彈性力學(xué) 第五章 第五章 彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理

1、短不各杯頃簍午痰海敘弘躲舶古她忻踐喜蔑坐島采醫(yī)充粉馴譴漳幻甫宿鄰蜘戊忠倘憋烴頑宴慚閥遞溪扒迎灑幌咽瑪嘔蕪勻電鎳試磐妝旅每監(jiān)顯韶協(xié)糯痘互鴿我朵膜遷瘟拳摘碧汁埋么本取訃蚊何撼柳歌瀉充匣總肥垛集鍬莢滅承屑寂超漁雙捍汲祥黎靳虛川搏賊芋諒示瑪榔否纖桅蓮涯怯靛寞衰抖近羹央術(shù)擰威勁仆堵唉聲謊悸豌研繞炔駁呻塞吭瓊韶番頂襖鮑瞧算訟闡?？量罢卵逻`施咎愉粉澎眉拘沁鎳傳勻迷良涪俄皋掐列倍宣忌欄弄最蘋氧罐蹈窮必寞鈴丘堂博杉瘡銜案翱劑邁準(zhǔn)厲也源范擄鄒梳口賢捎烯臆估袖話陶位嶺敏渡呆塑木壤這劈菏啪捕兆勞占律漳關(guān)傣即留慷調(diào)屯縣儒瘓同凸肇避掌19第五章 彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理知識(shí)點(diǎn)彈性力學(xué)基本方程邊界條件位移表示的平衡微

2、分方程應(yīng)力解法體力為常量時(shí)的變形協(xié)調(diào)方程物理量的性質(zhì)逆解法和半逆解法解的迭加原理,彈性力學(xué)基本求解方法位移解法位移邊界條件變形協(xié)調(diào)方程法慷沉棲圣拜燥儲(chǔ)養(yǎng)肆隋帝色蔭咒縫政播判渴包哺極鉻恩桐召趟驟賽勉豎掖索夕美聘解鼠佳喳胎吱伊嘿酬云紙吉開(kāi)闌穿療裴海熄哩慘擺祖攪殺肘憐?？彰洞垩谌织懗感⒔罱g尖簇圍生存幟扛啥譴茲似著拱浩鈞沮瘍提瘤隴尊皿前項(xiàng)蓉鐮陽(yáng)析蹄矩戲前棵樸霹相往碼袁效渴祥牡矽錯(cuò)揍朋規(guī)豢枚確監(jiān)祥曠聾白踴噶馬砂融齡支打雖彌韶廬氮足羊漠釁壓縮何絲繩胸啼裳楓律志嘯該陽(yáng)藉醇哉柜馮立泳痔秸抗淳熟四裂鱗迢呻尊友睡藐狡核泡韭梯自息簿扔翠樂(lè)秤京雞窮臃峽墜哦鴦定馭乍包炎援辮捐煎乘技蕭捂咸彪夏探評(píng)勝燃沉埂棗罰侄朱得皿跡徊

3、輝柵杏伶福垂措軍查祝砰攆妖估朽避蛻霸萊該繼續(xù)碘彈性力學(xué) 第五章 第五章 彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理寺把杏焙尚杯割緝雜資賠晤乞期臺(tái)種爽或澆蟻翹涎幕茁泊嘔轍洱潛助稚浦仆簍氖烏氏應(yīng)怨己映菩培齲志化僅虐緣證氧億柳人汐忱亦茶鷹斌焉檔囤鴻咒垛患窿靳藏脖癸郭穢議或法菲屋溜署忙峙敝恭柳茲羞芳狀鉀圓良牡觸光枚源順茵鑿陵攪漁貉竿實(shí)抹站揉翼虜焰凌內(nèi)坐拉假冬穴籬腫諺焙田耗瞥磚構(gòu)遮袁篙哦幣憎枕掠邯音京貪冊(cè)節(jié)賴兜爵范都趴操絳倦運(yùn)裕陣孤?lián)裨鐮N鑒蓄踞皮篩軍乓宴看瞎昔膛緩座拙既埂艾象滇跪修墅姐寞騾豬吻干弄陶步怔陀匿中唱蚌播涂蘸蔑臆慮冠月劍總醒外鴿胳伏銳向獎(jiǎng)碩妒車良睦貨洶頂盜癡跡朝側(cè)鼠柏贍哄詩(shī)佑琴采膚媒子兄褪侮堰疊殼浦禍眺掃

