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1、雙曲線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)精講一、雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)).用集合表示為.注(1)若定義式中去掉絕對(duì)值,則曲線僅為雙曲線中的一支.(2)當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線;當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.(3)時(shí),點(diǎn)的軌跡不存在.在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn):條件“”是否成立;要先定型(焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上),再定量(確定,的值),注意的應(yīng)用.二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)如表10-2所示.表10-2標(biāo)準(zhǔn)方程圖形yxB1B2F2A2A1F1B1F1xyA1
2、F2B2A2焦點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱性關(guān)于,軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo),范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為離心率漸近線方程令,焦點(diǎn)到漸近線的距離為令,焦點(diǎn)到漸近線的距離為點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系共焦點(diǎn)的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點(diǎn)為切點(diǎn)切線方程對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程,只需將雙曲線方程中換為,換成便得.切點(diǎn)弦所在直線方程為雙曲線外一點(diǎn)為雙曲線外一點(diǎn)點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為,.則弦長(zhǎng),其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù).通徑通徑(過焦點(diǎn)且垂直于的弦)是同支中的最短弦,其長(zhǎng)為焦點(diǎn)三角形雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形,設(shè),
3、則,r1r2F1yxF2P(x0,y0)O,焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件:雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為.題型歸納及思路提示題型1 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程思路提示求雙曲線的方程問題,一般有如下兩種解決途徑:(1)在已知方程類型的前提下,根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù),即利用待定系數(shù)法求方程.(2)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足的條件,來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線,然后求解方程中的參數(shù),即利用定義法求方程.例10.11 設(shè)橢圓的離心率為,焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )A
4、. B. C. D. 解析 設(shè)的方程為,則,得.橢圓的焦點(diǎn)為,因?yàn)?,且由雙曲線的定義知曲線是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線,故的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故選A.變式 1 設(shè)命題甲:平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn),使得為定值,命題乙:點(diǎn)的軌跡為雙曲線,則命題甲是命題乙的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式 2 已知和是平面上的兩個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程.變式 3已知,動(dòng)點(diǎn)滿足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為,求的方程.例10.12 求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)經(jīng)過點(diǎn),焦點(diǎn)為; (2)實(shí)半軸長(zhǎng)為且與雙曲線有公共焦點(diǎn); (3)經(jīng)過點(diǎn),.分析 利用待定系數(shù)法求方程.設(shè)雙曲
5、線方程為“”,或“”,求雙曲線方程,即求參數(shù),為此需要找出并解關(guān)于,的兩個(gè)方程.解析 (1)解法一:因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為,焦點(diǎn)在軸上,故可設(shè)雙曲線方程為,又雙曲線過點(diǎn),所以,又因?yàn)?,所以,解得,故所求雙曲線方程為.解法二:由雙曲線的定義, .得,故,雙曲線方程為.(2)解法一:由雙曲線方程,得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由題意,可設(shè)所求雙曲線方程為,由已知,得,故所求雙曲線方程為.解法二:依題意,設(shè)雙曲線的方程為, 由.得,故所求曲線的方程為.(3)因?yàn)樗箅p曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,但不知焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,故可設(shè)雙曲線方程為,因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn),所以,解得,故所求雙曲線方程為.評(píng)注 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法
