等差數(shù)列前N項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、肥東錦弘中學(xué)高一年級數(shù)學(xué)公開課教案授課教師：吳晗班級：高一（11）時間：3月31號下午第一節(jié)課課題：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo)：（1）進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題；會利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式研究Sn的最值。（2）經(jīng)歷公式應(yīng)用過程。（3）通過有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又 服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并用 數(shù)學(xué)方法解決問題。教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握等差數(shù)列求和公式。教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用求和公式解決問題。 教學(xué)方法：啟發(fā)探究學(xué)法指導(dǎo)：自主學(xué)習(xí)教學(xué)用具

2、：粉筆、黑板、PPT教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)回顧（1）等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)；（2）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)。二、新課講解探究一：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的一元二次方程，Sn二na1 n（n=dn2 （ad）n，反過來如果一個數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n2 2 2的一元二次方程，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？例1、如果一個數(shù)列Pn 的前n項(xiàng)和為Sn =n2- n，求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式，2這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？解：當(dāng) n_2時，an =Sn'Sn4 = n? n - （n ） ' （n-'1） =2n2 2 23當(dāng) n =

3、 1時，a1 = S1 =2也滿足上式。所以數(shù)列& 的通項(xiàng)公式為an =2n-丄2由此可見，數(shù)列& 1是一個首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列2課堂練習(xí)11、如果一個數(shù)列:an!的前n項(xiàng)和為Sn = n2 n T ,求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式，2這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？ 課本第45頁的探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)一：數(shù)列；an 1是等差數(shù)列二Sn =An2 Bn,公差為-2探究二：既然等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的一元二次方程，那么它的最值怎么求呢？例2:已知等差數(shù)列5,3,1的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn最大的序號n的值？解1:由已知條件知，該等差數(shù)列首項(xiàng)

4、 印=5,公差d=-2Sn =5n n(n 1)(-2H _n2 6n 二-(n - 3)2 92.使Sn最大的序號n的值為3.解 2:由已知條件知，an =5-2( n-1) =_2n 7© 1宀一2 n，5由 "解得n蘭7an+ <022.n =3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)二：'a >0不等式法求Sn的最值：若a1 >0,d £0且丿n ，則Sn有最大值，若 耳出蘭0an乞0a1 <0,d >0且，則Sn有最小值。©n卅啟0也可以用二次函數(shù)的圖像求最值，但要注意 nN*.例3：已知數(shù)列d ?是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)

5、和，求證：S6, $2 - S6 ,(S,8 - S12) 也成等差數(shù)列。解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，則有：=6a1 15d,S12=12a1 66d,S118a1 153dS12 一 & = 6a1 57d, S18 一 S12 = 6 87d(S12 - S6)- S6 = 36d ,(S18 -S12)i(S12 -S6)= 36dS6, S12 - Se ,(08 - S2)是等差數(shù)列，公差為36d等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)三：若果數(shù)列an 為等差數(shù)列，則Sk,S2k -S2k,也成等差數(shù)列，公差為k2d 課堂練習(xí)：2、已知是等差數(shù)列：(1 )a!*2*3=5,印飛5兎=1

6、0,則，a7a8a?口(2)Sn =25,S2n =100,則 S3n 二。3、等差數(shù)列af的前n項(xiàng)和為Sn，公差d =2，若S4 =1，求a17 a - a® - a?。例4:有一等差數(shù)列共有2n(nN*)項(xiàng)，它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和分別為24和30,若最后一項(xiàng)和第一項(xiàng)之差為10.5,求此數(shù)列的首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)。解：由題意知：丿S偶 奇d =6解得：n = 4,d=1.5g2n -a =(2n -1)d =10.5333又；a1 a3 ' a5 ' a7 = 4a1 12d = 24, a-.首項(xiàng)為一，公差為一，項(xiàng)數(shù)為 8222等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)四：若等差數(shù)列

7、:共有2n項(xiàng)，則S偶 -S奇二nd,魚二電，S偶an卅若等差數(shù)列共有2n -1項(xiàng)，則S奇 - S偶二a中，-S偶n-1課堂練習(xí)：4、若等差數(shù)列、an 的前n項(xiàng)和為Sn，公差d = 2，求(1)(a1 a3 a5 a? a?) -(a? *4 a§ a$ aQ a1 a? a5 a? a? a： + a4 + a6 + a$三、課堂小結(jié)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì):等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)一：數(shù)列an!是等差數(shù)列u Sn = An2 + Bn,公差為A2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)二：a A 0不等式法求 Sn的最值：若q 0, d £0且，gn十蘭0an蘭0則Sn有最大值，若印c0,d >0且丿，則Sn有最小值陽蘭0等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)三：若果數(shù)列9為等差數(shù)列，則Sk,S2k -Sk,S3k -S2k,也成等差數(shù)列，公差為k2d等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)四：若等差數(shù)列共有2n項(xiàng)，則S偶-S奇二n d,奇