實數(shù)集完備性的基本定理課件

1、第七章第七章 實數(shù)的完備性實數(shù)的完備性 1 1 關于實數(shù)集完備性的基本定理關于實數(shù)集完備性的基本定理 2 2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 1 1 關于實數(shù)集完備性的基本定理關于實數(shù)集完備性的基本定理 一、區(qū)間套定理與柯西收斂準則一、區(qū)間套定理與柯西收斂準則 二、聚點定理與有限覆蓋定理二、聚點定理與有限覆蓋定理 三、實數(shù)完備性基本定理的等價性三、實數(shù)完備性基本定理的等價性 若若 是一個區(qū)間套，則在實數(shù)是一個區(qū)間套，則在實數(shù)系中存在唯一的一點系中存在唯一的一點 , ,nnab 構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個套者后套者后一個， 一、區(qū)間套定理與柯西

2、收斂準則一、區(qū)間套定理與柯西收斂準則 （i）11,1,2,;nnnnababn (ii)lim()0nnnba 或簡稱或簡稱區(qū)間套區(qū)間套 這里的性質(zhì)（這里的性質(zhì)（i i）表明，）表明， 即各閉區(qū)間的端點滿足如下不等式即各閉區(qū)間的端點滿足如下不等式 1221nnaaabbb (1)(1) 定理定理7.17.1（區(qū)間套定理）（區(qū)間套定理） 使得使得 ,1,2,.nnab n 即即 ,1,2,.nnabn (2) (2) 設閉區(qū)間列設閉區(qū)間列 ,nnab 具有如下性質(zhì)具有如下性質(zhì) 則稱則稱 ,nnab為為閉區(qū)間套閉區(qū)間套， 定義定義1 1且有且有 分析分析 即要證明閉區(qū)間列即要證明閉區(qū)間列 ,1,

3、2,nnabn 有唯一的公共點，有唯一的公共點， 所以首先我們要至少找到一個公共點，所以首先我們要至少找到一個公共點， 式和單調(diào)有界定理可以知道數(shù)列式和單調(diào)有界定理可以知道數(shù)列 由（由（1 1） na和和 nb都存在極限，都存在極限， 只要證明這兩個數(shù)列極限相等且屬于所有的只要證明這兩個數(shù)列極限相等且屬于所有的 我們我們 ,1, 2,nnabn 則則找到一找到一個個公共點公共點; ; 然后證明唯一性然后證明唯一性. . 證證由（）式，由（）式， na為遞增有界數(shù)列，為遞增有界數(shù)列， 依單調(diào)有界定理，依單調(diào)有界定理， na有極限有極限 , , ,1,2,.nan （3）同理，遞減有界數(shù)列也有極限

4、，同理，遞減有界數(shù)列也有極限， 并按區(qū)間套的條件并按區(qū)間套的條件（ii）有有 limlimnnnnba （4）且且 ,1,2,.nbn （5）聯(lián)合（聯(lián)合（3）、（）、（5）即得（）即得（2）式）式. 最后證明滿足（最后證明滿足（2）的）的 是唯一的是唯一的 設數(shù)設數(shù) 也滿足也滿足 ,1,2,.nnab n 區(qū)間套定理中要求各個區(qū)間都是區(qū)間套定理中要求各個區(qū)間都是閉區(qū)間閉區(qū)間，才能保證，才能保證定理的結(jié)論成立定理的結(jié)論成立,1,2,.nnban 由區(qū)間套的條件（由區(qū)間套的條件（ii）得）得 lim0,nnnba 故有故有 . 注注1 對于開區(qū)間列，有可能不成立對于開區(qū)間列，有可能不成立,如如 ,

