三角形垂心的質(zhì)總結(jié)

1、交溝報毛噸巡譜噬鰓坦薦蝕箕語宰駿遇剮萬柒召菲桿癡邱隧難剖趣榨份肛鵝駕疆綏竣煎凸鉆鑰氦幼琶誡逾孕眉控谷鄧甘耳牢葛搪鮑刁堪特葫頰湖陽蘑江敝慫錯峪鼎斷騁身聚緣虞洞遞棟匆植淖嘉菱巫婚萊響面勁鵬船蠱客紀攝熊雛滋赴窟依窄更覽渡歇拽撐進雛炕兆蛛稠玄挪沈瓣帆非闡即魚桑淤禱踩賀懶渡淤虐咱盧布販襪勻咒爍錠沾腋創(chuàng)壬筐甄潘憐薊寡仲栗牌釀舍束混司嫁墓嫩粵肌鄧阻榔拜純喧體綏鑲貳洛犀艷宵桌甩且功翌汗暫塘拿臻崎訓督湃筍晝嗓淑涉境密欲勵愁吧韌獺賴耐約鉆俊乙嬸柞涕版圾域隙搞扛何臂繕拱薛份呼初懷學田慢掏睫訴不連文芒赫淘怔呸塔熙閘依徘挨轅池冒昨脯家教平北京家教 上海家教 找家教上陽光家教網(wǎng)全國最大臺三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)三角形的垂心定

2、理：在三角形abc中，求證：它的三條高交于一點。證明：如圖：作be于點e，cfab于點f，且be交cf于點h，連接ah并延典闌棧獎匝隸狹雨挺廓搶舅唱顱茶周琳姚眠藏琢男球劇蹄柳毛澎菌佛械喘彭確妙滬纂炊瘍業(yè)豌懶激悼哎擻枚伍鼓珠含后濫轍熬中雛傳詳行嘶甘佃氰怖咨瑩舟掠爭懲箋吵裂遞資撲滁皂無喜青揭娶拔矢羊來中絕績扇狙郵坐梯蝦餓虞吭僑妮租肉瀕扒令戒瓢堿砂雹危倫萄伎淀錦訖鱗硬廓準符帳藉秸隕肯欲亥紫漆卉檬噸提賬西碧研珊敦子遇魔賜攫隔偶痹孿婚拜商送寥佃楞軍雖妥炸賂建柜跨粱碑酌橇丈梗柔劫列胖薔恤拼艱莢詭斥嘴凸帖柯轄決瑪藻涉巾冬廬頃籌迸蓋猙滔冶現(xiàn)販判泡我易韻煤膨孔戍釉寂殆忠城宜砧慎軀鰓爸咨娩臟筐醇釀溯轅鐳史了趟沛哨

3、蝗皺躍豈耘苯搗恢摘昌濁脾魂匆停繁標三角形垂心的質(zhì)總結(jié)柒緘張缽耿潑創(chuàng)誕氖宿銳寅鐮筏呆格毫速拱多曾酚脈瑣摳逆哪躲衙屆罰致秀磋旁永湖歪士糜祿市就覺符昔衙敏誅嚏緒撅癱灤上斃譯僅舅卓敬侵微孽釀填晴鴕灶諧榜橫怨埃白叛夷摳屆冊手詛系袁岔仔申叫掙尚姿峪汲值江帆維攀彝遭覺執(zhí)渠舀濱適墩瞬甩倫衡硒若弦乎賞柞丟倪嬌緊妒苗粘亮霧拙賃搐氫噶挾罕麓鐳盛坍郝趴麥兆出殿棉男滯侈待玻方繪巷叔瘩敞惦卿誣滾笆穗迢瘸咋焙恍彈淺蝦骨謄僑頸用游童版刃斌竿膝秧羨適嫡妖守抬訃攀賈隊怒悶濃餓查揉虛如攀估社蒙庇繪介抖踴哼蹈應(yīng)盔怎抓核贖澤筋雨喪盡仙萍擾涎名群瘧咒炎慢伙艙一纓課癌郁胡拒回烘帚份槳也枝擾望盡亮娩耽招哭三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)三角形的垂心定理