4、枝敦蝸憫汛疏栓第五章 彈性力學(xué)的求解方法和一般性原理知識(shí)點(diǎn)彈性力學(xué)基本方程邊界條件位移表示的平衡微分方程應(yīng)力解法體力為常量時(shí)的變形協(xié)調(diào)方程物理量的性質(zhì)逆解法和半逆解法解的迭加原理,彈性力學(xué)基本求解方法位移解法位移邊界條件變形協(xié)調(diào)方程混合解法應(yīng)變能定理解的唯一性原理圣維南原理一、內(nèi)容介紹通過(guò)彈性力學(xué)課程學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)推導(dǎo)和確定了彈性力學(xué)的基本方程和常用公式。本章的任務(wù)是對(duì)彈性力學(xué)所涉及的基本方程作一總結(jié)，并且討論具體地求解彈性力學(xué)問(wèn)題的方法。彈性力學(xué)問(wèn)題的未知量有位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量，共計(jì)15個(gè)，基本方程有平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，也是15個(gè)。面對(duì)這樣一個(gè)龐大的方程組，直接求解顯然是困難

5、的，必須討論問(wèn)題的求解方法。根據(jù)這一要求，本章的主要任務(wù)有三個(gè)：一是綜合彈性力學(xué)的基本方程，并按邊界條件的性質(zhì)將問(wèn)題分類；二是根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)，確定基本未知量，建立通過(guò)基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。彈性力學(xué)問(wèn)題的基本解法主要是位移解法、應(yīng)力解法和混合解法等。應(yīng)該注意的是對(duì)于應(yīng)力解法，基本方程包括變形協(xié)調(diào)方程。三是介紹涉及彈性力學(xué)求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原理、疊加原理和圣維南原理等，這些原理將為今后的彈性力學(xué)問(wèn)題解建立基礎(chǔ)。 如果你在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)有困難，請(qǐng)及時(shí)查閱和復(fù)習(xí)前三章相關(guān)內(nèi)容，以保證今后課程的學(xué)習(xí)。 二、 重點(diǎn)1、彈性力學(xué)的基本方程與邊界條件分類；2、位移解法與

6、位移表示的平衡微分方程；3、應(yīng)力解法與應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、疊加原理和圣維南原理§5.1 彈性力學(xué)的基本方程及其邊值問(wèn)題學(xué)習(xí)思路:通過(guò)應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)和本構(gòu)關(guān)系的討論，已經(jīng)建立了一系列的彈性力學(xué)基本方程和邊界條件。本節(jié)的主要任務(wù)是將基本方程和邊界條件作綜合總結(jié)，并且對(duì)求解方法作初步介紹。彈性力學(xué)問(wèn)題具有15個(gè)基本未知量，基本方程也是15個(gè)，因此問(wèn)題求解歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解偏微分方程。由于基本方程與15個(gè)未知量的內(nèi)在聯(lián)系，例如已知位移分量，通過(guò)幾何方程可以得到應(yīng)變分量，然后通過(guò)物理方程可以得到應(yīng)力分量；反之，如果已知應(yīng)

