二重積分對(duì)稱性定理的證明及應(yīng)用

1、目 錄摘 要.1關(guān)鍵詞.1Abstract .1Keywords.1前言.11預(yù)備知識(shí).12二重積分對(duì)稱性定理在不同條件下的證明及其應(yīng)用.2 2.1 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.2 2.2 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)任意直線對(duì)稱.5 2.3 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.9 2.4 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)對(duì)稱.11 2.5 積分區(qū)域同時(shí)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.12結(jié)束語.12參考文獻(xiàn).13二重積分對(duì)稱性定理的證明及應(yīng)用摘 要：本文歸納利用對(duì)稱性來計(jì)算二重積分的方法，給出了二重積分對(duì)稱性定理的證明并舉出了相應(yīng)例題關(guān)鍵詞：對(duì)稱性；積分區(qū)城；被積函數(shù)The Application of Symmetr

2、y in Double Integral CalculatingAbstract：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords：Symmetry; Integral region; Integrated function前言利用對(duì)稱性計(jì)算

3、二重積分，不但可以使計(jì)算簡(jiǎn)化，有時(shí)還可以避免錯(cuò)誤在一般情況下，必須是積分區(qū)域具有對(duì)稱性，而且被積函數(shù)對(duì)于區(qū)域也具有對(duì)稱性，才能利用對(duì)稱性來計(jì)算在特殊情況下，雖然積分區(qū)域沒有對(duì)稱性，或者關(guān)于對(duì)稱區(qū)域被積函數(shù)沒有對(duì)稱性，但經(jīng)過技巧性的處理，化為能用對(duì)稱性來簡(jiǎn)化計(jì)算的積分這些都是很值得我們探討的問題1 預(yù)備知識(shí)對(duì)于二重積分的計(jì)算，我們總是將其化為二次定積分來完成的，而在定積分的計(jì)算中，若遇到對(duì)稱區(qū)間，則有下面非常簡(jiǎn)潔的結(jié)論：當(dāng)在區(qū)間上為連續(xù)的奇函數(shù)時(shí)，當(dāng)在區(qū)間上為連續(xù)的偶函數(shù)時(shí)，這個(gè)結(jié)論，?？珊?jiǎn)化計(jì)算奇、偶函數(shù)在對(duì)稱于原點(diǎn)的區(qū)間上的定積分在計(jì)算二重積分時(shí)，若積分區(qū)域具有某種對(duì)稱性，是否也有相應(yīng)的結(jié)論

4、呢？回答是肯定的下面，我們將此結(jié)論類似地推廣到二重積分2 二重積分對(duì)稱性定理在不同條件下的證明及其應(yīng)用定理1 若二重積分滿足(1) 區(qū)域可分為對(duì)稱的兩部分和，對(duì)稱點(diǎn)，；(2) 被積函數(shù)在對(duì)稱點(diǎn)的值與相同或互為；則 其中的坐標(biāo)根據(jù)的對(duì)稱性的類型而確定2.1 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱2.1.1 積分域關(guān)于軸對(duì)稱，為上的連續(xù)函數(shù)定理2 如果積分域關(guān)于軸對(duì)稱，為的奇偶函數(shù)，則二重積分，其中為在軸的上半平面部分證明 (1)若區(qū)域?qū)ΨQ于軸圖，對(duì)任意，其對(duì)稱點(diǎn)，令 ，則變換為坐標(biāo)面上的，且雅可比行列式 故 ，于是，代入（1）式得：例1 計(jì)算，其中區(qū)域：解 是關(guān)于的奇函數(shù)且關(guān)于軸對(duì)稱，所以例2 計(jì)算，其中區(qū)域：

5、解 因?yàn)槭顷P(guān)于的偶函數(shù)，且關(guān)于軸對(duì)稱，所以2.1.2 積分域關(guān)于軸對(duì)稱，為上的連續(xù)函數(shù)定理3 如果積分域關(guān)于軸對(duì)稱，為的奇偶函數(shù)，則二重積分 ，其中為在軸的右半平面部分證明 若區(qū)域?qū)ΨQ于軸圖2，對(duì)任意，對(duì)稱點(diǎn)，類似定理2的證明可得例3 計(jì)算，其中：解 ，且區(qū)域D關(guān)于軸對(duì)稱，所以 例4 計(jì)算，其中區(qū)域：解 是關(guān)于的偶函數(shù)，且區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，所以2.2 積分區(qū)域D關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)任意直線對(duì)稱將積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的情況推廣到積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)任意直線對(duì)稱，則有下面定理：定理4 如果積分域關(guān)于直線對(duì)稱，則二重積分其中為在以直線為軸的右半平面部分圖3證明 若區(qū)域?qū)ΨQ于直線，不妨設(shè)，即傾斜角為銳角首

