模糊控制的學基礎2

1、模糊控制的數(shù)學基礎模糊控制的數(shù)學基礎22.1 概述概述v 模糊數(shù)學(模糊集）是模糊控制的數(shù)學基礎，它是由美國加利福尼亞大學zadeh教授最先提出的。他將模糊性和集合論統(tǒng)一起來，在不放棄集合的數(shù)學嚴格性的同時，使其吸取人腦思維中對于模糊現(xiàn)象認識和推理的優(yōu)點。v “模糊”，是指客觀事物彼此間的差異在中間過渡時，界限不明顯，呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相對于“精確”而言的。 “精確”：“老師”、“學生”、“工人” “模糊”：“高個子”、“熱天氣”、“年輕人”v 模糊數(shù)學并不是讓數(shù)學變成模模糊糊的東西，而是用數(shù)學工具對模糊現(xiàn)象進行描述和分析。模糊數(shù)學是對經典數(shù)學的擴展，它在經典集合理論的基礎上引

2、入了“隸屬函數(shù)”的概念，來描述事物對模糊概念的從屬程度。32.2 普通集合普通集合* 集合 具有特定屬性的對象的全體，稱為集合。例如： “湖南大學的學生”可以作為一個集合。集合通常用大寫字母a，b，z來表示。* 元素 組成集合的各個對象，稱為元素，也稱為個體。通常用小寫字母a，b，z來表示。* 論域 所研究的全部對象的總和，叫做論域，也叫全集合。* 空集 不包含任何元素的集合，稱為空集，記做。* 子集 集合中的一部分元素組成的集合，稱為集合的子集。1）集合的概念 若元素 a 是集合 a 的元素，則稱元素 a 屬于集合 a ，記為aa；反之，稱a不屬于集合a，記做 。aa* 屬于*包含ba ab

3、 若集合a是集合b的子集，則稱集合a包含于集合b，記為 ；或者集合b包含集合a，記為 。ba ab 對于兩個集合a和b，如果 和 同時成立，則稱a和b相等，記做a=b。此時a和b有相同的元素，互為子集。*相等*有限集 如果一個集合包含的元素為有限個，就叫做有限集；否則，叫做無限集。42）集合的表示法 將集合中的所有元素都列在大括號中表示出來，該方法只能用于有限集的表示。 例如10-20之間的偶數(shù)組成集合a，則a可表示為 a=10，12，14，16，18，20* 表征法 表征法將集合中所有元素的共同特征列在大括號中表征出來。 上例中的集合a也可用表征法表示為a=a|a為偶數(shù)，10a 202.2

4、普通集合普通集合* 列舉法5* 集合交設x，y為兩個集合，由既屬于x又屬于y的元素組成的集合p稱為x，y的交集，記作p=xy * 集合并設x，y為兩個集合，由屬于x或者屬于y的元素組成的集合q稱為x，y的并集，記作q=xy * 集合補在論域y上有集合x，則x的補集為|xxxx3）集合的運算 2.2 普通集合普通集合6具體算法是：在x，y中各取一個元素組成序偶（x，y），所有序偶組成的集合，就是x，y的直積。 * 集合的直積 設x，y為兩集合，定義x，y的直積為,| ),(yyxxyxyx4） 集合的特征函數(shù)設x為論域x中的元素， a為論域x中定義的一個集合，則x和a的關系可以用集合a的特征函數(shù)

5、來表示。它的值域是0，1，它表示元素x是否屬于集合a。如果x屬于集合a，那么的值為1；如果x不屬于集合a，那么的值為0。即ax 0,ax ,xa1)(2.2 普通集合普通集合7(1)模糊集合的定義： 5 . 0)30(a2.3 2.3 模糊集合模糊集合 35255251125151)(2xxxxa例例2.3.1 2.3.1 論域為論域為1515到到3535歲之間的人，模糊集歲之間的人，模糊集 表示表示“年輕人年輕人”，則模糊集，則模糊集的隸屬函數(shù)可定義為的隸屬函數(shù)可定義為則年齡為則年齡為3030歲的人屬于歲的人屬于“年輕人年輕人”的程度為：的程度為：a)(xa給定論域給定論域e e中的一個模糊