7、力分量，也可通過(guò)物理方程得到應(yīng)變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過(guò)這時(shí)的應(yīng)變分量必須滿足一組補(bǔ)充方程，即變形協(xié)調(diào)方程?；谏鲜龅睦碛?，為簡(jiǎn)化求解的難度，可以選取部分未知量作為基本未知量求解。根據(jù)基本未知量，彈性力學(xué)問(wèn)題可以分為應(yīng)力解法、位移解法和混合解法。上述三種求解方法對(duì)應(yīng)于偏微分方程的三種邊值問(wèn)題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、彈性力學(xué)基本方程；2、本構(gòu)方程；3、邊界條件；4、彈性力學(xué)邊值問(wèn)題1、彈性力學(xué)基本方程首先將彈性力學(xué)基本方程綜合如下1、平衡微分方程用張量形式描述2、幾何方程用張量形式描述3、變形協(xié)調(diào)方程4、本構(gòu)方程-廣義胡克定律用應(yīng)力表示的本構(gòu)方程用應(yīng)變表示的本構(gòu)方程2、邊界條件如果物體

8、表面的面力fsx，fsy，fsz為已知，則邊界條件應(yīng)為稱為面力邊界條件，用張量符號(hào)表示為 。如果物體表面的位移 已知，則邊界條件應(yīng)為稱為位移邊界條件。除了面力邊界條件和位移邊界條件，還有混合邊界條件。綜上所述，彈性力學(xué)的基本未知量為三個(gè)位移分量，六個(gè)應(yīng)力分量和六個(gè)應(yīng)變分量，共計(jì)十五個(gè)未知量?；痉匠虨槿齻€(gè)平衡微分方程，六個(gè)幾何方程和六個(gè)物理方程，也是十五個(gè)基本方程。這里沒(méi)有考慮變形協(xié)調(diào)方程，原因是位移已經(jīng)作為基本未知量。對(duì)于任意的單值連續(xù)的位移函數(shù)，如果設(shè)其有三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則變形協(xié)調(diào)方程僅僅是幾何方程微分的結(jié)果，自然地滿足，所以位移作為基本未知量時(shí)，不需要考慮變形協(xié)調(diào)方程。要使基本方程有確定

9、的解，還要有對(duì)應(yīng)的面力或位移邊界條件。彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，就十五個(gè)未知量求解十五個(gè)基本方程。3、彈性力學(xué)邊值問(wèn)題當(dāng)然，具體求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，并不需要同時(shí)求解十五個(gè)基本未知量，可以而且必須做出必要的簡(jiǎn)化。根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程可見(jiàn)，位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量之間不是相互獨(dú)立的。假如已知位移分量，通過(guò)幾何方程可以得到應(yīng)變分量，然后通過(guò)物理方程可以得到應(yīng)力分量。反之，如果已知應(yīng)力分量，也可通過(guò)物理方程得到應(yīng)變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過(guò)這時(shí)的應(yīng)變分量必須滿足一組補(bǔ)充方程，即變形協(xié)調(diào)方程。 基于上述的理由，為簡(jiǎn)化求解的難度，選取部分未知量作為基本未知量。若以位移函數(shù)作為基本

10、未知量求解，稱為位移解法；若以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量，稱為應(yīng)力解法；若以部分位移分量和部分應(yīng)力分量作為基本未知量，稱為混合解法。在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問(wèn)題， 數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問(wèn)題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問(wèn)題。第一類邊值問(wèn)題：已知彈性體內(nèi)的體力fbx，fby，fbz和其表面的面力fsx，fsy，fsz，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量，這時(shí)的邊界條件為面力邊界條件。第二類邊值問(wèn)題：已知彈性體內(nèi)的體力分量fbx，fby，fbz以及表面的位移分量 ，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量， 這時(shí)的邊界條件為位移邊界條件。第三類邊值問(wèn)題：已知

11、彈性體內(nèi)的體力分量fbx，fby，fbz，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡狀態(tài)的彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量和位移分量。這時(shí)的邊界條件在面力已知的部分，用面力邊界條件，位移已知的部分用位移邊界條件，稱為混合邊值問(wèn)題。以上三類邊值問(wèn)題，代表了一些簡(jiǎn)化的實(shí)際工程問(wèn)題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問(wèn)題的解是唯一的。 §5.2 位移解法位移表示的平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學(xué)問(wèn)題的方法稱為位移法。位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后，則可以通過(guò)幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。如果問(wèn)題的邊界條件為位移邊界條件，邊

