示，此時柱的彎矩零點趨于柱的中點。(3) 一般情況下，柱的彎矩圖有零點，此彎矩零點在柱上半部范圍內(nèi)變動，當k=3時零點位置與柱中點已很接近 (圖5.37(c)。【例5-11】如圖5.38(a)所示為一對稱結(jié)構(gòu)，試討論怎樣選取對稱的基本體系進行簡 化？在正對稱荷載和反對稱荷載分別作用下，討論怎樣選取半結(jié)構(gòu)計算。解：(1)選取對稱的基本體系如圖5.38(a)所示結(jié)構(gòu)，是三次超靜定的對稱結(jié)構(gòu)。在對稱軸上截斷中間鉸E和鏈桿CD，在鉸E上加上對稱的水平未知力 X1和反對稱的豎向未知力 X2,在CD切口 F處加一 對稱的水平未知力 X3,得到一對稱基本體系和相應的基本未知量，如圖5.3