6、集中的一個模糊集 ，是指任意元素，是指任意元素xexe，都不同程度地屬于這個，都不同程度地屬于這個集合，元素屬于這個集合的程度可以用隸屬函數(shù)集合，元素屬于這個集合的程度可以用隸屬函數(shù) 00，11來表示。來表示。8(2) 模糊集合的表示法：1） zadeh表示法當論域上的元素為有限個時，定義在該論域上的模糊集可表示為：nnaaaxxxxxxa)()()(2211注意：式中的“”和“/”，僅僅是分隔符號，并不代表“加”和“除”。 例2.3.2 假設論域為5個人的身高，分別為172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他們的身高對于“高個子”的模糊概念的隸屬度分別為0.8、0.78、

7、0.85、0.90、0.88。則模糊集“高個子”可以表示為 高個子17888. 01809 . 017585. 016578. 01728 . 0 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 92）序偶表示法 當論域上的元素為有限個時，定義在該論域上的模糊集還可用序偶的形式表示為： )(,)(,)(,2211nanaaxxxxxxa，（，（或簡化為： ），（)()()(21naaaxxxa對于上例的模糊集“高個子”可以用序偶法表示為 高個子)88. 0 ,178(),9 . 0 ,180(),85. 0 ,175(),78. 0 ,165(),8 . 0 ,172(或 高個子88. 0 , 9 . 0

8、,85. 0 ,78. 0 , 8 . 02.3 2.3 模糊集合模糊集合 103）隸屬函數(shù)描述法 論域u上的模糊子集可以完全由其隸屬函數(shù)表示。 假設年齡的論域為u=15，35，則模糊集“年輕”可用隸屬函數(shù)表征為： 35255251125151)(2xxxx年輕該隸屬函數(shù)的形狀如圖 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 11（3) 模糊集合的運算 模糊集合與普通集合一樣也有交、并、補的運算。 假設a和b為論域u上的兩個模糊集，它們的隸屬函數(shù)分別為)(xa)(xb和n 模糊集交)()()(xxxbacn 模糊集并)()()(xxxbadn 模糊集補a)(1)(xxaan 相等若ux，總有)()(xx

9、ba成立，則稱a和b相等，記作ba 。 n 包含若ux，總有)()(xxba成立，則稱a包含b，記作。 ba 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 bacbad12例2.3.3：設論域u=a, b, c, d, e上有兩個模糊集分別為： edcbaa1 . 02 . 04 . 03 . 05 . 0edcbab4 . 07 . 01 . 08 . 02 . 0求 babaaedcbaba4 . 01 . 07 . 02 . 01 . 04 . 08 . 03 . 02 . 05 . 0edcba1 . 02 . 01 . 03 . 02 . 0edcbaba4 . 01 . 07 . 02 . 0

10、1 . 04 . 08 . 03 . 02 . 05 . 0edcba4 .07 .04 .08 .05 .0edcbaa1 . 012 . 014 . 013 . 015 . 01edcba9 . 08 . 06 . 07 . 05 . 02.3 2.3 模糊集合模糊集合 13（4）模糊運算的性質：n交換率abbaabba，n結合率)()(cbacba，)()(cbacban分配率)()()(cabacba)()()(cabacban傳遞率ba，cb ，則ca，n冪等率aaaaaan摩根率babababa，n復原率aa 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 142.4 2.4 水平截集水平截集v

11、 水平截集的定義 在論域在論域u u中，給定一個模糊集合中，給定一個模糊集合a a，由對于，由對于a a的隸屬度大于某一水平的隸屬度大于某一水平值值（閾值）的元素組成的集合，叫做該模糊集合的（閾值）的元素組成的集合，叫做該模糊集合的水平截集。用水平截集。用公式可以描述如下：公式可以描述如下： )(|xxaa其中其中xuxu，0,10,1。顯然，。顯然，a a是一個普通集合。是一個普通集合。 例例2.4.1 2.4.1 已知已知543219 . 07 . 05 . 03 . 01 . 0 xxxxxa，求求a0.1、a0.2、a0.7 ,543211 . 0 xxxxxa,54322 . 0 x

