人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《12.3 角的平分線的性質(zhì)》課件

1、12.3 角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角做的角分成兩個(gè)相等的角. .你有什么辦法？你有什么辦法？AOBC下圖是一個(gè)平分角的儀器，下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中其中AB =AD，BC =DC，將點(diǎn)將點(diǎn)A 放在角的頂點(diǎn)，放在角的頂點(diǎn)，AB 和和AD 沿著角沿著角的兩邊放下，沿的兩邊放下，沿AC 畫一條射線畫一條射線AE，AE 就是就是DAB 的平分線的平分線你能說(shuō)明它的道理嗎？你能說(shuō)明它的道理嗎？ ABDCE 如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？法折的角，又

2、該怎么辦呢？在在ACD和和ACB中，中， AD = AB（已知），（已知）， DC = BC（已知），（已知）， CA = CA（公共邊）（公共邊）, ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對(duì)應(yīng)邊相等）對(duì)應(yīng)邊相等）.AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）.ADBCE 問(wèn)題問(wèn)題 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？OABCENOMCENMABOMNC1以點(diǎn)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

3、作弧，為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交交OA于于M，交，交OB于于N3.畫射線畫射線OC射線射線OC即為所求即為所求2分別以點(diǎn)分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于為圓心，大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部的內(nèi)部交于點(diǎn)交于點(diǎn)C12你能說(shuō)明為什么射線你能說(shuō)明為什么射線OC 是是AOB 的平分線嗎？的平分線嗎？(1)(1)平分平角平分平角AOB.(2)(2)通過(guò)上面的步驟，得到射線通過(guò)上面的步驟，得到射線OC以以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線后，把它反向延長(zhǎng)得到直線CD，直線，直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？(3)(3)結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到

4、結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法. .ABOCD 如圖如圖，任意作一個(gè)角，任意作一個(gè)角AOB，作出作出AOB的平分線的平分線OC.在在OC 上任取上任取一點(diǎn)一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P 畫出畫出OA，OB 的垂線，的垂線，分別記垂足為分別記垂足為D，E，測(cè)量，測(cè)量 PD，PE 并并作比較，你得到什么結(jié)論？作比較，你得到什么結(jié)論？在在OC 上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試 通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？利用尺規(guī)可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？利用

5、尺規(guī)可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？ 觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PDPD與與PEPE的大小關(guān)的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：系，寫出結(jié)論：_._. PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 PD = PE已知：已知：AOC = BOC，點(diǎn)點(diǎn) P在在OC上，上，PDOA，PEOB， 垂足分別為垂足分別為D，E求證：求證：PD =PE猜想：猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè)：題設(shè)： 一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等PD OA，PE OB， PD

6、O= PEO=90. 在在PDO和和PEO中，中， PDO = PEO ， AOC = BOC ， OP = OP ， PDO PEO（AAS），），PD = PE .OC是是AOB的平分線，的平分線， PDOA，PEOB，PD=PE角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？ 主要是用于判斷和證明兩條線段相等，主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形全等由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程

7、，你能概括出由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；已知和求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過(guò)程論的途徑，寫出證明過(guò)程1.如圖，要在如圖，要在S 區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處叉處500 m. 這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng) 應(yīng)建于何處（在圖上應(yīng)

8、建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20 000）？）？ 圖上距離圖上距離 = 0.025m = 2.5cm.圖上距離圖上距離500m120000=解：解：,P如圖，作角平分線，再取離交點(diǎn)如圖，作角平分線，再取離交點(diǎn)2.5cm即為即為P點(diǎn)點(diǎn).理由：理由：P點(diǎn)在交叉口的角平分線上，所以點(diǎn)在交叉口的角平分線上，所以P點(diǎn)到點(diǎn)到公路與鐵路的距離相等公路與鐵路的距離相等.在在此題此題的已知條件下的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？你還能得到哪些結(jié)論？2.如圖，如圖，ABC中，中，BD = CD，AD 是是BAC 的平分線，的平分線， DEAB，DFAC，垂足分，垂足分別為別為E

9、，F(xiàn)求證：求證：EB =FCABCDEFAD是角平分線，是角平分線，DEAB，DFAC，DE = DF.在在RtDEB和和RtDFC中，中， DB=DC, DE=DF,RtDEBRtDFC（HL）.EB = FC.ABCDEF我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等相等.反過(guò)來(lái)，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在這個(gè)反過(guò)來(lái)，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線上呢？角的平分線上呢？角的內(nèi)部角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的平分線上交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，