6、,若焦點(diǎn)坐標(biāo)確定,一般僅有一解;若焦點(diǎn)坐標(biāo)不能確定是在軸上還是在軸上,可能有兩個(gè)解,而分類求解較為繁雜,此時(shí)可設(shè)雙曲線的統(tǒng)一方程,求出即可,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.變式 1 根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)與雙曲線有共同的漸近線,且過點(diǎn); (2)與雙曲線有公共焦點(diǎn);且過點(diǎn).變式 2 若動(dòng)圓與圓外切,且與圓內(nèi)切,求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程.例10.13 已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)分別為,則雙曲線方程為( )A. B. C. D. 解析 由焦點(diǎn)為,可知焦點(diǎn)在軸上,故設(shè)方程為,且,故.所以,故所求雙曲線的方程為.故選A.變式 1 已知雙曲線的一條漸近線方程為,一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方
7、程為( )A. B. C. D. 變式 2 已知雙曲線的焦距為10,點(diǎn)在的漸近線上,則的方程為( )A. B. C. D. 變式 3 已知點(diǎn)是雙曲線漸近線上的一點(diǎn),是左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若,則雙曲線的方程為( )A. B. C. D. 題型2 雙曲線的漸近線思路提示掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求;由雙曲線方程容易求得漸近線方程;反之,由漸近線方程可得出,的關(guān)系式,為求雙曲線方程提供了一個(gè)條件.另外,焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng).例10.14 雙曲線的漸近線方程為( )A. B. C. D. 分析 對(duì)不標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線方程應(yīng)首先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再去研究其圖形或性質(zhì),不然極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解析 雙曲線的標(biāo)
8、準(zhǔn)方程為,焦點(diǎn)在軸上,且,故漸近線方程為,故所求漸近線方程為,即.故選A.評(píng)注 應(yīng)熟記,若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則焦點(diǎn)落在軸上,漸近線方程為;若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則焦點(diǎn)落在軸上,漸近線方程為.本題也可以直接寫出漸近線方程為,化簡(jiǎn)得.變式 1已知雙曲線的一條漸近線的方程為,則_變式 2 設(shè)雙曲線的漸近線方程為,則的值為( )A.4B.3C.2D.1變式 3 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,其中一條漸近線方程為,點(diǎn)在該雙曲線上,則等于( )A.-12B.-2C.0D.4例10.15 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_.解析 由題設(shè)可知其中一條漸近線方程為,則焦點(diǎn)到該漸近線的距離.評(píng)注 雙曲線的一個(gè)
9、焦點(diǎn)到其漸近線的距離(焦?jié)u距)為.變式 1雙曲線的漸近線與圓相切,則( )A. B. 2C.3D.6變式 2 已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心,則該雙曲線的方程為( )A. B. C. D. 例10.16 過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為,若,作為雙曲線的漸近線方程為_.解析 解法一:對(duì)于,則直線方程為,將該直線分別與兩漸近線聯(lián)立,解得,則有,因?yàn)椋瑒t,得,故,得雙曲線方程為,則雙曲線的漸近線方程為.CDxyOABH解法二:如圖10-5所示,過點(diǎn)作交軸于點(diǎn),作軸于,圖10-5則由,得,故.又,所以,則為中點(diǎn),即.又在直角三角
10、形中,故,即.故,即,故雙曲線的漸近線方程為.評(píng)注 在解法一種,若注意到,則可利用巧妙求解;解法二更能幫助我們挖掘出圖形的本質(zhì)特征.變式 1 過雙曲線的右頂點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線交于,兩點(diǎn),且,則直線的斜率為_.題型3 離心率的值及取值范圍思路提示求離心率的本質(zhì)就是探求,間的數(shù)量關(guān)系,知道,中任意兩者的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出或其范圍,具體方法為標(biāo)準(zhǔn)方程法和定義法.例10.17 已知雙曲線,則此雙曲線的離心率為( )A. B.2 C. D. 解析 由題意可知,故,所以離心率.故選D.評(píng)注 本題若借用公式,則更為簡(jiǎn)潔,因?yàn)榇朔N方法在求解過程中避開了基本量的求解,從而使得求解過程變得更為
11、簡(jiǎn)捷.但是同學(xué)們應(yīng)對(duì)公式:橢圓中;雙曲線中,加以熟練識(shí)記.變式 1 下列雙曲線中離心率為的是( )A. B. C. D. 變式 2 已知點(diǎn)在雙曲線上,的焦距為4,則它的離心率為_.變式 3 已知雙曲線的離心率,則的取值范圍是( )A. B. C. D. 例10.18 已知雙曲線的漸近線方程是,則該雙曲線的離心率等于_分析 因?yàn)椴淮_定焦點(diǎn)在軸上還是在軸上,所以需分情況求解,由漸近線中的,關(guān)系,結(jié)合得出離心率.解析 依題意,雙曲線的漸近線方程是.若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,則因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,故有,所以離心率;若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,則因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,故有,即,所以離心率;故離心率等于或