12、xxxa,547 . 0 xxa152.4 2.4 水平截集水平截集v 水平截集的性質水平截集的性質 1 1）abab的的水平截集是水平截集是a a和和b b的并集：的并集：baba)(2 2）abab的的水平截集是水平截集是a a和和b b的交集：的交集：baba)(3 3）如果）如果0,1,0,10,1,0,1且且 ，則，則aa162.5 2.5 模糊關系模糊關系 (1) 普通關系“關系”是集合論中的一個重要概念，它反映了不同集合的元素之間的關聯(lián)。普通關系是用數(shù)學方法描述不同普通集合中的元素之間有無關聯(lián)。例2.5.1 舉行一次東西亞足球對抗賽，分兩個小組a=中國，日本，韓國，b=伊朗，沙特

13、，阿聯(lián)酋。抽簽決定的對陣形勢為：中國-伊朗，日本-阿聯(lián)酋，韓國-沙特。用r表示兩組的對陣關系，則r可用序偶的形式表示為： r=（中國，伊朗），（日本，阿聯(lián)酋），（韓國，沙特） 17可見關系r是a，b的直積ab的子集。也可將r表示為矩陣形式，假設r中的元素r(i,j)表示a組第i個球隊與b組第j個球隊的對應關系，如有對陣關系，則r(i,j)為1，否則為0，則r可表示為： 該矩陣稱為a和b的關系矩陣。 由普通關系的定義可以看出：在定義了某種關系之后，兩個集合的元素對于這種關系要么有關聯(lián)，r(i,j)1；要么沒有關聯(lián)，r(i,j)0。這種關系是很明確的。 2.5 2.5 模糊關系模糊關系18（2）模

14、糊關系人和人之間關系的“親密”與否？兒子和父親之間長相的“相像”與否？家庭是否“和睦”？這些關系就無法簡單的用“是”或“否”來描述，而只能描述為“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。這些關系就是模糊關系。我們可以將普通關系的概念進行擴展，從而得出模糊關系的定義。2.5 2.5 模糊關系模糊關系19 模糊關系的定義 假設x是論域u中的元素，y是論域v中的元素，則u到v的一個模糊關系是指定義在vu 上的一個模糊子集r，其隸屬度 1 , 0),(yxr代表x和y對于該模糊關系的關聯(lián)程度。 例2.5.2 我們用模糊關系來描述子女與父母長相的“相像”的關系，假設兒子與父親的相像程度為0.8，與母親的相

15、像程度為0.3；女兒與與父親的相像程度為0.3，與母親的相像程度為0.6。則可描述為： 女，母）女，父）子，母）子，父）(6 . 0(3 . 0(3 . 0(8 . 0r2.5 2.5 模糊關系模糊關系20模糊關系常常用矩陣的形式來描述。假設xu，yv ，則u到v的模糊關系可以用矩陣描述為),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nmrmrmrnrrrnrrryxyxyxyxyxyxyxyxyxr則上例中的模糊關系又可以用矩陣描述為： 2.5 2.5 模糊關系模糊關系21 模糊關系的運算 假設r和s是論域上uv的兩個模糊關系，分別描述為： rrrrrrrrr

16、rmnmmnn.:.212222111211ssssssssssmnmmnn.:.212222111211那么，模糊關系的運算規(guī)則可描述如下 ：模糊關系的相等： ijijsrsr模糊關系的包含： ijijsrsr模糊關系的并： srsrsrsrsrmnmnmmnn111111112.5 2.5 模糊關系模糊關系22模糊關系的交： srsrsrsrsrmnmnmmnn11111111mnmnrrrrr11111111模糊關系的補： 2.5 2.5 模糊關系模糊關系23例2.5.3 已知 4 . 02 . 03 . 01 . 0r1 . 05 . 02 . 04 . 0s求： srsrr解：根據(jù)模

17、糊關系的運算規(guī)則得： 1 . 02 . 02 . 01 . 01 . 04 . 05 . 02 . 02 . 03 . 04 . 01 . 0sr4 . 05 . 03 . 04 . 01 . 04 . 05 . 02 . 02 . 03 . 04 . 01 . 0sr6 . 08 . 07 . 09 . 04 . 012 . 013 . 011 . 01r2.5 2.5 模糊關系模糊關系24 模糊關系的合成設r是論域uv上的模糊關系，s是論域vw上的模糊關系，r和s分別描述為：),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nmrmrmrnrrrnrrryxyx