5、 10,n雖然其中各個開區(qū)間也是前一個包含后一個，雖然其中各個開區(qū)間也是前一個包含后一個， 且且 ， 1lim(0)0nn但不存在屬于所有開區(qū)間的公共點但不存在屬于所有開區(qū)間的公共點 則由（）式有則由（）式有 前者是區(qū)間套定理本身條件的要求前者是區(qū)間套定理本身條件的要求 保證諸區(qū)間保證諸區(qū)間 后者則把后者則把證明整個區(qū)間證明整個區(qū)間 上所具有某性質(zhì)的問題歸結(jié)為上所具有某性質(zhì)的問題歸結(jié)為 點鄰域點鄰域 的性質(zhì)，的性質(zhì)， 應用區(qū)間套定理的關鍵是針對要證明的數(shù)學命題，應用區(qū)間套定理的關鍵是針對要證明的數(shù)學命題， 恰恰當?shù)貥?gòu)造區(qū)間套當?shù)貥?gòu)造區(qū)間套.注注2 2 一方面，這樣的區(qū)間套必須是一方面，這樣的區(qū)

6、間套必須是閉閉、縮縮、套套，即閉區(qū)間列即閉區(qū)間列 . ,nnab滿足（滿足（i）11,1,2,;nnnnababn(ii)lim()0.nnnba另一方面，也是最重要的，要把欲證命題的本質(zhì)屬性保留在另一方面，也是最重要的，要把欲證命題的本質(zhì)屬性保留在區(qū)間套的每一個閉區(qū)間中，區(qū)間套的每一個閉區(qū)間中， 存在唯一公共點存在唯一公共點 , (1,2,)nna bn , a b ( , )U 實現(xiàn)完滿整體向局部的轉(zhuǎn)化實現(xiàn)完滿整體向局部的轉(zhuǎn)化. 由（由（4）容易推的如下很有用的區(qū)間套性質(zhì)）容易推的如下很有用的區(qū)間套性質(zhì) . 使得在每個使得在每個 外只有數(shù)列外只有數(shù)列 中有限項中有限項. 要使用區(qū)間套定理證

7、明充要使用區(qū)間套定理證明充分性，關鍵是如何構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點正好是數(shù)列分性，關鍵是如何構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點正好是數(shù)列的極限的極限. 對任給的對任給的 ,存在存在 ,使得對使得對 ,的的 ， 0 存在存在 ,使得當使得當 時有時有 0N nN ,(;)nnabU 作為區(qū)間套定理的應用，我們來證明第二章中敘述而未證明的作為區(qū)間套定理的應用，我們來證明第二章中敘述而未證明的“數(shù)列的柯西收斂準則（定理數(shù)列的柯西收斂準則（定理.）.即即 數(shù)列數(shù)列 收斂的充要條件是：收斂的充要條件是： na0 0N ,m nN 有有 . mnaa 分析分析 由數(shù)列極限定義易證得必要性；由數(shù)列極限定義易證

8、得必要性； 我們將對柯西列我們將對柯西列 構(gòu)造區(qū)間套構(gòu)造區(qū)間套 na ,nn ,nn na推論推論 若若 是區(qū)間套所確定的點則對任給是區(qū)間套所確定的點則對任給 ,(1,2,)nnabn 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)含有內(nèi)含有 中幾乎所有的項，中幾乎所有的項， 存在存在 ，使得使得對一切對一切 有有 , 即在區(qū)間即在區(qū)間 內(nèi)含有內(nèi)含有 中幾乎所有的項中幾乎所有的項 對任給的對任給的 ,存在存在 ,當當 時有時有 證證必要性必要性設設 由數(shù)列極限定義由數(shù)列極限定義,lim.nnaA 0 0N ,m nN ,22mnaAaA 因而因而 .22mnmnaaaAaA 充分性充分性按假設按假設,對任給的對任給的 ,0

9、 0N n N nNaa ,NNaa na (這里及以下這里及以下,為敘述簡單起見為敘述簡單起見,我們用我們用“ 中幾乎中幾乎所有的項所有的項”表示表示“ 中除有限項外的所項中除有限項外的所項”). na na據(jù)此據(jù)此，令令 則存在則存在 ，1,2 1N1111,22NNaa na記這個區(qū)間為記這個區(qū)間為11,. 則存在則存在 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)含有內(nèi)含有 中中幾乎所有的項幾乎所有的項.再令再令21,2 21()NN 222211,22NNaa na記記2222112211,22NNaa 它也含有它也含有 中幾乎所有的項，中幾乎所有的項， na且滿足且滿足1122221,.2 及及繼續(xù)依次令繼續(xù)

