八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 4.5 一次函數(shù)的應(yīng)用 一次函數(shù)的專題復(fù)習(xí)導(dǎo)航素材 新版湘教版

1、一次函數(shù)的專題復(fù)習(xí)導(dǎo)航一、課標(biāo)要求1了解常量與變量的意義，函數(shù)的概念及三種表示方法，能用適當(dāng)?shù)姆椒坍嬆承?shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，并結(jié)合圖象對函數(shù)關(guān)系分析.2.能確定簡單的整式、分式和簡單實(shí)際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，會(huì)求出函數(shù)值.3.理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，了解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的關(guān)系 4知道一次函數(shù)和正比例函數(shù)的一般形式，會(huì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式，會(huì)畫一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象5會(huì)求一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)求兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)6掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)研究函數(shù)的增減性等問題7能利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題二、探索知識(shí)

2、結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)a三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、中考命題趨勢 重點(diǎn)：理解函數(shù)、一次函數(shù)的概念，掌握一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用 難點(diǎn)：對函數(shù)概念的理解及對函數(shù)思想的應(yīng)用學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖象解決簡單的實(shí)際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，并能從中體會(huì)函數(shù)與方程的關(guān)系，構(gòu)建良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 中考命題趨勢：隨著中考重心由“二次”向“一次”的轉(zhuǎn)移，許多設(shè)計(jì)新穎、貼近生活，反映時(shí)代特點(diǎn)的應(yīng)用題及圖表信息題大都需要構(gòu)建一次函數(shù)模型來解決，同時(shí)對數(shù)學(xué)思想方法：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想等考查與知識(shí)有機(jī)融合在一起.三個(gè)“一次”綜合命題也應(yīng)運(yùn)而生，這些方面都應(yīng)引起同學(xué)們的高度重視.四、知識(shí)要點(diǎn)1函數(shù)的概念 在某變化的過程中有兩個(gè)變量

3、x和y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有惟一確定的值與它對應(yīng)，那么稱x是自變量，y是x的函數(shù)2函數(shù)的表達(dá)式 用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)的解析式或函數(shù)關(guān)系式，用數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)方法叫做解析法3自變量取值范圍的確定 必須考慮自變量的取值使解析式有意義，具體地，整式型的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，分式型的自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)，二次根式型的自變量的取值范圍是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，復(fù)合型的自變量的取值范圍由所列不等式的解集確定，應(yīng)用型的自變量的取值范圍還應(yīng)考慮實(shí)際意義4函數(shù)值 對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值，如當(dāng)*=n時(shí)，函數(shù)有惟一確定的對應(yīng)值，這個(gè)對應(yīng)值叫做x=o的函數(shù)值5一

4、次函數(shù)的圖象及性質(zhì) 正比例函數(shù)y=kx(k0)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，(1，k)的一條直線，一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，k0)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0，b)，(，0)的一條直線 當(dāng)k>0時(shí)，直線從左向右上升，即y隨x的增大而增大，若b>0，直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、三象限；若b<0，直線y=kx+b經(jīng)過第一、四、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，直線從左向右下降，即y隨x的增大而減小.若b>0，直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限；若b<0，直線y=kx+b經(jīng)過第二、三、四象限；6一次函數(shù)與正比例函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別 若兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y=kx+b(

5、k，b為常數(shù)，k0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù)，特別地當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù)，顯然正比例函數(shù)是一次函數(shù)，而一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況若從圖象的角度觀察：y=kx+b(k，b為常數(shù)，k0)可以看作由y=kx(k0)平移|b|個(gè)單位長度而得到的，b>0時(shí)向上平移；b<0時(shí)，向下平移.7一次函數(shù)表達(dá)式的確定通常有下列幾種情況： (1) 通過分析數(shù)量（等量）關(guān)系得出函數(shù)關(guān)系式 (2)通利用函數(shù)圖象，由待定系數(shù)，根據(jù)直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)列出方程組確定k，b的值，求出一次函數(shù)表達(dá)式 (3)從己知條件出發(fā)，通過數(shù)學(xué)建模得出一次函數(shù)表達(dá)式五、思想方法1、數(shù)形結(jié)

6、合思想著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形分離萬事休”.這句名言道出“數(shù)形結(jié)合思想”的重要性. 函數(shù)圖形可直觀形象地表示出兩個(gè)變量的相互關(guān)系，我們知道一次函數(shù)的圖象是坐標(biāo)（x，y）滿足解析式y(tǒng)=kx+b(k，b為常數(shù)，k0)的所有點(diǎn)的集合，這樣就將數(shù)與式的關(guān)系同點(diǎn)與線的位置關(guān)系緊密地融合在一起，實(shí)現(xiàn)了形數(shù)的完美結(jié)合.由一次函數(shù)的圖象探索的其性質(zhì)就是一個(gè)由“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化的例證.2、待定系數(shù)法待定系數(shù)法是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)方法，要結(jié)合它在確定一次函數(shù)表達(dá)式中的應(yīng)用，理解它的基本思想，并注意在以后學(xué)習(xí)中應(yīng)用.3化歸思想求兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求方程