18、yxyxyxyxyxyxyxr),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111lnsnsnslssslssszyzyzyzyzyzyzyzyzys則r和s可以合成為論域uw上的一個新的模糊關系c，記做src合成運算法則為： ),(),(),(jkskirkjiczyyxzx2.5 2.5 模糊關系模糊關系25例2.5.4: 假設模糊關系r描述了子女與父親、叔叔長相的“相象”關系，模糊關系s描述了父親、叔叔與祖父、祖母長相的“相象”關系，r和s分別描述為：求子女與祖父、祖母長相的“相像”關系c. 2.5 2.5 模糊關系模糊關系26解：由合成運算法則得： ),(),

19、(),(),(),(1221111111zyyxzyyxzxsrsrc2 . 02 . 02 . 09 . 02 . 02 . 08 . 0),(),(),(),(),(2221211121zyyxzyyxzxsrsrc7 . 01 . 07 . 0 1 . 02 . 07 . 08 . 0),(),(),(),(),(1222111212zyyxzyyxzxsrsrc5 . 05 . 02 . 09 . 05 . 02 . 03 . 0),(),(),(),(),(2222211222zyyxzyyxzxsrsrc3 . 01 . 03 . 0 1 . 05 . 07 . 03 . 0所以，

20、 2.5 2.5 模糊關系模糊關系27（3）模糊變換 2.5 2.5 模糊關系模糊關系設有二有限集x=x1,x2,xm和y=y1,y2,yn，r是xy上的模糊關系：rrrrrrrrrrmnmmnn.:.212222111211設a和b分別為x和y上的模糊集：)(),(),(21maaaxxxa)(,),(),(21nbbbyyyb的隸屬函數(shù)運算規(guī)則為：rab則稱b是a的象，a是b的原象，r是x到y(tǒng)上的一個模糊變換。rab且滿足),()()(1jiriamijbyxxynj, 1282.5 2.5 模糊關系模糊關系例2.5.5：已知論域x=x1,x2, x3和y=y1,y2，a是論域x上的模糊集

21、：5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0ar是x到y(tǒng)上的一個模糊變換，6 . 04 . 01 . 03 . 02 . 05 . 0r試通過模糊變換r求a的象b解：rab6 . 04 . 01 . 03 . 02 . 05 . 0)5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0()6 . 05 . 0() 1 . 03 . 0()2 . 01 . 0()4 . 05 . 0()3 . 03 . 0()5 . 01 . 0()5 . 0 , 4 . 0(29例例2.5.6 藝術學院招生，對考生所需考察的素質有：藝術學院招生，對考生所需考察的素質有：歌舞，表演，外在歌舞，表演，外在。對。對各種素質的

22、評語分為四個等級各種素質的評語分為四個等級好，較好，一般，差好，較好，一般，差。某學生表演完畢后，評委對其評價為：某學生表演完畢后，評委對其評價為：好好較好較好一般一般差差歌舞歌舞30302020表演表演10205020外在外在40401010如果考察學生培養(yǎng)為電影演員的潛質，則對表演的要求較高，其它較低。如果考察學生培養(yǎng)為電影演員的潛質，則對表演的要求較高，其它較低。定義加權模糊集為：定義加權模糊集為：a0.25 0.5 0.25試根據(jù)模糊變換來得到評委對該學生培養(yǎng)為電影演員的最終結論。試根據(jù)模糊變換來得到評委對該學生培養(yǎng)為電影演員的最終結論。2.5 2.5 模糊關系模糊關系30 解：根據(jù)模

23、糊變換可以得到評委對該學生培養(yǎng)為電影演員的決策集：解：根據(jù)模糊變換可以得到評委對該學生培養(yǎng)為電影演員的決策集：1 . 01 . 04 . 04 . 02 . 05 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 03 . 025. 05 . 025. 0 rab2 . 05 . 025. 025. 0 綜合評判：選取隸屬度最大的元素作為最終的評語，評委的評語為綜合評判：選取隸屬度最大的元素作為最終的評語，評委的評語為“一般一般”2.5 2.5 模糊關系模糊關系312.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系 “天氣很冷，快要下雪了” 氣溫-下雪概率(1) 語言變量 語言變量是自然語言中的詞或句，它的

