分岔及奇怪吸引子

1、第二章第二章 分岔與奇怪吸引子分岔與奇怪吸引子第三節(jié)第三節(jié) 流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程 1.1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性2.2.洛倫茲方程解的分岔洛倫茲方程解的分岔 1900年，法國科學(xué)家貝納德(E.Benard)做了一個(gè)著名的對流實(shí)驗(yàn)對流實(shí)驗(yàn)。 1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性 在一水平容器中放一薄層液體，從底部徐徐均勻地加熱，開始液體沒有任何宏觀的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)上下溫差達(dá)到一定的程度，液體中突然出現(xiàn)規(guī)則的六邊形對流圖案。這是現(xiàn)代用硅油做實(shí)驗(yàn)拍攝的照片。照片中每個(gè)小六角形中心較暗處液塊向上浮，邊緣較暗處液塊向下沉，在二者之間較明亮的環(huán)狀區(qū)域里液塊作水平運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)上

2、下溫差加大時(shí)，為什么對流不積微漸著，而是突然從無到有地產(chǎn)生?貝耐特對流實(shí)驗(yàn)貝耐特對流實(shí)驗(yàn) 理想裝置：理想裝置：兩塊平行平板中間充滿液體，y方向無限伸展，下底加熱。 現(xiàn)象現(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)時(shí)，下面板均勻緩慢地加熱，上下平板之間出現(xiàn)溫差。平板間的液體開始是靜止的，當(dāng)加熱到一定程度時(shí)，液體開始翻動(dòng)，出現(xiàn)對流現(xiàn)象。發(fā)生翻動(dòng)對流時(shí)會(huì)形成一種象蛋卷一樣很規(guī)則的圖形，溫差進(jìn)一步增加時(shí)，規(guī)則的對流圖形將受到破壞，進(jìn)入到了湍流湍流狀態(tài)。 分析：分析：隨溫度上升，流體經(jīng)歷由穩(wěn)定到不穩(wěn)定穩(wěn)定到不穩(wěn)定再到新的穩(wěn)定態(tài)新的穩(wěn)定態(tài)的分岔過程。1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性瑞利數(shù)瑞利數(shù) 1916年，英國學(xué)者瑞利瑞利對貝納德實(shí)驗(yàn)

3、作了解釋。認(rèn)為是浮力和粘滯力間的關(guān)系決定液體向上運(yùn)動(dòng)。由此定義了一個(gè)無量綱參數(shù)R (瑞利數(shù)瑞利數(shù)) ： g-為重力加速度，a-為熱脹系數(shù)，d-兩塊板間距，h-粘滯系數(shù)，DT-擴(kuò)散系數(shù)。T3DdTgRha 瑞利數(shù)R與溫度差成正比，溫度差加大時(shí)R值增加，有一臨界值RC，當(dāng)R 超過RC時(shí)，流體出現(xiàn)翻動(dòng)與對流，稱為貝納德不穩(wěn)定性貝納德不穩(wěn)定性。臨界值RC為：其中k是 x 方向環(huán)流波數(shù) 。 2324c)1 (kkR1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn) 從分岔觀點(diǎn)看，平板間液體隨著溫差升高出現(xiàn)的從靜止到對流也是一種分岔現(xiàn)象分岔現(xiàn)象。帶著這樣觀點(diǎn)利布沙伯利布沙伯(Li

4、bchaber-低溫物理學(xué)家)于1980年用液氦重做了貝耐特對流實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)裝置：實(shí)驗(yàn)裝置：一個(gè)很小的不銹鋼液氦的容器，其長度、寬度與高度分別為3mm、1.5mm與1.25mm。用高純度銅做容器的底板，容器蓋是用蘭寶石做的，在蘭寶石上嵌入兩個(gè)精巧的溫度計(jì)，用以監(jiān)視兩點(diǎn)的溫度。 容器中的液氦對溫度非常敏感，上下液面千分之一的溫差出現(xiàn)對流。對流發(fā)生時(shí)液氦在中心升起，往分流沿腔壁下降形成兩個(gè)對流圈。對流引起溫度變化，從溫度計(jì)輸出信號變化中分析出對流產(chǎn)生過程與變化規(guī)律。1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性 由于檢測到的信號受噪聲干擾很大，很難從中分析出有用的信息。利布沙伯便隨時(shí)間變化信號進(jìn)行傅立葉變換，