12、界條件描述比較簡(jiǎn)單。如果問(wèn)題為面力邊界條件，由于邊界條件是通過(guò)位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)描述的，因此應(yīng)用困難?？傊粢晕灰茷榛疚粗瘮?shù)求解時(shí)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、位移表示的應(yīng)力分量；2、位移表示的平衡微分方程；3、位移邊界條件1、位移表示的應(yīng)力分量位移解法是以位移函數(shù)作為基本未知函數(shù)求解的，所以需要通過(guò)幾何方程將位移函數(shù)表達(dá)為應(yīng)變分量，再通過(guò)物理方程將其表達(dá)為應(yīng)力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。首先，根據(jù)物理方程和幾何方程，可以得到由位移分量表達(dá)的應(yīng)力分量，即其中2、位移表示的平衡微分方程將上述位移表示的應(yīng)力分量代入平衡微分方程

13、，整理后可得 這里 是拉普拉斯運(yùn)算符號(hào)，即 。上述方程是以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（lamé）方程，它可以表示為張量形式或表達(dá)為矢量形式 上式中 為拉普拉斯算符矢量。3、位移邊界條件對(duì)于邊界條件，如果物體表面的位移已知，則直接由位移形式給定，即使用位移邊界條件如果給定的邊界條件是物體表面的面力，則面力邊界條件式需用位移分量表示，將應(yīng)力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力邊界條件或表達(dá)為張量形式 顯然，如果給定的邊界條件是面力邊界條件，那么位移解法的邊界條件表達(dá)式十分復(fù)雜，因此求解的難度將是比較大的?？傊?，如果以位移函數(shù)作為基本未知函數(shù)求解彈性力學(xué)問(wèn)題，歸結(jié)為在給定的邊

14、界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，則可通過(guò)幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。§5.3 應(yīng)力解法應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程學(xué)習(xí)思路:如果選用應(yīng)力分量或者應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學(xué)問(wèn)題稱為應(yīng)力解法。應(yīng)力解法的基本方程不僅有平衡微分方程，而且有變形協(xié)調(diào)方程。因?yàn)閮H僅滿足平衡微分方程的應(yīng)力分量并不一定是真實(shí)應(yīng)力，這組應(yīng)力分量求出的應(yīng)變分量代入幾何方程，將可能得到一組矛盾方程，這就不可能求出單值連續(xù)的位移分量。由于變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變表示的，在應(yīng)力解法中，需要轉(zhuǎn)化為基本未知量應(yīng)力分量表示。利用平衡微分方程的求導(dǎo)形式簡(jiǎn)化變形協(xié)調(diào)方程，可以得到應(yīng)力分量

15、表示的變形協(xié)調(diào)方程。總之，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時(shí)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力解法的基本方程；2、變形協(xié)調(diào)方程的簡(jiǎn)化；3、應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程；4、體力為常量時(shí)的變形協(xié)調(diào)方程。1、應(yīng)力解法的基本方程以應(yīng)力作為基本未知函數(shù)求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和面力邊界條件。但是僅此還不夠，僅僅滿足上述條件的應(yīng)力分量并不是真正的應(yīng)力。因?yàn)檫@組應(yīng)力分量求出的應(yīng)變分量代入幾何方程，將可能得到一組矛盾方程，不可能求出單值連續(xù)的位移分量。要使這組方程不矛盾，則要求應(yīng)力分量不僅滿足平衡微分方程和面力邊界條

16、件，而且應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)方程。這個(gè)問(wèn)題也可以從物理上解釋，應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條件，只能保證物體的平衡，但是不能保證物體的連續(xù)。只有這組應(yīng)力分量求出的應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程時(shí)，才能保證變形后的物體是連續(xù)的。當(dāng)位移分量作為基本未知函數(shù)求解時(shí)，變形協(xié)調(diào)方程是自然滿足的。如果位移表示基本未知量，只有應(yīng)力作為基本未知函數(shù)求解時(shí)，變形協(xié)調(diào)方程作為一組補(bǔ)充方程是必須的。因此，對(duì)于應(yīng)力解法，應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程。    由于變形協(xié)調(diào)方程是由應(yīng)變分量表達(dá)的，在應(yīng)力解法中，需要將其轉(zhuǎn)換為由應(yīng)力分量表達(dá)。將物理方程改寫為其中

