二次函數(shù)與一元二次方程經(jīng)典教學(xué)案+典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)與一元二次方程教學(xué)案二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2bxc0 是二次函數(shù)yax2bxc 當(dāng)函數(shù)值y0 時(shí)的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)b24ac 0 時(shí)，圖象與x 軸交于兩點(diǎn) A x1 ，0 ，B x2 ，0 ( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bx c0 a 0 的兩根 這兩點(diǎn)間的距離b24ac .AB x2x1a當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn) .1'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在 x 軸的上方，無(wú)論 x 為任何

2、實(shí)數(shù)，都有y0；2'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在 x 軸的下方，無(wú)論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有y02.拋物線 y ax2bx c 的圖象與 y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；例：二次函數(shù) 23 2 與 x 軸有無(wú)交點(diǎn) ?若有，請(qǐng)說(shuō)出交點(diǎn)坐標(biāo)； 若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 : 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中 a ，b ，c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中 a ，b ， c 的符號(hào)判斷圖象的位置，要 數(shù)形結(jié)合 ； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，

3、可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) . 總結(jié)： 一 元 二 次 方 程 ax 2bxc0 的 實(shí) 數(shù) 根 就 是 對(duì) 應(yīng) 的 二 次 函 數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載yax 2bxc 與x 軸交點(diǎn)的.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系如下：（一元二次方程的實(shí)數(shù)根記為x1、x2 ）二次函數(shù) yax 2bxc與一元二次方程 ax2bxc0y(,)(,)O xy(,)O xyO xb24ac0，方程有的實(shí)與 x 軸有個(gè)交點(diǎn)數(shù)根是.與 x 軸有個(gè)交點(diǎn)b24ac0 ，方程有的實(shí)這個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)數(shù)根是.與 x 軸有個(gè)交點(diǎn)b24ac0 ，方程實(shí)數(shù)根 .二次函數(shù) yax2bxc 與 y 軸交點(diǎn)坐標(biāo)是.經(jīng)典例題講解【例 1】已知：關(guān)于

4、x 的方程 mx23(m1)x2m30 求證： m 取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；若二次函數(shù) y1mx23(m1)x2m1 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱求二次函數(shù) y1 的解析式；已知一次函數(shù)y22 x2，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x 的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1 y2 均成立；在 條件下，若二次函數(shù) y3ax2bxc 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( 5 ，0) ，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于 x 的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1 y 3 y2 ，均成立，求學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù) y3 ax2bx c 的解析式【思路分析】 本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問(wèn)題，這是比較常見(jiàn)的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的

5、考查方式。由于并未說(shuō)明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和 M 0 兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問(wèn)的第一小問(wèn)考關(guān)于Y 軸對(duì)稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問(wèn)加入了一個(gè)一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實(shí)上這個(gè)一次函數(shù)y 2 恰好是拋物線y1 的一條切線，只有一個(gè)公共點(diǎn)（ 1，0）。根據(jù)這個(gè)信息，第三問(wèn)的函數(shù)如果要取不等式等號(hào)，也必須過(guò)該點(diǎn)。于是通過(guò)代點(diǎn)， 將 y3 用只含a 的表達(dá)式表示出來(lái),再利用 y1 y3 y2 ,構(gòu)建兩個(gè)不等式,最終分析出 a 為何值時(shí)不等式取等號(hào),于是可以得出結(jié)果.【解析】解：（1）分兩種情況：當(dāng) m0 時(shí)

6、，原方程化為3x30 ，解得 x1 ， （不要遺漏） 當(dāng) m0 ，原方程有實(shí)數(shù)根.當(dāng) m0 時(shí)，原方程為關(guān)于x 的一元二次方程， 3 m 1 24m 2m 3 m226m 9 m 3 0 . 原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來(lái)一次根的判定，讓判別式小于0 就可以了， 不過(guò)中考如果不是壓軸題基本判別式都會(huì)是完全平方式，大家注意就是了）綜上所述， m 取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根.（ 2） 關(guān)于 x 的二次函數(shù) y1mx 23( m1)x 2m3 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 3( m1)0.（關(guān)于 Y 軸對(duì)稱的二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一定為0） m1 . 拋物線的解析式為y

7、1x21. yyx2 12x2x 1 2 0 ，（判斷大小直接做差）12 y1 y2 （當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)，等號(hào)成立） .3知，當(dāng) x1 時(shí)， y1y2 0 .（ ）由學(xué)習(xí)必備歡迎下載 y1 、 y2 的圖象都經(jīng)過(guò)1,0 .（很重要，要對(duì)那個(gè)等號(hào)有敏銳的感覺(jué)） 對(duì)于 x 的同一個(gè)值， y y y，132 y3ax2bxc 的圖象必經(jīng)過(guò)1,0.又 y3ax2bxc 經(jīng)過(guò)5,0， y3a x1x5ax24ax5a. （巧妙的將表達(dá)式化成兩點(diǎn)式，避免繁瑣計(jì)算）設(shè)yy3y2ax245a(2x2)ax2(4a2) x (25a) .ax 對(duì)于 x 的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y y y均成立，1

