高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義——(17)圓錐曲線與方程

1、高考考試大綱的要求：(1) 圓錐曲線 了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用 掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì) 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì) 理解數(shù)形結(jié)合的思想 了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用（2）曲線與方程：了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.第01講 橢 圓（一）基礎(chǔ)知識：1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2的距離的和_的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的_ , 兩焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的_.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的中心在_，焦點(diǎn)在_軸上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是是F1 _，F(xiàn)2 _；橢圓的中心在_，焦點(diǎn)在_軸

2、上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1 _，F(xiàn)2 _. 3.幾個概念：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)，叫作橢圓的_.a和b分別叫做橢圓的_長和_長。橢圓的焦距是_. a,b,c的關(guān)系式是_。橢圓的_與_的比稱為橢圓的離心率，記作e=_,e的范圍是_.（二）典型例題：例1.已知、是橢圓的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若，則（ ）（A）11 （B）10 （C）9 （D）16例2.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍,則橢圓的離心率為（ ）(A)(B)(C) (D) 例3設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）A B C D例4.過橢圓的右焦點(diǎn)

3、作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.已知F1、F2為橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF1垂直于x軸，且F1MF260º，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D.2.設(shè)，“”是“曲線為橢圓”的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充分必要條件 D既非充分又非必要條件3橢圓的一個焦點(diǎn)是，那么（A）（B）1（C）（D）4已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（ ）（A） （B）3 （C） （D）5. F1,F2是橢圓C：的焦點(diǎn),在C上滿足PF

4、1PF2的點(diǎn)P的個數(shù)為_.6.已知F1、F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|= 。7橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí),點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是 。（四）鞏固練習(xí)：1橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點(diǎn)為P，則=（ ）A B C D42 已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)滿足·0的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）A(0，1) B(0， C(0，) D，1)3設(shè)橢圓的離心率為e，右焦點(diǎn)為F(c，0)，方程ax2bxc0的兩個實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2) （ ）A必在圓x2y2

5、2上 B必在圓x2y22外C必在圓x2y22內(nèi) D以上三種情形都有可能4. 已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_； 5在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 6.已知長方形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 。7如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 第02講 雙曲線（一）基礎(chǔ)知識：1雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2的距離的差_的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的_ , 兩焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線的_.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：雙曲線的中心在_，

6、焦點(diǎn)在_軸上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_；頂點(diǎn)坐標(biāo)是_,漸近線方程是_.雙曲線的中心在_，焦點(diǎn)在_軸上,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_；頂點(diǎn)坐標(biāo)是_,漸近線方程是_.3.幾個概念：雙曲線與對稱軸的交點(diǎn)，叫作雙曲線的_.a和b分別叫做雙曲線的_長和_長。雙曲線的焦距是_. a,b,c的關(guān)系式是_。雙曲線的_與_的比稱為雙曲線的離心率，記作e=_,e的范圍是_.4.等軸雙曲線：_和_等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。雙曲線是等軸雙曲線的兩個充要條件：（1）離心率e =_,（2）漸近線方程是_.（二）典型例題：例1.設(shè)是等腰三角形，則以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（ ）AB C D例2.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

7、軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為（ ）A B C D例3.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則( )A. 1或5B. 6C. 7D. 9例4.已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是（ ）A B C D（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1已知定點(diǎn)A、B且|AB|=4，動點(diǎn)P滿足|PA|PB|=3，則|PA|的最小值是（ ）A B C D52.已知雙曲線的一條漸近線方程為yx,則雙曲線的離心率為( )（A） (B) (C) (D)3.設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上,且，（ ） (A) (B)2 (C) (D)

8、24已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為的右支上一點(diǎn)，且，則的面積等于( )（）（） （） （）5若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是_6.已知圓以圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 7已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為_(四)鞏固練習(xí)：1雙曲線虛軸的一個端點(diǎn)為M，兩個焦點(diǎn)為F1、F2，F(xiàn)1MF2=120°，則雙曲線的離心率為( ）A B C D2.設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A B C D3.已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊

9、作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）A B C D4設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） ABCD5若雙曲線的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），焦距為10，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_6過雙曲線左焦點(diǎn)F的直線交雙曲線的左支于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則|MF2|+|NF2|-|MN|的值為 。7、雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_第03講 拋物線（一）基礎(chǔ)知識：1拋物線的定義:平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線 (不經(jīng)過點(diǎn)F)_的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。這個定點(diǎn)F叫做拋物線的_ , 定直線叫做拋物線的_.2.拋

10、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_;拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_;拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_;拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程是_。3.幾個概念：拋物線的_叫做拋物線的軸，拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的_。拋物線上的點(diǎn)M到_的距離與它到_的距離的比，叫做拋物線的離心率，記作e，e的值是_.4.焦半徑、焦點(diǎn)弦長公式：過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則|AF|=_,|BF|=_,|AB|=_（二）典型例題：例1拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為（ ）（A） （B） （C） （D）例2.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y