5、再從頻譜圖來分析液氦對流信息。 開始時(shí)功率譜中只有對流翻動(dòng)頻率為 f 的基波峰，相應(yīng)兩個(gè)對流圈翻動(dòng)。隨著瑞利數(shù)增大，在功率譜出現(xiàn)基波頻率一半的倍周期(f/2)諧波，接著又出現(xiàn) f/4、f/8等次諧波。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯然是倍周期分岔現(xiàn)象分岔現(xiàn)象。倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性倍周期分岔普遍性倍周期分岔普遍性 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,倍周期分岔不僅在平方映射中存在，而且在真實(shí)的物理學(xué)系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)。受利布沙伯成功檢測到倍周期分岔的啟發(fā)，許多學(xué)者在不同類型的動(dòng)力系統(tǒng)中去尋找倍周期分岔現(xiàn)象。 倍周期分岔現(xiàn)象在 LCR 振蕩、激光振蕩、化學(xué)反應(yīng)等許多過程中都相繼得到了證實(shí)，

6、說明了倍周期分岔是存在于許多動(dòng)力學(xué)過程中的一種普遍現(xiàn)象。 1.流體中的不穩(wěn)定性流體中的不穩(wěn)定性洛倫茲的設(shè)想洛倫茲的設(shè)想2.洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲的設(shè)想洛倫茲的設(shè)想 60年代初，美國數(shù)學(xué)家洛倫茲(E.Lorens)在氣象部門工作。他把將大氣對流與貝納德液體對流聯(lián)系起來，想用數(shù)值方法進(jìn)行長期天氣預(yù)報(bào)。2.洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲利用流體力學(xué)中的納維葉-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程，處理貝耐特對流，推導(dǎo)出描述大氣對流的微分方程，即著名的洛倫茲方程。-xybzddzxzyrxddyyxddx)(/ DT)1/(42kbtkdD)1

7、(22T2 x -對流的翻動(dòng)速率， y -比例于上流與下流液體之間的溫差， z-是垂直方向的溫度梯度， - -無量綱因子, ,稱為 Prandtl 數(shù); b-速度阻尼常數(shù)： ; r -相對瑞利數(shù) r = R/RC。 2.洛倫茲方程洛倫茲方程 其中xz與 xy 是非線性項(xiàng)，求導(dǎo)對無量綱時(shí)間 進(jìn)行的:洛倫茲方程的耗散性質(zhì)洛倫茲方程的耗散性質(zhì)證明證明： 在x,y,z的三維相空間，取一個(gè)閉合曲面。曲面所包圍的體積V 隨時(shí)間的變化與其中代表點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有如下關(guān)系：應(yīng)用于洛倫茲方程，得：于是有： 為初始相空間的體積。參數(shù) 與 ，可見洛倫茲方程的相空間體積是隨時(shí)間收縮的。初始時(shí)的有限相體積 隨時(shí)間收縮到一點(diǎn)，這

8、點(diǎn)應(yīng)是坐標(biāo)的原點(diǎn) 。 耗散系統(tǒng)耗散系統(tǒng)意味著系統(tǒng)存在吸引子。VzdzdydydxdxddVdtdVbzdzdydydxdxd-, 1,)1(exp)(0tbVtV-0V0b00V0zyx2.洛倫茲方程洛倫茲方程 洛倫茲方程解的分岔洛倫茲方程解的分岔-1, ) 1(0rzrbyxzyx 即洛倫茲方程有三個(gè)平衡點(diǎn)即洛倫茲方程有三個(gè)平衡點(diǎn) 若 ，只存在一個(gè)平衡點(diǎn) 。此平衡點(diǎn)是洛倫茲方程的不動(dòng)點(diǎn)，相應(yīng)于貝納爾德實(shí)驗(yàn)中液體的靜止定態(tài)。 洛倫茲方程的平衡點(diǎn)隨瑞利數(shù)瑞利數(shù) r r 的增加而發(fā)生分裂的增加而發(fā)生分裂，原來原來穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定的平衡點(diǎn)變?yōu)椴黄胶鉅顟B(tài)點(diǎn)變?yōu)椴黄胶鉅顟B(tài)。-xybzddzxzyrxddy