10、依次令311,22n 照以上方法得一閉區(qū)間列照以上方法得一閉區(qū)間列 ,nn 其中每個區(qū)間都含其中每個區(qū)間都含 中幾乎所有的項，中幾乎所有的項， na且滿足且滿足11,1, 2,nnnnn 110,2nnnn 本證明中的關鍵是構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點正好是數(shù)本證明中的關鍵是構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點正好是數(shù)列的極限列的極限.即即 是區(qū)間套是區(qū)間套. ,nn 由區(qū)間套定理，存在唯一的一個數(shù)由區(qū)間套定理，存在唯一的一個數(shù) ,(1,2,).nnn 現(xiàn)在證明數(shù)現(xiàn)在證明數(shù) 就是數(shù)列就是數(shù)列 的極限的極限. na事實上，由定理事實上，由定理7.17.1的推論，的推論， 對任給的對任給的 ，存在，存在

11、使得當使得當 nN 時有時有0 0,N ,( ; ).nnU 因此在因此在 內(nèi)含有內(nèi)含有 中除有限項外的所有項中除有限項外的所有項.( ; )U na這就證得這就證得 .limnna 注意本證明中構(gòu)造區(qū)間套的方法，我們可由此體會到注意本證明中構(gòu)造區(qū)間套的方法，我們可由此體會到在處理具體問題時構(gòu)造區(qū)間套的思想方法在處理具體問題時構(gòu)造區(qū)間套的思想方法. .注注 若若 的臨域內(nèi)都含有的臨域內(nèi)都含有 中無窮多個點則稱中無窮多個點則稱 為集為集 的一個的一個聚點聚點. 點集點集 只有一個聚點只有一個聚點 存在存在 在在 中至中至多包含中多包含中 有限多個點有限多個點. 又若又若 為開區(qū)間為開區(qū)間(a,b

12、)(a,b)內(nèi)每一點以及端內(nèi)每一點以及端點點a、b都是都是S的聚點；的聚點； 任何有限數(shù)集也任何有限數(shù)集也沒有聚點沒有聚點. (它可以屬于它可以屬于 也可也可以不屬于以不屬于 )定義定義2 2 設設 為數(shù)軸上的點集為數(shù)軸上的點集 為定點為定點 S SS S S點集點集 有兩個聚點有兩個聚點 和和1( 1)nSn 11 21; 1Sn 0; S而正整數(shù)集而正整數(shù)集 沒有聚點，沒有聚點，N 注注1 點集的點集的 聚點可以屬于聚點可以屬于 ，也可以不屬于，也可以不屬于 ；SSS注注2設設 是數(shù)集，不是的是數(shù)集，不是的 聚點聚點 SS00 0( ;)U S二、聚點定理與有限覆蓋定理二、聚點定理與有限覆

13、蓋定理 則其極限則其極限 稱為稱為S S的一個的一個聚點聚點. . 若點若點 的任何鄰域的任何鄰域 內(nèi)都含有內(nèi)都含有 中異于中異于 的點，的點，聚點概念的另兩個等價定義如下聚點概念的另兩個等價定義如下 定義定義 2對于點集對于點集 ， S S 即即 ， ( ; )US 則則 稱為稱為S的一個的一個聚點聚點. 定義定義2 若存在各項互異的收斂數(shù)列若存在各項互異的收斂數(shù)列 ， nxS limnnx 關于以上三個定義等價性的證明，我們簡述如下關于以上三個定義等價性的證明，我們簡述如下. .1 1）定義）定義2 2 定義定義 是顯然的是顯然的; ;2 2 2）定義）定義 定義定義2 2也不難得到也不難

14、得到; ;2 3 3）定義）定義 定義定義 . . 2 2 而取而取 則是為了保證點則是為了保證點列的各相互異性列的各相互異性. .令令 , , , ,則存在則存在 且顯然且顯然 . . 則對任給的則對任給的 , ,存在存在 ，證證 設設 為為 ( (按定義按定義) )的聚點的聚點, , S211min(,)2x 0 ( ; )oxUS 令令 則存在則存在 11 11( ;);oxUS 令令 22( ;)oxUS 21;xx 11min(,)nnxn 則存在則存在 且且 ( ;),onnxUS 11,nnxxx 與與互互異異無限地重復以上步驟，得到中各項互異的數(shù)列無限地重復以上步驟，得到中各項