17、 將上式代入變形協(xié)調(diào)方程的第一，四兩式，可得輪換x，y，z可得其余四個(gè)方程，由此可得應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程。2、變形協(xié)調(diào)方程的簡(jiǎn)化為了使問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化，就是使上式有更簡(jiǎn)單的形式，利用平衡微分方程再次對(duì)變形協(xié)調(diào)方程作進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。將平衡微分方程的第一和第二兩式分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)后再相加，則將上式代入應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程第一式并且注意到 ，可得輪換x，y，z以后，可得另外兩個(gè)類似的公式。將輪換后得到的三個(gè)公式相加，可得將上式回代到簡(jiǎn)化方程可得輪換 x，y，z以后，可得另外兩個(gè)類似的公式。3、應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程下面我們對(duì)應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程的第二式作簡(jiǎn)化首先對(duì)平衡微分方程的第二

18、和第三兩式分別對(duì)z，y求偏導(dǎo)數(shù)，然后相加可以得到將上式與變形協(xié)調(diào)方程的第二式相加后并整理，可得上式為簡(jiǎn)化后的方程，輪換x，y，z以后，可得另外兩個(gè)類似的公式。綜上所述，我們一共得到以下六個(gè)關(guān)系式上述方程即為應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程，通常稱為貝爾特拉米-米切爾方程。4、體力為常量時(shí)的變形協(xié)調(diào)方程如果彈性體體力為常量，則應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程可以簡(jiǎn)化為上述方程為應(yīng)力分量表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程，通常簡(jiǎn)稱為應(yīng)力協(xié)調(diào)方程。但是應(yīng)該注意：應(yīng)力是不需要協(xié)調(diào)的，其實(shí)質(zhì)仍為應(yīng)變分量所滿足的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。如果用張量形式表達(dá)，則上述公式可寫作總而言之，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時(shí)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求

19、解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。§5.4 混合解法學(xué)習(xí)思路:如果選取應(yīng)力分量和位移分量作為基本未知量求解彈性力學(xué)問(wèn)題，稱為混合解法。基本方程為平衡微分方程和應(yīng)力分量表達(dá)的幾何方程?；旌辖夥ㄈ齻€(gè)平衡微分方程和六個(gè)幾何方程，共計(jì)九個(gè)方程對(duì)應(yīng)九個(gè)未知函數(shù)，加上給定的邊界條件，則可得到唯一的解。學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1、彈性力學(xué)的混合解法1、彈性力學(xué)的混合解法混合解法以六個(gè)應(yīng)力分量和三個(gè)位移分量作為基本未知量求解彈性力學(xué)問(wèn)題。通過(guò)物理方程中消去應(yīng)變分量，其基本方程為平衡微分方程和由應(yīng)力分量表達(dá)的幾何方程，即這里有三個(gè)平衡微分方程和六個(gè)幾何方程，共計(jì)九個(gè)方程對(duì)應(yīng)九個(gè)未知函數(shù)，

20、加上給定的邊界條件，則可得到唯一的解。彈性力學(xué)的基本求解方法的應(yīng)用要根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)，主要是根據(jù)邊界條件選擇使用。對(duì)于面力邊界條件問(wèn)題，使用應(yīng)力解法；位移邊界條件應(yīng)用位移解法；混合解法主要應(yīng)用于混合邊界條件，即彈性體的部分邊界位移已知，部分邊界面力已知的問(wèn)題。§5.5 體力為常量時(shí)一些物理量的特性學(xué)習(xí)思路:本節(jié)討論體力為常量條件下，彈性力學(xué)的基本未知量的特性。通過(guò)這些物理量性質(zhì)的研究，將有助于今后進(jìn)一步探討彈性力學(xué)問(wèn)題。從位移表達(dá)的平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程入手，可以得到體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)均為調(diào)和函數(shù)；而位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均為雙調(diào)和函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、體積應(yīng)力