10、你能得到什么結(jié)論？你能得到什么結(jié)論？這個(gè)新結(jié)論正確嗎？這個(gè)新結(jié)論正確嗎？ QDOA，QEOB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定義）（垂直的定義）. 在在RtQDO和和RtQEO中，中， QOQO（公共邊），（公共邊）， QD=QE， RtQDORtQEO（HL）. QODQOE，即點(diǎn)即點(diǎn)Q在在AOB的平分線上的平分線上.如圖如圖,QDOA，QEOB，點(diǎn)點(diǎn)D，E為垂足，為垂足，QDQE點(diǎn)點(diǎn)Q在在AOB的平分線上的平分線上PDOA，PEOB， PD = PE，點(diǎn)點(diǎn)P 在在AOB的平分線的平分線上（上（OP 平分平分 AOB）這個(gè)結(jié)論可以判定角的平分線，而角的平這個(gè)結(jié)論可以判定角的平分

11、線，而角的平分線的性質(zhì)可用來(lái)證明線段相等分線的性質(zhì)可用來(lái)證明線段相等這個(gè)結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用上有這個(gè)結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用上有 什么不同？什么不同？角相等角相等角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理，揭示角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理，揭示了了“角相等角相等”和和“線段相等線段相等”之間的一種特殊之間的一種特殊關(guān)系關(guān)系.角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理角平分線性質(zhì)定理的逆定理線段相等線段相等這為今后我們證明角相等，線段相等提供這為今后我們證明角相等，線段相等提供了一種解題思路了一種解題思路.例例如圖如圖，ABC 的角平分線的角平分線BM，CN 相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)P求證：點(diǎn)求

12、證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB，BC，CA 的距的距離相等離相等過(guò)過(guò)P 點(diǎn)作點(diǎn)作PD，PE，PF分分別垂直于別垂直于AB，BC，CA，垂足分，垂足分別為別為D，E，F(xiàn).BM 是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P 在在BM 上，上，PD = PE .同理同理 PE = PF . PD = PE = PF .即點(diǎn)即點(diǎn)P 到三邊到三邊AB，BC，CA 的距的距離相等離相等EDF1. 判斷題：判斷題：（1）如圖如圖，若，若QM =QN，則，則OQ 平分平分AOB；（ ）ABOQMN （2）如圖如圖，若，若QMOA 于于M，QNOB 于于N，則，則OQ是是AOB 的平分線；的平分線； （ ）ABOQMN（

13、3）如圖如圖，OC 平分平分AOB，點(diǎn)，點(diǎn)P 在在OC 上，上，PDOA，垂足為，垂足為D若若PD =3，則點(diǎn)，則點(diǎn)P 到到OB 的距離為的距離為3 （ ）ABOPCD （4）如圖）如圖，Q 到到OA 的距離等于的距離等于2 cm， 且且Q 到到OB 距離等于距離等于2 cm，則，則Q 在在AOB 的平分線上的平分線上 （ ） ABOQMN2.如圖，如圖，OP平分平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分別是，垂足分別是C、D下列結(jié)論中錯(cuò)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（誤的是（ ） A.PC = PDB.OC = ODC.CPO =DPOD.OC = PO3. 如圖，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)如圖，表示三條相

14、互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（距離相等，則可供選擇的地址有（ ）A.1處處B.2處處C.3處處D.4處處4. 如圖，如圖，ABC的的ABC的外角的平分線的外角的平分線BD 與與 ACB 的外角的平分線的外角的平分線CE 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn) P . 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P 到三邊到三邊AB，BC，CA 所在直線的距所在直線的距離相等離相等.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作作PMAC于于M，PNBC于于N，PQAB于于Q.CE為為MCN的平分線，的平分線，PM = PN，同理同理 PN = PQ，點(diǎn)點(diǎn)P到三邊到三邊AB，BC，CA的

15、的距離相等距離相等.QNM5.如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)D，B分別在分別在MAN的兩邊上，的兩邊上，C是是MAN內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，AB =AD，BC = CD，CEAM于于E，CFAN于于F. 求證：求證：CE = CF.證明：證明：在在ABC和和ADC中，中，ABC ADC(SSS).ABADBCDCACAC ，DAC =BAC.AC平分平分MAN.CEAM，CFAN，CE = CF.角相等角相等角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理角平分線性質(zhì)定理的逆定理線段相等線段相等角的內(nèi)部角的內(nèi)部到角的兩邊距離到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上相等的點(diǎn)在角的平分線上角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等謝