高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對點練20 隨機變量及其分布 理

1、專題對點練20隨機變量及其分布1.(2017山東濰坊一模,理18)甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺主辦的聽曲猜歌名活動,在每一輪活動中,依次播放三首樂曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首.若有一人猜錯,則活動立即結(jié)束;若三人均猜對,則該小組進入下一輪.該小組最多參加三輪活動.已知每一輪甲猜對歌名的概率是34,乙猜對歌名的概率是23,丙猜對歌名的概率是12.甲、乙、丙猜對互不影響.(1)求該小組未能進入第二輪的概率;(2)記乙猜對歌曲的次數(shù)為隨機變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解 (1)設(shè)“該小組未能進入第二輪”為事件a,其對立事件為a,則p(a)=1-p(a)=1-34×23&

2、#215;12=34.(2)由題意可得的可能取值為0,1,2,3.p(=0)=1-34+34×1-23=12,p(=1)=34×23×12×34×1-23+34×23×12×1-34+34×23×1-12=38,p(=3)=34×23×12×34×23×12×34×23=132,p(=2)=1-p(=0)-p(=1)-p(=3)=332.故的分布列為0123p1238332132e()=0×12+1×38+

3、2×332+3×132=2132.2.某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記x表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求x的分布列;(2)若要求p(xn)0.5,確定n的最小值;(3)以購

4、買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?解 (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而p(x=16)=0.2×0.2=0.04;p(x=17)=2×0.2×0.4=0.16;p(x=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;p(x=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;p(x=20)=2×0.2×0.4+0.

5、2×0.2=0.2;p(x=21)=2×0.2×0.2=0.08;p(x=22)=0.2×0.2=0.04.所以x的分布列為x16171819202122p0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知p(x18)=0.44,p(x19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元).當(dāng)n=19時,e(y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19

6、15;200+3×500)×0.04=4 040.當(dāng)n=20時,e(y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知當(dāng)n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值,故應(yīng)選n=19.3.(2017貴州貴陽二模,理18)醫(yī)學(xué)上某種還沒有完全攻克的疾病,治療時需要通過藥物控制其中的兩項指標(biāo)h和v.現(xiàn)有三種不同配方的藥劑,根據(jù)分析,a,b,c三種藥劑能控制h指標(biāo)的概率分別為0.5,0.6,0.75,能控制v指標(biāo)的概率分別是0.6

7、,0.5,0.4,能否控制h指標(biāo)與能否控制v指標(biāo)之間相互沒有影響.(1)求a,b,c三種藥劑中恰有一種能控制h指標(biāo)的概率;(2)某種藥劑能使兩項指標(biāo)h和v都得到控制就說該藥劑有治療效果.求三種藥劑中有治療效果的藥劑種數(shù)x的分布列.解 (1)a,b,c三種藥劑中恰有一種能控制h指標(biāo)的概率為p=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275.(2)a有治療效果的概率為pa=0.5×0.6=0.3,b有治療效果的概率為pb=0.6×

8、0.5=0.3,c有治療效果的概率為pc=0.75×0.4=0.3,a,b,c三種藥劑有治療效果的概率均為0.3,可看成是獨立重復(fù)試驗,即xb(3,0.3).x的所有可能取值為0,1,2,3,p(x=k)=c3k×0.3k×(1-0.3)3-k,即p(x=0)=c30×0.30×(1-0.3)3=0.343,p(x=1)=c31×0.3×(1-0.3)2=0.441,p(x=2)=c32×0.32×(1-0.3)=0.189,p(x=3)=c33×0.33=0.027.故x的分布列為x0123p

9、0.3430.4410.1890.027導(dǎo)學(xué)號168042094.(2017福建廈門二模,理19)2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年,有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機會,通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1 000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分z服從正態(tài)分布n(,210),近似為這1 000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布求p(50.5<z<94).(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制

10、定如下獎勵方案:得分不低于可獲贈2次隨機話費,得分低于則只有1次;每次贈送的隨機話費和對應(yīng)概率如下:贈送話費(單位:元)1020概率2313現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記x(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求x的分布列.附:21014.5,若zn(,2),則p(-<z<+)0.682 7,p(-2<z<+2)0.954 5.解 (1)e(z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,=65,=21014.5,p

11、(50.5<z<79.5)0.682 7,p(36<z<94)0.954 5,p(79.5<z<94)0.954 5-0.682 72=0.135 9,p(50.5<z<94)=p(50.5<z<79.5)+p(79.5<z<94)0.682 7+0.135 9=0.818 6.(2)p(z<)=p(z)=12,x的所有可能取值為10,20,30,40,p(x=10)=12×23=13,p(x=20)=12×13+12×23×23=718,p(x=30)=12×23×13+12×13×23=29,p(x=