7、組的解即將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的問題，當(dāng)然求方程組的解也可以將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)畫出圖象，求交點(diǎn)坐標(biāo)即可.4分類討論的思想：研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的時(shí)候，對k、b進(jìn)行了討論，體現(xiàn)了分類討論的思想六、學(xué)法指導(dǎo) 1由函數(shù)關(guān)系式畫出函數(shù)圖象，再由函數(shù)圖象比較“數(shù)”，這是“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，是函數(shù)解題的重要手段 2要注意體會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系，加強(qiáng)“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是兩函數(shù)圖象對應(yīng)的兩函數(shù)表達(dá)式組成的方程組的解，反之，以兩函數(shù)表達(dá)式組成的方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)3.圖象信息題解答指要：數(shù)學(xué)中表格、圖象和圖形是一種最直觀、最形象和最集中的語言交流渠道

8、，其中包含著大量豐富的有價(jià)值的信息資源.圖象信息題，是指由函數(shù)圖象提供已知條件的試題包括由圖象的形狀特點(diǎn)，變化趨勢，相關(guān)位置，交點(diǎn)（包括特殊點(diǎn)）的情況、相關(guān)數(shù)據(jù)給出的信息，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，要求同學(xué)們學(xué)會(huì)觀察、分析圖象的特點(diǎn)，從而獲取有效的數(shù)學(xué)信息.中考中常見有1、實(shí)際問題的函數(shù)圖象問題；2、一次函數(shù)圖象與其它函數(shù)圖象綜合問題等等.典型例題展示：一、自變量的取值范圍，函數(shù)值計(jì)算.例1、（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是。（2）函數(shù)的自變量的取值范圍是_ （3）根據(jù)流程右邊圖中的程序，當(dāng)輸入數(shù)值x為2時(shí)，輸出數(shù)值y為a4 b6 c8 d10分析：（1）由于函數(shù)關(guān)系式是二次根式，要求x+20

9、，故x2；（2）由算術(shù)平方根的意義可知x10，由分式有意義的條件需x10，故自變量的取值范圍是x1>0，即x>1.（3）因?yàn)檩斎霐?shù)值x為2，符合x<1，它應(yīng)該滿足函數(shù)y =x+5，所以y=×（2）+5=6，故選b.二、根據(jù)提供的實(shí)際情景，選擇相吻合描繪圖象.例2、解放軍某部接到上級(jí)命令，乘車前往四川地震災(zāi)區(qū)抗震救災(zāi)前進(jìn)一段路程后，由于道路受阻，汽車無法通行，部隊(duì)通過短暫休整后決定步行前往若部隊(duì)離開駐地的時(shí)間為（小時(shí)），離開駐地的距離為（千米），則能反映與之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ）圖2-2（2）如圖2-2，烏鴉口渴到處找水喝，它看到了一個(gè)裝有水的瓶子，但水位較低，

10、且瓶口又小，烏鴉喝不著水，沉思一會(huì)后，聰明的烏鴉銜來一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位上升后，烏鴉喝到了水在這則烏鴉喝水的故事中，設(shè)從烏鴉看到瓶的那刻起向后的時(shí)間為，瓶中水位的高度為，下列圖象中最符合故事情景的是（）（1）分析：觀察坐標(biāo)系的橫縱坐標(biāo)軸，橫軸表示部隊(duì)行駛的時(shí)間，縱軸為行駛的路程，顯然開始乘車的速度快，由于中間短暫休息，說明路程未變，時(shí)間在增加，休息后步行，速度相對汽車變小，反映在圖象上比開始時(shí)要陂，觀察圖象可知a符合要求.（2）分析：要選擇出符合問題情景的圖象必須透徹分析烏鴉的銜石與喝水過程. 從烏鴉看到瓶的那刻起到銜石放入瓶中，時(shí)間再增加，而瓶中水位的高度沒有發(fā)生變化，因而可排除圖象c

11、；當(dāng)烏鴉不斷銜來一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中的過程中，水位不斷上升，據(jù)此可排除圖象a；烏鴉喝水的過程中，瓶中水位的高度逐漸下降，但其水位不能低于開始的水的高度，而圖象b確是低于的，故排除b；所以選d .三、定性（量）探究一次函數(shù)的圖象23圖3-2yxo例3、（1）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ） a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限（2）一次函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）abcd（3）如圖3-3，某電信公司提供了兩種方案的移動(dòng)通訊費(fèi)用（元）與通話時(shí)間（元）之間的關(guān)系，則以下說法錯(cuò)誤的是（ ）a若通話時(shí)間少于120分，則方案比方案便宜20元b若通話時(shí)間超過200分，則方案比方案