24、取值不是通常的數(shù)，而是用模糊語言表示的模糊集合。 例如“年齡”就可以是一個模糊語言變量，其取值為“年幼”，“年輕”，“年老”等模糊集合。 32定義一個語言變量需要定義以下4個方面的內容： 定義變量名稱 定義變量的論域 定義變量的語言值（每個語言值是定義在變量論域上的一個模糊集合） 定義每個模糊集合的隸屬函數(shù)。 例2.6.1：試根據(jù)定義語言變量的4要素來定義語言變量“速度”。 首先，定義變量名稱為“速度”，記做x；其次，定義變量“速度”的論域為0，200km/h；再次，在論域0，200上定義變量的語言值為 慢，中，快；最后，在論域上分別定義各語言值的隸屬函數(shù)為 20010001005050250

25、01)(xxxxx慢2001500150100503100501505000)(xxxxxxx中200150115010025010000)(xxxxx快2.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系33定義的隸屬函數(shù)形狀如圖 (2) 模糊蘊含關系 人類在生產實踐和生活中的操作經驗和控制規(guī)則往往可以用自然語言來描述。譬如，在汽車駕駛速度的控制過程中，控制規(guī)則可以描述為“如果速度快了，那么減小油門；如果速度慢了，那么加大油門?！毕旅婢蛠斫榻B如何利用模糊數(shù)學從語言規(guī)則中提取其蘊涵的模糊關系。 2.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系341）簡單條件語句的蘊涵關系 2.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系“如果那么”或“如果那么

26、，否則”n 假設u，v 是已定義在論域u u和v的兩個語言變量，人類的語言控制規(guī)則為“如果u是a，則v是b ”，其蘊涵的模糊關系r為： )()(vabar式中，ab稱作a和b的笛卡兒乘積，其隸屬度運算法則為：)()(),(vuvubaba所以，r的運算法則為：1)(1)()(),(uvuvuabar)(1 )()(uvuaba352.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系n 假設u，v 是已定義的兩個語言變量，人類的語言控制規(guī)則為“如果u是a，則v是b；否則，v是c” 則該規(guī)則蘊涵的模糊關系r為：)()(cabar)()(1)()(),(vuvuvucabar362.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系例2.6

27、.2： 定義兩語言變量“誤差u”和“控制量v”；兩者的論域：u=v= 1 ,2 ,3 ,4 ,5； 定義在論域上的語言值為：小，大，很大，不很大 =a，b，g，c；定義各語言值的隸屬函數(shù)為：)0 . 01 . 03 . 08 . 00 . 1 (a)0 . 18 . 03 . 01 . 00 . 0(b)0 . 164. 009. 001. 00 . 0(g)0 . 036. 091. 099. 00 . 1 (c分別求出控制規(guī)則“如果u 是小，那么 v 是大” 蘊涵的模糊關系r1和規(guī)則“如果u 是小，那么 v 是大；否則， v 是不很大”蘊涵的模糊關系r2。372.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關

28、系解：（1）求解r1 )()()(1 ),(1vuuvubaar0 . 10 . 10 . 10 . 10 . 19 . 09 . 09 . 09 . 09 . 07 . 07 . 07 . 07 . 07 . 08 . 08 . 03 . 02 . 02 . 00 . 18 . 03 . 01 . 00 . 01r（2）求解r2 )()(2cabar)()(1)()(),(2vuvuvucabar0 . 036. 091. 099. 00 . 11 . 036. 09 . 09 . 09 . 03 . 036. 07 . 07 . 07 . 08 . 08 . 03 . 02 . 02 .

29、00 . 18 . 03 . 01 . 00 . 02r382）多重條件語句的蘊涵關系由多個簡單條件語句并列構成的語句叫做多重條件語句，其句型為：如果u是a1，則v是b1 ； 否則，如果u是a2，則v是b2 ； 否則，如果u是an，則v是bn。 該語句蘊涵的模糊關系為： niiinnbabababar12211)()()()(其隸屬函數(shù)為：)()(),(1vuvuiibanir2.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系393）多維條件語句的蘊涵關系具有多輸入量的簡單條件語句，我們稱之為多維條件語句。其句型為：如果u1是a1，且u2是a2，且um是am，則v是b該語句蘊涵的模糊關系為： 其隸屬函數(shù)為：2.