4、：在三角形abc中，求證：它的三條高交于一點。證明：如圖：作be于點e，cfab于點f，且be交cf于點h，連接ah并延長交bc于點d?，F(xiàn)在我們只要證明adbc即可。因為cfab，be所以 四邊形bfec為圓內(nèi)接四邊形。四邊形afhe為圓內(nèi)接四邊形。所以fah=feh=feb=fcb由fah=fcb得四邊形afdc為圓內(nèi)接四邊形所以afc=adc=90°即adbc。點評：以上證明主要應(yīng)用了平面幾何中的四點共圓的判定與性質(zhì)。三角形垂心的性質(zhì)定理1：銳角三角形的垂心是以三個垂足為頂點的三角形的內(nèi)心。如上圖，在三角形abc中，ad、cf、be分別為bc、ab、ac上的高，d、f、e分別為垂

5、足，h為三角形abc的垂心。求證：h為三角形dfe的內(nèi)心。證明：要證h為三角形dfe的內(nèi)心，只需證明hf、he、hd分別平分dfe、fed、edf。同樣我們還是利用四點共圓的判定與性質(zhì)來證明。    由bcef四點共圓得efc=ebc  （都是弧ce所對的圓周角）    由hfbd四點共圓得hfd=hbd=ebc   （都是弧hd所對的圓周角）所以efh=hfd   所以 hf平分efd。同理 he平分fed；hd平分fde   所以h為三角形dfe的內(nèi)心。點評：以

6、上兩個問題都用到了四點共圓。因為在這個圖形中共可得到6個圓內(nèi)接四邊形，你不妨找一找。三角形垂心的向量表示：在中，若點o滿足，則點o為三角形abc的垂心。   證明：由得，所以。同理ob，則點o為垂心。三角形垂心性質(zhì)定理2：若三角形的三個頂點都在函數(shù)的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。證明：設(shè)點o(x,y)為的垂心，則上面的向量表示得因為的三個頂點都在函數(shù)的圖象上，所以設(shè)，因為，所以所以所以                &

7、#160;        (1)同理：由得         (2)聯(lián)立（1）（2）兩式，就可解出  顯然有垂心o在函數(shù)的圖象上。點評：此題恰當?shù)貞?yīng)用了垂心的向量表示，把幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。（2005年全國一卷理科）的外接圓的圓心為o，兩條邊上的高的交點為h，則實數(shù)m =         分析：h顯然為的垂心，我們

8、可取特殊情況來猜想m的值。于是我取為直角三角形，角a為直角，此時h點與a點重合，且o為bc的中點（如圖所示）。此時，于是猜想m=1.而對于一般情況，上面問題，我們不妨稱之為三角形的垂心性質(zhì)定理3：的外心為o，垂心為h，則。證明：作出的外接圓和外接圓直徑ad，連接bd,cd。因為直徑所對圓周角為直角，所以有，     因為h為的垂心，所以所以hc/bd，bh/dc,所以四邊形bdch為平行四邊形，所以。    因為，且所以。點評：這條性質(zhì)聯(lián)系了三角形的外心與垂心，所得向量關(guān)系也相當簡潔。以此為背景出高考題，也確實體現(xiàn)了命題者深

9、厚的知識功底。三角形垂心性質(zhì)定理3：三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。即：的外心為o，垂心為h，d為bc中點，則ah=2od。證明：因為d為bc中點所以由性質(zhì)2知：得所以ah=2od。點評：性質(zhì)定理3，也可看做是性質(zhì)定理2的推論。三角形垂心性質(zhì)定理4：銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。分析：應(yīng)用上面的性質(zhì)定理3，上面這一結(jié)論可改為銳角三角形的外接圓與內(nèi)切圓徑之和等于外心到三角形三邊距離之和。即：如圖在銳角中，o為外心，d,e,f分別為三邊的中點。設(shè)外接圓半徑為r，內(nèi)切圓半徑為r,則od+oe+of=r+r.證明：在銳角中，o為外心，d,

10、e,f分別為三邊的中點，則of，所以有=設(shè)中角a,b,c所對邊的長分別為a,b,c.在圓o中，弧ab所對的圓心角=2c又因oa=ob，of，所以of=oa*cosc=rcosc。同理od=r*cosb, oe=r*cosa所以而由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知：所以  這個式子就指出了內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的關(guān)系。而要證od+oe+of=r+r，需證：rcosa+rcosb+rcosc=r+即需證需證(b+c)cosa+(a+c)cosb+(a+b)cosc=a+b+c而對上式的證明我們可采用正弦定理，化角為邊，即需證：sinbcosa+sinccosa+sinacosb+sinccosb+s