12、便宜12元c若通訊費(fèi)用為60元，則方案比方案的通話時(shí)間多d若兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，則通話時(shí)間是145分或185分分析：（1）本題主要考查一次函數(shù)的圖象。函數(shù)y=kx+b中，k0，b0，則圖象經(jīng)過一、三、四象限，故選b.（2）本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，觀察圖象當(dāng)x=2時(shí)y=0，又y隨x的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，x>2，故選c.（3）觀察圖象：a方案當(dāng)通話時(shí)間不超過120分時(shí)需話費(fèi)30元，b方案當(dāng)通話時(shí)間不超過200分時(shí)需話費(fèi)50元，因此選擇支a是正確的.超過120分時(shí)，a方案的費(fèi)用（元）與通話時(shí)間之間的關(guān)系=x18, 超過200分時(shí)，b方案的費(fèi)用（元）與通話時(shí)間之間的關(guān)系： =x30

13、,故通話時(shí)間超過200分時(shí)，=12，所以選擇支b是正確的. 當(dāng)通訊費(fèi)用為60元時(shí)，圖中的紅線與方案a、b的交點(diǎn)分別為點(diǎn)m、n，顯然點(diǎn)n的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)m的橫坐標(biāo)，說明方案b通話時(shí)間長. 所以選擇支c是正確的.由選擇支b可知，當(dāng)通話時(shí)間超過200分時(shí)，兩種方案通訊費(fèi)用相差12元，不可能是10元，觀察圖象當(dāng)通話時(shí)間在120分170分時(shí)，b方案的費(fèi)用高于a方案的費(fèi)用10元時(shí)，即a方案的費(fèi)用為40元時(shí)，40=x18,解之得x=145；當(dāng)通話時(shí)間在170分200分時(shí)，a方案的費(fèi)用高于b方案的費(fèi)用10元時(shí)，即a方案的費(fèi)用為60元時(shí)，60=x18,解之得x=195，所以選擇支d是錯(cuò)誤的.四、與幾何知識(shí)牽手綜合

14、問題圖4-1c例4、（1）如圖4-1，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)b在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段ab最短時(shí)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為a（0，0） b（，）c（，） d（，）（2）如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，有a（0，1），b（，0），c（1，0）三點(diǎn)坐標(biāo)（1）若點(diǎn)與三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，請寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）選擇（1）中符合條件的一點(diǎn)，求直線的解析式分析：（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知，過點(diǎn)a到直線的垂線段ac最短，因此點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)c重合時(shí)符合條件.由aoc=45°，acoc，aoc是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)c（，），故選b.yxacb2112o（2）（1）根據(jù)平行四邊形的判

15、定可知，d點(diǎn)與另一點(diǎn)所形成的線段必須與另一條線段平行，如果以ab和bc為鄰邊時(shí)，則當(dāng)abcd，adbc時(shí)，可得；如果以bc和ca為鄰邊時(shí)，則當(dāng)acbd，adbc時(shí)，可得d點(diǎn)坐標(biāo)為；如果以ab和ac為鄰邊時(shí)，則當(dāng)abcd，acbd時(shí)，可得d點(diǎn)坐標(biāo)為，故符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，（2）選擇點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，由題意得 解得 直線的解析式為 選擇點(diǎn)時(shí)，類似的求法，可得直線的解析式為 選擇點(diǎn)時(shí)，類似的求法，可得直線的解析式為五、利用二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系求交點(diǎn)坐標(biāo)（本題滿分6分）已知直線：和直線：，求兩條直線和 的交點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷該交點(diǎn)落在平面直角坐標(biāo)系的哪一個(gè)象限上.分析：兩條直線和 的交

16、點(diǎn)坐標(biāo)就是由兩條直線的解析式組成的二元一次方程組的解，解之得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），該交點(diǎn)落在平面直角坐標(biāo)系的第四象限.六、利用表格信息建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型例6依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)從2008年3月1日起，新修改后的中華人民共和國個(gè)人所得稅法規(guī)定，公民每月收入不超過2000元，不需交稅；超過2000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)納稅，且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率納稅，詳細(xì)的稅率如下表：級(jí)別全月應(yīng)納稅所得額稅率(%)1不超過500元的52超過500元至2 000元的部分103超過2 000元至5 000元的部分154超過5 000元至20 000元的部分20（1）某工廠一名工人

17、2008年3月的收入為2 400元，問他應(yīng)交稅款多少元？（2）設(shè)x表示公民每月收入（單位：元），y表示應(yīng)交稅款（單位：元），當(dāng)2500x4000時(shí)，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）某公司一名職員2008年4月應(yīng)交稅款120元，問該月他的收入是多少元？分析：解決本題的關(guān)鍵是讀懂納稅的具體情況，即月收入超過2000元的部分才納稅，而且納稅的稅率是分段給出的（表格中）。（1）該工人3月的收入2 400元中，應(yīng)納稅的部分是400元，按納稅的稅率表，他應(yīng)交納稅款（元）；（2）當(dāng)時(shí)，其中2 000元不用納稅，應(yīng)納稅的部分在500元至2 000元之間，其中500元按交納，剩余部分按交納，于是，有；即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（3）根據(jù)（2）可知，當(dāng)收入為2 500元至4 000元之間時(shí)，納稅額在25元至175元之間，于是，由該職員納