高斯積分ppt課件

1、12在進行有限元分析時，一般需要大量的數(shù)值積分，通常都是通過坐標變換把被積函數(shù)全部化為局部坐標的函數(shù)。經過這樣的變換，計算將會變得簡單。若被積函數(shù)不是多項式函數(shù)，比如采用等參單元就是這樣，此時就需要求助于數(shù)值積分，在有限元分析中，經常采用的就是高斯數(shù)值積分。3對于積分區(qū)間a,b，通過變換可化為區(qū)間-1,1 所求積分則化為：不失一般性，取a=-1，b=1，討論區(qū)間-1,1上的積分即可，則有其中 為權函數(shù)22abbaxdabbafabxfba)22(2)(11niiixfwxf011 -)()(iw4 求積公式求積公式 的的代數(shù)精度最高不超代數(shù)精度最高不超2n-1次。次。 證明：分別取證明：分別取

2、 f(x)=1, x，x2，.xn 時代入公式，并讓其成為等式得時代入公式，并讓其成為等式得 A1 + A2 + + An =ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 . x1 rA1 + x2 rA2+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 上式共有上式共有 r 個個 等式，等式，2n個待定系數(shù)個待定系數(shù)(變元變元),要想如上方程組有唯一解，應有方程組中要想如上方程組有唯一解，應有方程組中方程的個數(shù)等于變元的個數(shù)方程的個數(shù)等于變元的個數(shù),即即 r=2n,這樣求出的解答應的求積公式的代數(shù)精

3、度至少是這樣求出的解答應的求積公式的代數(shù)精度至少是2n-1,下面下面證明代數(shù)精度只能是證明代數(shù)精度只能是2n-1. 如果事先已選定如果事先已選定a ，b中求積節(jié)點中求積節(jié)點xk如下如下a x1 x n b,上式成為上式成為n個未知數(shù)個未知數(shù) A1、.An的的n元線性方程組，此時要元線性方程組，此時要r=n 時方程組時方程組有唯一解有唯一解 niiixfwxf011 -)()(5 事實上,取 2n次多項式次多項式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2.(x-xn)2 代入求積公式,有左= 右= =0左右,故不成立等式,定理得證. 定義定義: 使求積公式使求積公式達到最高代數(shù)精度達到最高代數(shù)精度2

4、n-1的求積公式稱為的求積公式稱為Guass求積公式求積公式Guass求積公式的節(jié)點xk稱為Guass點點,系數(shù)Ak稱為Guass系數(shù)系數(shù).因為Guass求積公式也是插值型求積公式,故有結論結論:插值型插值型求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度d滿足滿足：n-1 d 2n-1baodxxgx)()(nkkkxgA1)(niiixfwxf011 -)()(6定理定理: 若f(2n)(x)在a,b上連續(xù)，則高斯求積公式的余項為其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2).(x-xn)。高斯求積公式的系數(shù)高斯求積公式的系數(shù)Ak恒為正恒為正,故高斯求積公式是穩(wěn)定的故高斯求積公式是穩(wěn)定的.Guas

5、s求積公式有多種求積公式有多種,他們的他們的Guass點點xk, Guass系數(shù)系數(shù)Ak都有表可以查詢都有表可以查詢.dxxwxnfRbannn)()()!2()(2)2(7Gauss - Legendre 求積公式求積公式其中高斯點為Legendre多項式的零點 Ln(x)=對于一般有限區(qū)間對于一般有限區(qū)間a,b，用線性變換，用線性變換x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它變成為使它變成為-1,1。111)()(nkkkxfAdxxfnnnndxxdn)1(!2128 n xk(n) Ak(n) Rn1 0 2 2 -0.5773503 1 +0.5773503 1 3 -0.774596

6、7 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269 )(157501)6(f3472875)()8(f1237732650)()10(fGauss- Legendre 點

7、及系數(shù)表點及系數(shù)表)(31f)(1351)4(f9例題：利用高斯求積公式計算例題：利用高斯求積公式計算解令x=1/2 (1+t), 則用高斯-Legendre求積公式計算求積公式計算.取n=5 積分精確值為I=ln2=0.69314718由此可見，高斯公式精確度是很高的101xdx111031tdtxdxI)5(5)5(5)5(2)5(2)5(1)5(1313131tAtAtAI69314719. 0102.Gauss - Chebyshev 求積公式求積公式其中高斯點為Chebyshev 多項式Tn(x)的零點 Tn(x)=cos(narccos(x)1112)(1)(nkkkxfAdxxxfnA