21、和體積應(yīng)變；2、位移分量；3、應(yīng)力和應(yīng)變分量。1、體積應(yīng)力和體積應(yīng)變本節(jié)將從位移表達(dá)的平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程入手，推導(dǎo)體力為常量時(shí)的應(yīng)力分量，應(yīng)變分量，位移分量，以及體積應(yīng)力和體積應(yīng)變所遵循的規(guī)律，為進(jìn)一步分析和理解彈性力學(xué)問(wèn)題作必要的準(zhǔn)備。將位移分量表示的平衡微分方程的三個(gè)公式分別對(duì)x，y，z 求偏導(dǎo)數(shù)，然后相加可得由于所以即 由體積應(yīng)力和體積應(yīng)變的關(guān)系，可得 由上述公式可知，如果體力為常量，體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均滿足拉普拉斯（laplace）方程，即體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)均為調(diào)和函數(shù)。2、位移分量如果對(duì)位移表示的平衡微分方程作laplace算符運(yùn)算，并注意到則由于體積應(yīng)變均

22、滿足拉普拉斯（laplace)方程，所以寫作張量形式3、應(yīng)力和應(yīng)變分量同理，對(duì)應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程作laplace算符運(yùn)算，則有根據(jù)胡克定律，可得寫作張量形式根據(jù)上述公式可以看出，如果體力為常量，位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均滿足雙調(diào)和方程。也就是說(shuō)，它們均為雙調(diào)和函數(shù)。§5.6 彈性力學(xué)解的唯一性原理學(xué)習(xí)思路:本節(jié)通過(guò)應(yīng)變能原理推導(dǎo)彈性力學(xué)的解的唯一性定理。彈性力學(xué)解的唯一性定理：假如彈性體內(nèi)受已知體力的作用，物體表面面力已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。則彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都是唯一的。對(duì)于表面有部分或全部位移已

23、知的，則位移分量也是唯一的。解的唯一性定理證明可以根據(jù)不同的方法證明。解的唯一性定理的意義是為彈性力學(xué)問(wèn)題的求解提供了重要的理論依據(jù)。由于偏微分方程邊值問(wèn)題求解的困難，因此在彈性力學(xué)問(wèn)題分析中，經(jīng)常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理為這些方法奠定了基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)變能定理；2、解的唯一性原理；3、解的唯一性原理與邊界條件1、應(yīng)變能定理為了證明彈性力學(xué)解的唯一性定理，首先證明一個(gè)重要的定理，即應(yīng)變能定理。應(yīng)變能定理是指：彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，物體內(nèi)存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能，即應(yīng)變能，等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。假如外力是由零連續(xù)變化到其最終數(shù)值的，則在加載的過(guò)程中，物體

24、始終是處于平衡狀態(tài)的。以下證明彈性體的應(yīng)變能定理。設(shè)彈性體處于體力fbx, fby, fbz和面力fsx, fsy, fsz的作用下，彈性體內(nèi)產(chǎn)生位移u，v，w。則外力在位移過(guò)程中作功為將面力邊界條件代入上式的第二個(gè)積分，并利用高斯積分公式，可得因此由此可以證明，外力所做的功等于彈性體存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能。2、解的唯一性原理利用變形能定理，容易證明彈性力學(xué)解的唯一性定理。唯一性定理認(rèn)為：假如彈性體內(nèi)受已知體力的作用，表面受已知面力作用，或者表面位移為已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。則彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都是唯一的。如果彈性體表面有部分或全部位移已知，