30、6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系21baaarm)()()()(),(212121vuuuvuuubmaaamrm402.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系例例2.6.3 已知語言規(guī)則為已知語言規(guī)則為“如果如果e是是a，并且，并且ec是是b，那么，那么u是是c。”其中其中 215 . 01eea32116 . 01 . 0ecececb32117 . 03 . 0uuuc試求該語句所蘊涵的模糊關系試求該語句所蘊涵的模糊關系 r。解：解： cbar第一步，先求第一步，先求r1ab：5 . 05 . 01 . 016 . 01 . 015 . 06 . 05 . 01 . 05 . 0116 . 011 .

31、 011r41第二步，將二元關系矩陣第二步，將二元關系矩陣r1排成列向量形式排成列向量形式r1 t，先，先將中的第一行元素寫成列向量形式，再將中的第二行將中的第一行元素寫成列向量形式，再將中的第二行元素也寫成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，元素也寫成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，再依次寫下去。于是再依次寫下去。于是r1可表示為：可表示為： 5 . 05 . 01 . 016 . 01 . 01tr第三步，第三步，r可計算如下：可計算如下： 15 . 07 . 05 . 03 . 05 . 015 . 07 . 05 . 03 . 05 . 011 . 07 . 01 . 03 .

32、 01 . 0117 . 013 . 0116 . 07 . 06 . 03 . 06 . 011 . 07 . 01 . 03 . 01 . 0) 17 . 03 . 0(5 . 05 . 01 . 016 . 01 . 01crrt5 . 05 . 03 . 05 . 05 . 03 . 01 . 01 . 01 . 017 . 03 . 06 . 06 . 03 . 01 . 01 . 01 . 02.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系422.6 語言規(guī)則中蘊涵的模糊關系4）多重多維條件語句的蘊涵關系具有多輸入量的多重條件語句，我們稱之為多重多維條件語句。其句型為：具有多輸入量的多重條件語句，

33、我們稱之為多重多維條件語句。其句型為： 如果u1是a11，且u2是a12，且um是a1m，則v是b1；否則，如果u1是a21，且u2是a22，且um是a2m，則v是b2；否則，如果u1是an1，且u2是an2，且um是anm，則v是bn；則該語句蘊涵的模糊關系為：則該語句蘊涵的模糊關系為： )(211iimiinibaaar其隸屬函數(shù)為：其隸屬函數(shù)為：)()()()(),(2121121vuuuvuuuiimiibmaaanimr432.7 模糊推理常規(guī)推理：常規(guī)推理：已知已知x，y之間的函數(shù)關系之間的函數(shù)關系yf(x)，則對于某個，則對于某個x* ，根據(jù)，根據(jù)f( )可可以推理得到相應的以推

34、理得到相應的y*。xyf( )x*y*=f(x*)推理推理模糊推理：模糊推理：知道了語言控制規(guī)則中蘊涵的模糊關系后，就可以根據(jù)模糊關知道了語言控制規(guī)則中蘊涵的模糊關系后，就可以根據(jù)模糊關系和輸入情況，來確定輸出情況，這就叫做系和輸入情況，來確定輸出情況，這就叫做“模糊推理模糊推理”。xyrx*=ay*=b推理推理442.7 模糊推理（1） 單輸入模糊推理對于單輸入的情況，假設兩個語言變量x，y之間的模糊關系為r ，當x的模糊取值為a* 時，與之相對應的y的取值b* ，可通過模糊推理得出，如下式所示：*rab上式的計算方法有兩種：1）zadeh法法),()(),()()(*yxxyxrxaybr

35、axx)(1 ()()()(*xyxxabaaxx452.7 模糊推理例例2.7.1 在在例例2.6.2中，已經求出控制規(guī)則中，已經求出控制規(guī)則“如果如果u 是小，那么是小，那么 v 是大是大”蘊涵的蘊涵的模糊關系為模糊關系為r1，現(xiàn)在，已知輸入量，現(xiàn)在，已知輸入量u 的模糊取值為的模糊取值為“略小略小”，記做，記做a1，令，令a1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量求控制量v根據(jù)規(guī)則相應的取值根據(jù)規(guī)則相應的取值b1。 解：0 . 10 . 10 . 10 . 10 . 19 . 09 . 09 . 09 . 09 . 07 . 07 . 07 . 07 . 07 . 08 .