8、32 y3y2 0 ，321-6 -5 -4 -3 -2 -11 2- 1- 2- 3圖 7 y ax2(4 a2) x(2 5a) 0 .又根據(jù) y1 、 y2 的圖象可得a0 ， y最小4a(25a)(4 a2) 2 0 .（ a>0 時(shí) ,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）4a (4 a2)24a(25a) 0 . (3a 1)2 0 .而 (3a1)20.只有 3a1 0 ，解得 a1.3 拋物線的解析式為 y31 x24 x5.333【例 2】關(guān)于 x 的一元二次方程222( m 2) x 1 0 .( m1)x學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）當(dāng) m 為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）

9、點(diǎn) A1， 1 是拋物線 y (m2 1)x2 2(m 2) x 1 上的點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）在（ 2）的條件下，若點(diǎn) B 與點(diǎn) A 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是否存在與拋物線只交于點(diǎn) B 的直線，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .【思路分析】 第一問(wèn)判別式依然要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一條件。第二問(wèn)給點(diǎn)求解析式，比較簡(jiǎn)單。值得關(guān)注的是第三問(wèn)，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則需要設(shè)直線y=kx+b 以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因?yàn)?y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 軸的直線 ,恰恰這種直線也是和拋物線僅

10、有一個(gè)交點(diǎn),所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.【解析】：（1）由題意得（2 m21)02） 4( m2解得 m54m201解得 m15且 m1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng) m4（2）由題意得 m21 2( m2)1 1解得 m3，m1 （舍）(始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為 0)y 8x210x1（ 3）拋物線的對(duì)稱軸是 x58由題意得 B1 ， 1(關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)要掌握)4x1B(這種情況考試中容易遺漏 )與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)4另設(shè)過(guò)點(diǎn) B 的直線 ykx b （ k0 ）把 B1 ， 1代入 ykx b ，得kb1 ， b1 k 1444y1k 1k x4學(xué)習(xí)必備歡迎下載

11、y218x 10xy1kxk 142(10k )x120整理得 8 xk4有且只有一個(gè)交點(diǎn)，(10k)24 8 (1k 2) 04解得 k6y16 x2綜上，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)B 的直線的解析式有x11， y6 x42【例 】已知P（3,m)和 Q（1，m ）是拋物線2y2 xbx 1上的兩點(diǎn)3（1）求 b 的值；（2）判斷關(guān)于 x 的一元二次方程 2x2bx1 =0 是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出它的實(shí)數(shù)根；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將拋物線 y2x2bx1 的圖象向上平移 k （ k 是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與x 軸無(wú)交點(diǎn)，求 k 的最小值【例 4】已知關(guān)于 x 的一元二次方程 2

12、x24xk10有實(shí)數(shù)根， k 為正整數(shù) .（1）求 k 的值；（ 2 ） 當(dāng) 此 方 程 有 兩 個(gè) 非 零 的 整 數(shù) 根 時(shí) ， 將 關(guān) 于 x 的 二 次 函 數(shù)y2x24xk1 的圖象向下平移8 個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x 軸下方的部分沿 x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線1yxb bk 與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b 的取值范圍 .2【思路分析】去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過(guò)了.第一問(wèn)自不必說(shuō)，判別式大于0加上k 為正整數(shù)的條件求k 很簡(jiǎn)單.第二問(wèn)要分情況討論當(dāng)k 取何值時(shí)方程有整數(shù)根,一個(gè)個(gè)代進(jìn)去看就是了, 平移倒是不難,向下平移就是整個(gè)表達(dá)式減去8.但是注意第三問(wèn),函數(shù)關(guān)于對(duì)稱軸的翻折,旋轉(zhuǎn)問(wèn)題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問(wèn)題,一定要熟練掌握關(guān)于對(duì)稱軸翻折學(xué)習(xí)必備歡迎下載之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫(huà)圖解決問(wèn)題.解：（1）由題意得，168(k1) 0 k 3 k 為正整數(shù)， k 1，2，3（ 2）當(dāng)k1 時(shí)，方程2x24xk 10 有一個(gè)根為零；當(dāng) k2時(shí)，方程 2x24xk10 無(wú)整數(shù)根；當(dāng) k3時(shí)，方程 2x24xk10 有兩個(gè)非零的整數(shù)根綜上所述， k1 和 k2 不合題意，舍去；k3符合題意當(dāng) k3時(shí)，二次函數(shù)為y2 x2