12、.評(píng)注 若雙曲線方程為時(shí)(焦點(diǎn)在軸上),其漸近線方程為;若雙曲線方程為時(shí)(焦點(diǎn)在軸上),其漸近線方程為;若雙曲線的漸近線方程為;則其離心率(焦點(diǎn)在軸上)或(焦點(diǎn)在軸上);若雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為(焦點(diǎn)在軸上)或(焦點(diǎn)在軸上).變式 1 中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn),則它的離心率為( )A. B. C. D. 變式 2 若雙曲線的離心率,則其漸近線方程為_.例10.19 已知雙曲線.(1)若實(shí)軸長(zhǎng),虛軸長(zhǎng),焦距成等差數(shù)列,則該雙曲線的離心率_;(2)若實(shí)軸長(zhǎng),虛軸長(zhǎng),焦距成等比數(shù)列,則該雙曲線的離心率_.解析 (1)由題設(shè)可知,且,故,得,即,所以.(2)由題設(shè)可
13、知,且,即,由可得,得或(舍去),所以.變式 1 設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么雙曲線的離心率是( )A. B. C. D. 圖10-6DCBAB1A2F1xyOA1F2B2變式 2 如圖10-6所示,雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)為,虛軸兩個(gè)端點(diǎn)為,兩個(gè)焦點(diǎn)為,若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,切點(diǎn)分別為.則(1)雙曲線的離心率_.(2)菱形的面積與矩形的面積的比值_.F2F1M300xyO圖10-7例10.20 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn),若垂直于軸,則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 解析 依題意,如圖10-7所示
14、,不妨設(shè),則,則,故選B.變式1 已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),為雙曲線上的點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 變式2 已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是上一點(diǎn),若,且的最小內(nèi)角為,則的離心率為_.例10.21 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,若為其上一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )A. B. C. D. 解析 解法一:由雙曲線的定義知,故,又,故,即,又,故,故選B.解法二:利用的單調(diào)性,隨的增加,減小,也就是說,當(dāng)點(diǎn)右移時(shí),值減小,故要在雙曲線上找到一點(diǎn),使得,而當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí),得,則,故選B.評(píng)注 若在雙曲線上存在一點(diǎn),使得,則,注意與橢圓中類似結(jié)論的區(qū)分和對(duì)比識(shí)記.變式1
15、 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,若雙曲線上存在點(diǎn)使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是_.題型4 焦點(diǎn)三角形思路提示對(duì)于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問題常用定義,即,在焦點(diǎn)三角形面積問題中若已知角,則用,及余弦定理等知識(shí);若未知角,則用.例10.22 過雙曲線左焦點(diǎn)的直線交雙曲線的左支于兩點(diǎn),為其右焦點(diǎn),則的值為_.分析 利用雙曲線的定義求解NxyOMF1F2圖10-8解析 如圖10-8所示,由定義知,所以,所以.變式 1 設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn),是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則的面積為( )A. B.12C. D.24變式 2 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在雙曲線上,的面積為,則等于( )A.2B.
16、C.-2D. 變式 3 已知分別為雙曲線左、右焦點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,為的平分線,則_. 有效訓(xùn)練題1. 已知雙曲線,直線過其左焦點(diǎn),交雙曲線左支于兩點(diǎn),且,為雙曲線的右焦點(diǎn),的周長(zhǎng)為20,則的值為( )A. 8B. 9C. 16D. 202. 若點(diǎn)和點(diǎn)分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為( )A. B. C. D. 3. 已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則( )A. B. C. D. 4. 若橢圓的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為( )A. B. C. D. 5. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,且恰好為拋物線的焦點(diǎn),設(shè)雙曲線與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為,若是以為底邊的等腰三角形,則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. l圖10-9EMFxyO6. 如圖10-9所示,過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)引它的漸近線的垂線,垂足為,延長(zhǎng)交軸于,若,則該雙曲線的離心率為( )A.3B.2C. D. 7. 已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且的右焦點(diǎn)為,則_, _.8. 已知雙曲線,點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線上一個(gè)點(diǎn),若,則的值為_.9. 若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,為雙曲線上一點(diǎn),且,則該雙曲線離心率的取值范圍是_.10
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