36、08 . 03 . 02 . 02 . 00 . 18 . 03 . 01 . 00 . 01r111rab),()()(1511111vuuviriaib55. 0同理，可解得：同理，可解得：55. 0)(21vb55. 0)(31vb8 . 0)(41vb0 . 1)(51vb所以)0 . 18 . 055. 055. 055. 0(1b462.7 模糊推理2）mamdani推理方法推理方法與與zadeh法不同的是，法不同的是，mamdani推理方法用推理方法用a和和b的笛卡兒積來表示的笛卡兒積來表示ab的模糊蘊涵關系。的模糊蘊涵關系。babar則對于單輸入推理的情況，*rab的計算方法為

37、：的計算方法為：)()()(),()()(*yxxyxrxaybbaaxx)()()(*yxxbaaxx)(yb)()(*xxaaxx叫做和叫做和a的適配度，它是的適配度，它是a*和和a的交集的高度。的交集的高度。根據(jù)根據(jù)mamdani推理方法，結論可以看作用推理方法，結論可以看作用對對b進行切割，所以這種方進行切割，所以這種方法又可以形象地稱為法又可以形象地稱為削頂法削頂法。 472.7 模糊推理單輸入單輸入mamdani推理的圖形化描述（削頂法）推理的圖形化描述（削頂法） 48（2） 多輸入模糊推理對于語言規(guī)則含有多個輸入的情況，假設輸入語言變量對于語言規(guī)則含有多個輸入的情況，假設輸入語言

38、變量x1,x2,xm與輸與輸出語言變量出語言變量y之間的模糊關系為之間的模糊關系為r，當輸入變量的模糊取值分別為，當輸入變量的模糊取值分別為a1*, a2*, ,am*時，與之相對應的時，與之相對應的y的取值的取值b*，可通過下式得到：，可通過下式得到：*2*1*)(raaabm),()()()( ),()()()()(2121,21*2*21*1*2*121yxxxxxxyxxxrxaxaxaybmrmaaaxxxmmmmm2.7 模糊推理49例2.7.2，已知 2.7 模糊推理21*4 . 08 . 0eea321*7 . 06 . 02 . 0ecececb試根據(jù)試根據(jù)例例2.6.3中的

39、語言規(guī)則求中的語言規(guī)則求“e 是是a* 并且并且ec 是是b* ”時輸出時輸出u的模糊值的模糊值c* 。解：解： *)(rbac5 . 05 . 03 . 05 . 05 . 03 . 01 . 01 . 01 . 017 . 03 . 06 . 06 . 03 . 01 . 01 . 01 . 0r50把把r2寫成行向量形式，并以寫成行向量形式，并以r2t表示，則表示，則 令令 *2bar4 . 04 . 02 . 07 . 06 . 02 . 07 . 04 . 06 . 04 . 02 . 04 . 07 . 08 . 06 . 08 . 02 . 08 . 02r)4 . 04 . 0

40、2 . 07 . 06 . 02 . 0(2tr)6 . 07 . 03 . 0()(2*rrrbact321*6 . 07 . 03 . 0uuuc2.7 模糊推理512.7 模糊推理對于二輸入模糊推理，還可以根據(jù)對于二輸入模糊推理，還可以根據(jù)mamdani方法用圖形法進行描述方法用圖形法進行描述： 二維模糊規(guī)則：二維模糊規(guī)則：r： if x is a and y is b then z is c ，可以看作兩個單，可以看作兩個單維模糊規(guī)則的交集：維模糊規(guī)則的交集： r1： if x is a then z is c，and r2：if y is b then z is c。則當二維輸入變量的模糊取值分別為則當二維輸入變量的模糊取值分別為a*和和b*時，根據(jù)時，根據(jù)r推理得到的模糊輸推理得到的模糊輸出出c*等于根據(jù)等于根據(jù)r1推理得到的模糊輸出推理得到的模糊輸出c1*和根據(jù)和根據(jù)r2推理得到的模糊輸出推理得到的模糊輸出c2*的交集。的交集。 )(*1caac)(*2cbbc)()(*2*1*cbbcaaccc52其運算法則為：其運算