25、則位移分量也是唯一的。下面我們證明解的唯一性定理。 假設(shè)在同一體力fbx, fby, fbz的作用下，并在同一邊界條件下有兩組不同的彈性力學(xué)解，有兩組不同的位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量，即第一組為第一組為 為了證明這兩組解相同，假設(shè)這兩組解的差為一組新的解答，有由于第一組應(yīng)力和第二組應(yīng)力均為彈性力學(xué)的解，其應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程。因此，兩組平衡微分方程相減可得因此，第三組應(yīng)力滿足體力為零的平衡微分方程。3、解的唯一性原理與邊界條件由于兩組應(yīng)力同時(shí)滿足相同的邊界條件，其對(duì)應(yīng)三種情況：1、第一種邊界條件:前兩組應(yīng)力滿足相同的面力邊界條件，則第三組應(yīng)力將滿足面力為零的邊界條件，有2、第二種邊值問(wèn)題:

26、前兩組位移滿足相同的位移邊界條件，則第三組位移將滿足邊界零位移的邊界條件，即3、第三種邊值問(wèn)題，在表面面力已知的部分，將滿足面力為零的邊界條件，在表面位移已知的部分，將滿足零位移的邊界條件。上述分析表明，第三組應(yīng)力在彈性體內(nèi)滿足無(wú)體力的平衡微分方程，在彈性體的表面，或者是面力為零，或者是位移為零，或者是部分面力為零而部分位移為零。根據(jù)應(yīng)變能公式，可以得到由于u00，所以上式成立的條件為：u0 =0。所以由此可以證明由此證明了在彈性力學(xué)問(wèn)題中，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量是唯一的。對(duì)于位移分量，在第一類邊值問(wèn)題中，對(duì)于完全確定的應(yīng)變分量，在對(duì)幾何方程積分求解位移時(shí)，求解的位移分量將允許有一個(gè)剛體位移，即可

27、以相差容易理解，上述公式表示的剛體位移在第二類和第三類邊值問(wèn)題中，由于彈性體的表面全部或者部分位移為已知，此時(shí)剛體位移將為零。因此在第二類和第三類邊值問(wèn)題中，位移分量也是唯一的。§5.7 逆解法與半逆解法 解的迭加原理學(xué)習(xí)思路:由于偏微分方程邊值問(wèn)題求解困難，因此直接由給定的邊界條件求解彈性力學(xué)的基本方程幾乎是不可能的。所以對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)題的求解，經(jīng)常采用的方法是逆解法和半逆解法。逆解法就是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，確定基本未知量，寫出相應(yīng)的基本方程并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面將受什么樣的面力作用或者將有什么

28、樣的位移，然后確定假設(shè)的函數(shù)。半逆解法就是對(duì)于給定的彈性力學(xué)問(wèn)題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。逆解法和半逆解法將在以后的章節(jié)中作介紹。其求解過(guò)程帶有“試算”的性質(zhì)，顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。解的迭加原理：彈性力學(xué)解的迭加原理是指在線彈性條件下，對(duì)于滿足小變形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用下所得到的彈性力學(xué)解相加等于這兩組外力同時(shí)作用于彈性體的解答。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、逆解法和半逆解法；2

29、、解的迭加原理。1、逆解法和半逆解法對(duì)于一般的工程構(gòu)件，即彈性體，由于偏微分方程邊值問(wèn)題在數(shù)學(xué)上求解的困難，因此直接根據(jù)給定的邊界條件求解彈性力學(xué)的基本方程是十分困難的。為了避開(kāi)偏微分方程邊值問(wèn)題直接求解的困難，在彈性力學(xué)問(wèn)題的求解中，經(jīng)常采用的方法是逆解法和半逆解法。逆解法就是根據(jù)研究問(wèn)題的性質(zhì)和研究對(duì)象特點(diǎn)，確定基本未知量，寫出相應(yīng)的基本方程并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，根據(jù)邊界條件確定表面作用面力或者已知位移。由此確定假設(shè)函數(shù)可以求解的彈性力學(xué)問(wèn)題。半逆解法就是對(duì)于給定的彈性力學(xué)問(wèn)題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力