15、互異的數(shù)列. . 且由且由 , , 易見易見 . . 1nnxn limnnx 注注 本證明中取本證明中取 , 為了保證數(shù)列收斂到為了保證數(shù)列收斂到 . .1nn 因此可以取其他的小量因此可以取其他的小量; ;1|nnx 注意這種技巧！注意這種技巧！故存在故存在 使得使得 , , 其中必有一子其中必有一子區(qū)間內(nèi)包含中無限多個點，區(qū)間內(nèi)包含中無限多個點， 因為無限點集因為無限點集, ,故兩個區(qū)間中至少有一故兩個區(qū)間中至少有一個含有中無窮多個點個含有中無窮多個點, ,記此子區(qū)間為記此子區(qū)間為 . .把區(qū)間把區(qū)間 二等分，二等分，S , Sa b ,baS0,M ,SM M 11,a bM M 22

16、,a b1122,abab 22111()2babaM 應用區(qū)間套定理來證聚點定理應用區(qū)間套定理來證聚點定理定理定理. .( (魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯(Weierstrass)(Weierstrass)聚點定理聚點定理) ) 實軸上的任一有界無限點集至少有一個聚點實軸上的任一有界無限點集至少有一個聚點. .分析分析 為有界點集，為有界點集， 繼續(xù)上述步驟，可得一區(qū)間套，再證繼續(xù)上述步驟，可得一區(qū)間套，再證其公共點即為的聚點其公共點即為的聚點 . .證證為有界點集為有界點集, ,記記現(xiàn)將等分為兩個子區(qū)間現(xiàn)將等分為兩個子區(qū)間. . 且且 則其中至少有一個子區(qū)間則其中至少有一個子區(qū)間含有無窮多個點

17、，含有無窮多個點，再將再將 等分為兩個子區(qū)間，等分為兩個子區(qū)間，22,a b33,a b2233,a ba b 33221()22Mbaba ,.nnab111,1,2,20(),2nnnnnnnababnMban 則取出這樣的一個子區(qū)間，則取出這樣的一個子區(qū)間，記為記為 . . 將此等分子區(qū)間的手續(xù)無限地進行下去，得到一個區(qū)間列將此等分子區(qū)間的手續(xù)無限地進行下去，得到一個區(qū)間列 它滿足它滿足 且其中每一個閉區(qū)間都含且其中每一個閉區(qū)間都含 中無窮中無窮多個點多個點. .即即 是區(qū)間套，是區(qū)間套， ,nnab S由區(qū)間套定理，由區(qū)間套定理， 存在唯一的一點存在唯一的一點 ,1,2,.nnabn

18、于是由定理于是由定理7.17.1的推論，的推論， 對任給的對任給的 , ,存在存在0 0,N 當當 時時 nN ,( ; )nnabU 從而從而 內(nèi)含有內(nèi)含有 中無窮多個點，中無窮多個點， ( ; )U S按定義按定義2 2 為為 的聚點的聚點. . S推論推論（致密性定理）（致密性定理） 有界數(shù)列必有收斂子列有界數(shù)列必有收斂子列證證 設設 為有界數(shù)列為有界數(shù)列 nx若若 中有無限多個相等的項，中有無限多個相等的項， nx則由這些項組成的子列是一個常數(shù)列，而常數(shù)列總是收則由這些項組成的子列是一個常數(shù)列，而常數(shù)列總是收斂的斂的 當當 有有先證明先證明 是有界的是有界的. .設數(shù)列設數(shù)列 滿足柯西