6、先，平移坐標(biāo)軸，得坐標(biāo)系,如圖3 ，即 （2）其次，將坐標(biāo)系沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，使軸與直線重合得新坐標(biāo)系： （3）由得，即坐標(biāo)面內(nèi)對(duì)稱于直線的區(qū)域，在新坐標(biāo)系內(nèi)對(duì)應(yīng)的區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱面內(nèi)任意點(diǎn)，在面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，在面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，將代入，化簡(jiǎn)得：因此，面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，雅可比行列式為 ，于是由定理2知即 例5 計(jì)算二重積分，其中是拋物線，及直線所圍成的區(qū)域 圖4解 由于積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，被積函數(shù)中在區(qū)域上關(guān)于為奇函數(shù)，在區(qū)域上關(guān)于為偶函數(shù)，見圖4,由定理4，得：當(dāng)積分域關(guān)于直線軸對(duì)稱時(shí)，有下面推論：推論1 如果積分域關(guān)于直線軸對(duì)稱，則二重積分例6 設(shè)為恒正的連續(xù)函數(shù)

7、，計(jì)算積分 解 由于積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，所以由推論2，可得：，于是故 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱時(shí)，被積分函數(shù)的兩個(gè)變量可以互換位置的特殊性質(zhì)可以使二重積分計(jì)算化簡(jiǎn)類似的，若積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱且滿足，則 ，或滿足，則有 （其中為的一半）2.3 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱定理5 如果積分域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，同時(shí)為，的奇偶函數(shù)，則二重積分，其中為的上半平面部分 圖5證明 若區(qū)域?qū)ΨQ于原點(diǎn)圖5，對(duì)任意，對(duì)稱點(diǎn)，, ,令，則區(qū)域變換為坐標(biāo)平面內(nèi)區(qū)域，雅可比行列式 ，所以，代入，得例7 計(jì)算其中是由，以及所圍成的閉區(qū)域圖6解 如圖6， ，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但被積函數(shù)不滿足,也不滿足,故不能直接用定理來計(jì)算，但若記， 對(duì)

8、和分別應(yīng)用定理5，則 ， ，故 2.4 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)對(duì)稱將積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況推廣到積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)對(duì)稱，則有下面定理：定理6 如果積分域關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則二重積分，其中為以為對(duì)稱點(diǎn)的右半平面部分 圖7證明 若區(qū)域?qū)ΨQ于點(diǎn) 圖7 ，平移坐標(biāo)軸，即 坐標(biāo)面內(nèi)區(qū)域在坐標(biāo)面內(nèi)對(duì)應(yīng)的區(qū)域關(guān)于其坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱面內(nèi)任意點(diǎn)，對(duì)應(yīng)面內(nèi)點(diǎn)，它關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為面內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)面內(nèi)點(diǎn)由此，面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為雅可比行列式為，于是由定理5的證明知即2.5 積分區(qū)域同時(shí)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱推論2 若區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)全對(duì)稱，則二重積分，其中為位于第一象限部分例8 計(jì)算二重積分，其中區(qū)域：解 由于積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)全對(duì)稱， 由上述定理得結(jié)束語本文給出了二重積分對(duì)稱性定理在不同條件下的證明以及應(yīng)用，利用二重積分積分域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性，一方面可減少計(jì)算量，另一方面可避免出差錯(cuò)，僅當(dāng)積分域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性兩者兼得時(shí)才能用對(duì)稱性定理 當(dāng)對(duì)稱區(qū)域位于平面上任意位置時(shí)，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)往往比較復(fù)雜，導(dǎo)致定理中某些條件難以檢驗(yàn)但如果，那么無論對(duì)稱區(qū)域位于何處，總有，定理恒成立這就是為什么在求面積、體積時(shí)，總可以用對(duì)稱性化簡(jiǎn)的原因參考文獻(xiàn)1 隋梅真對(duì)稱區(qū)域上二重積分可以簡(jiǎn)化的條件和方法J山東：山東建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)，1