《高等數(shù)學B》第八章多元函數(shù)微分學第三節(jié)全(精)

1、全增童的紙念如栗函敕z=/(x,y)應A(x,j)的集鄰城內(nèi)有定義, 并，+ ，)這鄰城內(nèi)的點，則稀這兩 點的函救值之左/(x + Ax,y + Aj)-/(x,j)為因數(shù)在點P對應于t變畳增量兀，的全席童，記 為&9即Az = f(x + A x , v + A v ) - / (x , v )H+H+H+1HH多鬼塾徵徽磐曙第三節(jié)全微分及其應用fix 4- Ax , J )-/(AT, J)w.人O, J)Ax/(x, J + Aj)-/(x, J)彩人(y)Ay由一元因救做分學中增査與微分的關(guān)系得二元因敷、二無函藪、 對兀和對丿的偏增丈和對y的偏微分H+H+H+H+H+H+H+王

2、全磁分的走義如系由救 2=/(兀*)在點(工“)的全增畳z = f (x + Ax,j + Ay) - f (x , y)可以表示為Az = AAx + BAj + o(p),其中 A.B 不位賴-f Ax, Aj而仗與x,j$.A(x,j)全徹分祀為d乙即 dz = AAx + BAj .函數(shù)苦疫荼區(qū)城D內(nèi)各點處處可橄分， 則稀這曲救 衣D內(nèi)可磁分.如果函數(shù)z=/(x,y)應點(兀，刃可撤分，則由數(shù)淮.諒 點連續(xù)亨實上 Az = A Ax + B Ay + o(p) , lim Az = 0 ,p-olim/(X+ AX,J+ AJ)= lim/(x,j)+AzTOQ T 0Ay T 0=f

3、 (x , y) 故函數(shù)z =/(x, V) )4. A(x,.HHH+HH+H+H+H+王WHH+H4+H+H+H+王二.可撤的條件走理1(必要條件)*4kz=/(x, j) A A(x, j)& A(x, j)的全做分為fdz dzdz = Ax + Aj dxdy證 如系由數(shù)z=/(x)衣點P(x,y)可撤分，P(x + Ax , j + A j) e P 的票個鄰城當$ = ()對.上無仍成立，此對 p = I Ax I,/(x + Ax, y)- f( (X , y) = A Ax + o( Ax I),f(x + Ax, j)- f(x,y)dzlim- = A =;noA

4、xdx同理可得 B = 證畢.dy一無由救衣荼點的導救存衣 做分存莊。 多元函數(shù)的冬偏導敎存準. &A(x,j)連續(xù)，則該函救夜點可撤分.(證碉略).dy-*習慣上，記全微分為X,dzdz =x + ay :dxdyz 通常我們把二元因救的全撤分茅于它的兩個侯微分 二之和這件事森為二元因救的撤分符合金加原理。二全撤分的走義可推廣刊三無及三無以上函獲。:# 一mdududu7如三元由救 du =dx +dy +dz *dxdydz i i SZ3SZ3 ES3ES3二 制 1 計算因救 z = /衣點（2,1）處的全撤分. 0ZXJ?xy1解=ye9=宓 ，dxdyOz2dz2= e ,

5、= 2e ,:加（2,1）勿 1（2）二所求全微分 dz = e2dx + 2e2dy i i SZ3SZ3 ES3ES3例2計算函救=x + sin、的全撤分.2餌嘰1, 1曲+才，乜=dxdy 22dzdu = dx + (cos ze )dy + yevdz .2 2制4吠證函數(shù)衣點（0,0）連繪且偽導數(shù)存衣，但偽導救衣點（0,0）不連續(xù)，而/A A（0,0）可徴.（證明）H+H+H+H+H+H+H+H+H+H+H+王所求全撤分多元由救連姨.可導.可做的關(guān)糸:函數(shù)可微偏導欽連縝由救可導X三、全橄分牲近做計算中的應用吉二無易奴 Z = /(“，) )衣點 P(x9y )的希個偽導投 幾(尤，y),/) )(*,y)連談，人 hxAy 卻軼小對，有近Az dz = /X(x , j)Ax + /(x , j)A j 也可寫成/(x + Ax , j + A j ) / (x , j ) + /X(x , j)Ax +J )A j 例 5 計葬( (1.04)2 心的近似值.鮮設曲救/ (x , j ) = xv.取 x = 1, y = 2 9 Ax = 0.049Ay = 0.02 /(1,2)= 1 ,fr(x, y) =