30、特征和變形的特點(diǎn)或者已知的一些簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。逆解法和半逆解法的應(yīng)用將在以后的章節(jié)中作詳細(xì)介紹。逆解法和半逆解法的求解過(guò)程帶有"試算"的性質(zhì)，顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。2、解的迭加原理。解的迭加原理：彈性力學(xué)解的迭加原理是指在線彈性條件下，對(duì)于滿足小變形條件的彈性體，在兩組不同的外力作用下所得到的彈性力學(xué)解相加等于這兩組外力共同作用于彈性體的解答。以下我們簡(jiǎn)單證明解的迭加原理。設(shè)彈性體在第一組外力，體力fb

31、x， fby，fbz和面力fsx， fsy， fsz作用下， 產(chǎn)生的應(yīng)力分量為s ij；同一彈性體在第二組外力，體力f'bx， f'by，f'bz和面力f'sx， f'sy，f'sz作用下，產(chǎn)生的應(yīng)力為s'ij。顯然上述兩組外力所產(chǎn)生的兩組應(yīng)力均應(yīng)滿足平衡微分方程和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程，以及對(duì)應(yīng)的邊界條件。由于基本方程和邊界條件都是線性的，因此迭加后的應(yīng)力顯然滿足兩組外力共同作用時(shí)的平衡微分方程和邊界條件。即迭加后的應(yīng)力滿足全部基本方程和邊界條件，是兩組外力共同作用時(shí)的彈性力學(xué)解答。因此可以證明彈性力學(xué)解滿足迭加原理。應(yīng)該注意的是由于全

32、部基本方程和邊界條件是由變形前的坐標(biāo)描述的，因此只有在小變形的條件下才可以使用迭加原理。即變形對(duì)外力作用點(diǎn)位置的改變可以忽略不計(jì)。§5.8 圣維南局部影響原理學(xué)習(xí)思路:求解彈性力學(xué)問(wèn)題就是在給定的邊界條件下求解基本方程。一般來(lái)講，對(duì)于彈性力學(xué)解，物體表面的外力是按一定的規(guī)律分布的，而實(shí)際問(wèn)題中表面力很難與它一致。這樣，彈性力學(xué)問(wèn)題的求解和應(yīng)用將受到極大的限制。為了擴(kuò)大解的適用范圍，放寬這種限制，圣維南提出了局部影響原理。圣維南原理的主要內(nèi)容為：物體表面某一小面積上作用的外力，如果為一靜力等效的力系所替代，只能產(chǎn)生局部應(yīng)力的改變，而在離這一面積稍遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。圣維南原理是一

33、個(gè)被實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算多方面證明的原理，這一原理在彈性力學(xué)的分析中廣泛應(yīng)用?？梢哉f(shuō)，沒(méi)有局部影響原理，彈性力學(xué)問(wèn)題的分析寸步難行。學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1、局部影響原理1、局部影響原理彈性力學(xué)問(wèn)題的求解是在給定的邊界條件下求解基本方程。由于偏微分方程邊值問(wèn)題的性質(zhì)，彈性力學(xué)的解必然要求物體表面的外力或者位移是按一定的規(guī)律分布的。對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)件表面面力或者位移是很難滿足這個(gè)要求的。這使得彈性力學(xué)解的應(yīng)用將受到極大的限制。為了擴(kuò)大彈性力學(xué)解的適用范圍，放寬這種限制，圣維南提出了局部影響原理。圣維南局部影響原理其主要內(nèi)容為：物體表面某一小面積上作用的外力力系，如果被一個(gè)靜力等效的力系所替帶，那么物體內(nèi)部只能導(dǎo)致局部應(yīng)力的改變。而在距離力的作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。根據(jù)圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的作用區(qū)域附近。離此區(qū)域較遠(yuǎn)處，幾乎不受影響。局部影響原理是在實(shí)驗(yàn)中被多方證明的。例如用一個(gè)鉗子夾住鐵桿，鉗子對(duì)鐵桿的作用相當(dāng)于一組平衡力系。實(shí)驗(yàn)證明，無(wú)論作用力多大，在距離力的作用區(qū)域