19、條件滿足柯西條件. . 點集點集 至少有一個聚點，記為至少有一個聚點，記為 存在存在 的一個收斂子列（以為其極限）的一個收斂子列（以為其極限）. . 于是按定義于是按定義 ， 則則 在數(shù)軸上的在數(shù)軸上的對應的點集必為有界無限點集，對應的點集必為有界無限點集，若數(shù)列若數(shù)列 不含有無限多個相等的項，不含有無限多個相等的項，作為致密性定理的應用，我們用它重證數(shù)列的柯西收斂作為致密性定理的應用，我們用它重證數(shù)列的柯西收斂準則中的充分性準則中的充分性 . nx nx nx 2 nx na na11mNnN 及及11.nNaa 11111| | | 1.nnNNnNNNaaaaaaaa 121max,1

20、,NNMaaaa 故由聚點定理，故由聚點定理，證證 為此為此, ,取取 則存在正整數(shù)則存在正整數(shù)N，由此得由此得令令 因而當因而當 時得到時得到()km nkK 于是，由致密性定理，有界于是，由致密性定理，有界數(shù)列數(shù)列 必有收斂子列必有收斂子列.nnaM 均均有有 na ,lim.kknnkaaA 且且0,0, ,Km n kK 存存在在同同有有(),2nmaa 由由柯柯西西條條件件|(lim).2kknnkaAaA 由由22kknnnnaAaaaA lim.nnaA 則對一切正整數(shù)則對一切正整數(shù) 對任給的對任給的這就證明了這就證明了 使得使得 當當 時有時有 . . 對每一對每一點點 ，都可

21、確定正數(shù)，都可確定正數(shù) （它依賴于（它依賴于 與與 ），）， 若其中開區(qū)間的個數(shù)是無限（有限）的，則稱若其中開區(qū)間的個數(shù)是無限（有限）的，則稱 為為 的一個的一個無限開覆蓋無限開覆蓋（有限開覆蓋）（有限開覆蓋） 則稱則稱 為為 的一個的一個開覆蓋開覆蓋，或，或 稱稱 覆蓋覆蓋 若若 中任何一點都中任何一點都含在含在 中至少一個開區(qū)間內(nèi)，中至少一個開區(qū)間內(nèi)， （即（即 的的每一個元素都是形如每一個元素都是形如 的開區(qū)間）的開區(qū)間）定義定義3 3 設設 為數(shù)軸上的點集，為數(shù)軸上的點集， 為開區(qū)間的集合為開區(qū)間的集合SHH( ,) SHHSSHSH在具體問題中，一個點集的開覆蓋常由該問題的某些條件所

22、在具體問題中，一個點集的開覆蓋常由該問題的某些條件所確定確定例如，若函數(shù)例如，若函數(shù) 在在 內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，f( , )a b則給定則給定 ，0 (;)xxUx x x( , )xa b ()()fxfx 這樣就得到一個開區(qū)間集這樣就得到一個開區(qū)間集 ,( , )xxHxxxa b 它是區(qū)間它是區(qū)間 的一個無限開覆蓋的一個無限開覆蓋( , )a b 同樣，其中至少有一個子同樣，其中至少有一個子區(qū)間不能用區(qū)間不能用 中有限個開區(qū)間來蓋中有限個開區(qū)間來蓋 則其中至少有一個子區(qū)間則其中至少有一個子區(qū)間不能用不能用 中有限個開區(qū)間來覆蓋中有限個開區(qū)間來覆蓋. . 將將 等分為兩個子區(qū)間，等分為兩個子區(qū)

23、間， 從而導致區(qū)從而導致區(qū)間套中某區(qū)間可用一個開區(qū)間覆蓋的矛盾間套中某區(qū)間可用一個開區(qū)間覆蓋的矛盾. . 若閉區(qū)間不能用有限個開區(qū)間覆蓋，把若閉區(qū)間不能用有限個開區(qū)間覆蓋，把這區(qū)間二等分，這區(qū)間二等分， 則從則從 中可選中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋出有限個開區(qū)間來覆蓋 假設定理的結(jié)論不成立，即不能用假設定理的結(jié)論不成立，即不能用 中有限中有限個開區(qū)間來覆蓋個開區(qū)間來覆蓋 設設 為閉區(qū)間為閉區(qū)間 的一個（無限）開覆蓋，的一個（無限）開覆蓋，H , a b , a bHH ,a b , a bH定理定理. . （海涅（海涅博雷爾（博雷爾（HeineBorelHeineBorel）有限覆蓋定理）有限覆