11、24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）A（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)例3.已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ） ABCD例4.在平面直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)（2，1），若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是 .（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為( ) A圓B橢圓C雙曲線D拋物線2設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為（ ）A B C D3拋物線的準(zhǔn)線方程是的值為（ ）（A） （

12、B） （C） （D） 4已知拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 5已知直線與拋物線相切，則（四）鞏固練習(xí)：1.過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（ ）(A)有且僅有一條 (B)有且僅有兩條 (C)有無窮多條 (D)不存在2連接拋物線x24y的焦點(diǎn)F與點(diǎn)M(1，0)所得的線段與拋物線交于點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形OAM的面積為（ ）A1 B C1 D3拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（ ）A B C D4 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為( )（） （） （）（）5已知是拋

13、物線的焦點(diǎn)，是上的兩個點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則的面積等于 6已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)設(shè)，則與的比值等于 第04講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（一）知識整理：1.考點(diǎn)分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多。多數(shù)涉及求圓錐曲線的方程、求參數(shù)的取值范圍等等。2解答直線與圓錐曲線相交問題的一般步驟：設(shè)線、設(shè)點(diǎn)， 聯(lián)立、消元， 韋達(dá)、代入、化簡.第一步：討論直線斜率的存在性，斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程為y=kx+b（或斜率不為零時(shí)，設(shè)x=my+a）；第二步：設(shè)直線與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)為A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步：聯(lián)立方程組，消去y 得關(guān)

14、于x的一元二次方程；第四步：由判別式和韋達(dá)定理列出直線與曲線相交滿足的條件，第五步：把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化簡。3弦中點(diǎn)問題的特殊解法-點(diǎn)差法：即若已知弦AB的中點(diǎn)為M(xo,yo)，先設(shè)兩個交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2);分別代入圓錐曲線的方程，得，兩式相減、分解因式，再將代入其中，即可求出直線的斜率。4.弦長公式:( k為直線AB的斜率)（二）例題分析：例1已知雙曲線兩個焦點(diǎn)為,點(diǎn)在曲線C上. ()求雙曲線C的方程； ()記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若OEF的面積為求直線l的方程例2設(shè)A、B是橢圓

15、上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1,3）是線段AB的中點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；()試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由. 例3.如圖,傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).（）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；()若為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2為定值,并求此定值.（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動點(diǎn)A、B滿足AOBO.AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

16、2.設(shè)b>0，橢圓方程為，拋物線方程為.如圖4所示,過點(diǎn)F(0,b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G.已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn).(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;(2)設(shè)A,B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）.（四）鞏固練習(xí)：1.在平面直角坐標(biāo)系xOy巾，已知圓心在第二象限、半徑為的圓C與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)0橢圓與圓c的一個交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F

17、的距離等于線段OF的長若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求·的最大值和最小值;（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍. 參考答案第01講 橢 圓（二）典型例題：例1. A. 例2. D. 例3. D 例4. （三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1. C. 2. B 3B 4D 5. 2. 6. 8. 7（四）鞏固練習(xí)：1C 2C 3C. 4. 5 6.。 7第02講 雙曲線二、典型例題：例1. B 例2. A 例3. C. 例4. C 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：1C 2. A. 3. B

18、4. 5; 6. 73四、鞏固練習(xí)：1B 2. B. 3. D 4B 5; 6 8 。 7. .第03講 拋物線（二）典型例題：例1D. 例2.B. 例3. A 例4.（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.D 2.B 3.B. . 4. 2 5（四）鞏固練習(xí)：1. B. 2B 3A 4. 5 2 6第04講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（二）例題分析：例1 ()解法1：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為（0a24），將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求雙曲線方程為解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.2a=|PF1|PF2|=a2=2，b2=c2a2=2.雙曲線C的方程為()解：

19、依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,k()(1,).設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由式得x1+x2=于是|EF|=而原點(diǎn)O到直線l的距離d,SOEF=若SOEF，即解得k=±,滿足.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和例2（）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)是方程的兩個不同的根， 且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得 解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）. 于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)則有 依題意，N（1，3）是AB的中點(diǎn)， 又由N（1，3

20、）在橢圓內(nèi)，的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0. （）解：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得 又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程的兩根，于是由弦長公式可得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得 同理可得 當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上.例3（）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線l的方程為。（）解法一：如圖,作ACl，BDl，垂足為C、D，則由拋物線的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz，則|FA|AC|解得，類似地有，解得。記直線m與AB的交點(diǎn)為E，則所以。故。解法二：設(shè)，直線AB的斜率為，則直線方程為。將此式代入,得，故。