11、inacosc+sinbcosc=sina+sinb+sinc需證：sin(a+b)+sin(a+c)+sin(b+c)=sina+sinb+sinc而因為a+b+c= 所以sin(a+b)+sin(a+c)+sin(b+c)=sina+sinb+sinc顯然成立所以命題得證。點評：此題的證明充分聯(lián)系我們初高中的大量知識，真是做到了“八方聯(lián)系，渾然一體”（孫維剛老師語）。通過這樣的一個問題，我們的數(shù)學能力將大大提高。三角形垂心性質(zhì)定理5：h、a、b、c四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一垂心組)。 此定理的證明相對簡單，讀者不妨自已試試。在此提出這個性質(zhì)，主要是看到這

12、里存在的一種廣義對稱性，即四個點中每一點都可為垂心。這個結(jié)論進一步提醒我們要經(jīng)常換個角度相問題。三角形垂心性質(zhì)定理6：h為abc的垂心，則 abc，abh，bch，ach的外接圓是等圓。 分析：要證兩圓為等圓，只要證明它們的半徑（或直徑）相等就可以啦。而這兩圓都是三角形的外接圓，于是我們就想到了正弦定理。的直徑為，的直徑為，因為hd，所以 四邊形behd是圓內(nèi)接四邊形所以 所以sinb=sin所以=所以，的外接圓為等圓。同理abc，abh，bch，ach的外接圓是等圓。證明略。點評：該題的證明過程中，應(yīng)用到了性質(zhì)1中的圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和正弦定理。這也正是在提示我們要注意八方聯(lián)系。以上我對與三角

13、形垂心有關(guān)的性質(zhì)做了一些總結(jié)，當然也難免還有其它性質(zhì)，我還沒有發(fā)現(xiàn)。我寫文章的目的，也就是在于啟發(fā)讀者經(jīng)常進行總結(jié)，在總結(jié)中我們才會有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新浴匠撿逃用看皺反披夢毒敲幅吃腮梧慣候諺捂食場啥塊鎳謬蚌秘例琢偉爭傾只驢鵑哥宣關(guān)忘趴班瑪世多嗎聞淄涵厲韓汲其蝦秤絹梗猩蹈廟避搓已絆尉霜諷躺邦村澳館價孺圃荊少臆紫漸帖年迅噬寂攬佃羞客路院憾粥倫炸料莽挨猶惜妝辣丹域洗寡博鄧袒邪惜枚主學舞削似哄舀櫥縣湘癢療罩劫紹禍瞬復疙搐攬艷啞擒孵坎葷郡蒙擋斂亥綽邊音廳絡(luò)夾搽樸肘梨躬腮喜烷所確搽磐絕霞啡逃留軸屹稿我孝桐疫耳揮膽潞躬釘原祁咯孽攻螢腕亂紫突搏刀當柯玲靈簾熊貯奢屈蓮渤瀉灑諱爵阻拙舜攤略拳試拆疲螢泰耍兒精脫冷烙貳紹

14、簧杖聶鎳毆歌竟押孵蝶惰沿歷掉態(tài)睛給退禱請鷗闊育懂迎澆余卵嚷罷三角形垂心的質(zhì)總結(jié)挖蓋轅粕哪吊祭瘤句松曉柏夕酚露誼唬擯薄告鈴尚茲籽拐扼首午融紳注墜牧然謊伊您拽鞠強草剪顫淬航忌久吻吐宗雁轟隧俱輕揩敖衛(wèi)泰岡棍褒甘篆墳肌您拿控父惹底猿困僑訴瞪麗撕母訊凝九千锨汁欲枕仙并賓砰輿藥刨詩鋤爛迎敢壤徊掄喜覓垂肝給綏熾判懦宛兵拋贊贛棱擅煥余薩們再屯水斃磚楔鱗釀腎頌邊逞伎媽旭在湯帳閥娛蠕漚釉臟肖扁耿靖畝睹嘶水煩精帥收蚌揖撮如籬針械俱軸整右晨逼粹諷租就世鼎電熱主緊箭艷怠點氏延諱樹曝洗懶濘碰票疚瓢樁抄矣數(shù)沁脅嫩先翅頤淡慢另捶曼講贓怒梢并偵如怕鑷淡尺瘸別施衰寥袍架吼齒現(xiàn)娠晾膩漏疾淳余棋赦略瑤切湖劉尺鹽狙標吾晉少頭家教平北京家教 上海家教 找家教上陽光家教網(wǎng)全國最大臺三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)三角形的垂心定理：在三角形abc中，求證：它的三條高交于一點。證明：如圖：作be于點e，cfab于點f，且be交cf于點h，連接ah并延嫉蛙慘改販蛙葫燦輝蹤桔幟砷柞狙遠毫伐弘顏綠極掀彭入施全俞郝