24、蓋定理）分析分析用反證法，用反證法，其中必有一子區(qū)間不能用有限個開區(qū)間覆蓋，其中必有一子區(qū)間不能用有限個開區(qū)間覆蓋，由此可構(gòu)造區(qū)間套，其公共點屬于某個開區(qū)間，由此可構(gòu)造區(qū)間套，其公共點屬于某個開區(qū)間， 證證 用反證法用反證法記這個子區(qū)間為記這個子區(qū)間為 ，11,a b 則則 且且 11,a ba b 111(),2baba 再將再將 等分為兩個子區(qū)間，等分為兩個子區(qū)間，11,a b H由區(qū)間套定理，存在唯一的一點由區(qū)間套定理，存在唯一的一點 于是，由定理于是，由定理. .推論，當推論，當n充分大時有充分大時有 由于由于 是是 的一個開覆蓋，故存在開區(qū)間的一個開覆蓋，故存在開區(qū)間 使使 其中每一

25、個閉區(qū)間都不能用其中每一個閉區(qū)間都不能用 中有限中有限個開區(qū)間來覆蓋個開區(qū)間來覆蓋 即是即是 區(qū)間套，區(qū)間套，重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個閉區(qū)間重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個閉區(qū)間列列 , ,記這個子區(qū)間為記這個子區(qū)間為 ，22,ab 2211,a ba b 2221()2baba ,nnab 11,1,2,1()0(),2nnnnnnnababnbaban ,nna b ,1,2,.nnabn H,nnab( , ),H ( , ) 則則且且 它滿足它滿足 H ,nnab 定理定理. .的結(jié)論只對閉區(qū)間的結(jié)論只對閉區(qū)間 成立，而對開區(qū)間成立，而對開區(qū)間則不一定成立則不一

26、定成立 但不能從中選出有限個但不能從中選出有限個開區(qū)間覆蓋開區(qū)間覆蓋 例如，開區(qū)間集合例如，開區(qū)間集合 構(gòu)成了開區(qū)間構(gòu)成了開區(qū)間 的一個開覆蓋，的一個開覆蓋， 這與這與挑選挑選 時的假設時的假設“不能用不能用 中有限個區(qū)間來覆蓋中有限個區(qū)間來覆蓋”相矛相矛盾盾 有限覆蓋定理的妙處在于將有限覆蓋定理的妙處在于將“無限無限”化為化為“有限有限”，它，它的的好處在以后的應用中我們會看到好處在以后的應用中我們會看到.這表明這表明 只須用只須用 中的一個開區(qū)間中的一個開區(qū)間 就能覆蓋，就能覆蓋，,nnabH( ,) ,nnabH從而證得必存在屬于從而證得必存在屬于 的有限個開區(qū)間能覆蓋的有限個開區(qū)間能覆

27、蓋 H,a b注注1 1,a b1, 1(1 , 2 ,)1nn (0,1)(0,1)注注2 2三、實數(shù)完備性基本定理的等價性三、實數(shù)完備性基本定理的等價性 至此，我們已經(jīng)介紹了有關實數(shù)完備性的六個基本定理，即至此，我們已經(jīng)介紹了有關實數(shù)完備性的六個基本定理，即 即從其中即從其中任何一個命題都可推出其余的五個命題任何一個命題都可推出其余的五個命題 最后用區(qū)間套定理分最后用區(qū)間套定理分別證明余下的三個定理別證明余下的三個定理12345611.1.確界原理確界原理( (定理定理1.1);1.1);2.2.單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理( (定理定理2.9);2.9);3.3.區(qū)間套定理區(qū)間套定理( (定理定理7.1);7.1);4.4.有限覆蓋定理有限覆蓋定理( (定理定理7.3);7.3);5.5.聚點定理聚點定理( (定理定理7.2);7.2);6.6.柯西收斂準則柯西收斂準則( (定理定理2.10).2.10).在本書中在本書中, ,我們首先證明了確界原理，我們首先證明了確界原理， 由它證明單有界定理，由它證明單有界定理，再用單調(diào)有界定