9、yxddx)(洛倫茲方程0dtdzdtdydtdx1r0zyx2.洛倫茲方程洛倫茲方程 原點(diǎn)的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 r 1 ，于是分支出兩個(gè)新的平衡點(diǎn) C1與 C2 。 說明在 r = 1 時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生一次分岔，跨越 r = 1 意味著原點(diǎn)的吸引子喪失了穩(wěn)定性，出現(xiàn)了局部的不穩(wěn)定性。 這時(shí)在坐標(biāo)原點(diǎn)出現(xiàn)一維不穩(wěn)定的流形。這是一次叉式分岔。相應(yīng)于在貝納德實(shí)驗(yàn)中流體從靜態(tài)走向?qū)α鞣瓌?dòng)。 2.洛倫茲方程洛倫茲方程 C1與與 C2的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性穩(wěn)定性證明：洛倫茲方程可寫成行列式： 對原點(diǎn) x = y = z = 0 附近作線性化處理，即在原點(diǎn)附近有： 特征方程：其解：在在 0 r 1 范圍內(nèi)，所有根范圍內(nèi)

10、，所有根 l l1, 坐標(biāo)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)，兩個(gè)新平衡點(diǎn) C1與 C2是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，它們是與鄰域螺旋線的吸引點(diǎn)，如圖所示。 C1、C2 坐標(biāo)為：現(xiàn)說明貝納德實(shí)驗(yàn)形成了穩(wěn)定的定態(tài)對流。-1) 1(2, 12, 12, 1rzrbyx2.洛倫茲方程洛倫茲方程 C1與與 C2的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 穩(wěn)定性證明： 對C1與 C2 附近作線性化處理，即在附近有： 式中： 特征方程特征方程有一實(shí)根和一對共軛復(fù)根，其中實(shí)根說明坐標(biāo)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)。共軛復(fù)根的實(shí)部為負(fù)共軛復(fù)根的實(shí)部為負(fù)，說明兩個(gè)新平衡點(diǎn)與是穩(wěn)定的說明兩個(gè)新平衡點(diǎn)與是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，它們是與鄰域螺旋線的吸引點(diǎn)焦點(diǎn)，它們是與鄰域螺旋線的吸引點(diǎn)。與穩(wěn)定焦點(diǎn)的出現(xiàn)說明貝納

11、德實(shí)驗(yàn)形成了穩(wěn)定的定態(tài)對流。-111111011zyxbCCCzyx0) 1(2)() 1(23-lllrbrbb) 1(1-l) 1(2, 1-rbC2.洛倫茲方程洛倫茲方程 當(dāng) r 繼續(xù)增加直到 r =13.962時(shí)，兩個(gè)螺旋線外徑會(huì)接觸合并一起。當(dāng)特征方程的第2與第3項(xiàng)之積等于常數(shù)項(xiàng)時(shí)共軛復(fù)根的共軛復(fù)根的實(shí)部為零，成為純虛數(shù)，實(shí)部為零，成為純虛數(shù)，有： 時(shí)兩個(gè)平衡點(diǎn)與發(fā)展成了中心點(diǎn)，其鄰域的相軌線是橢圓。 時(shí)共軛復(fù)根的實(shí)部為正值，與成了不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。定態(tài)對流失穩(wěn)，失穩(wěn)，是不穩(wěn)定的。這時(shí)將出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔，平衡點(diǎn)C1與C2失穩(wěn)發(fā)展成為奇怪吸引子奇怪吸引子。) 1/() 1(23 ,

12、2-li) 3/8,10( ,7368.24) 1() 3(c-bbbr0) 1(2)() 1(23-lllrbrbbcrr crr 2.2.洛倫茲方程洛倫茲方程 C1與與 C2的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 時(shí)兩個(gè)平衡點(diǎn)與發(fā)展成了中心點(diǎn)，其鄰域的相軌線是橢圓。 時(shí)，這時(shí)將出現(xiàn)一次霍夫分岔，平衡點(diǎn)C1與C2發(fā)展成奇怪吸引子奇怪吸引子。) 3/8,10( ,7368.24) 1() 3(c-bbbrcrr crr 洛倫茲吸引子洛倫茲吸引子第四節(jié)第四節(jié) 李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子1. 李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)2. 埃儂映射與埃儂吸引子埃儂映射與埃儂吸引子3. 洛倫茲吸引子洛倫茲吸引

13、子 4. 巴克爾變換與羅斯勒吸引子巴克爾變換與羅斯勒吸引子 1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)奇怪吸引子奇怪吸引子吸引子吸引子 能量耗散系統(tǒng)最終收縮到的一種定常狀態(tài)。這是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)在t 時(shí)所呈現(xiàn)的與時(shí)間無關(guān)的定態(tài)，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個(gè)，也就是說終值與初始值無關(guān)。這類吸引子也稱平庸吸引子。 如：阻尼單擺有不動(dòng)點(diǎn)吸引子，范德玻耳方程有極限環(huán)吸引子，等等。奇怪吸引子奇怪吸引子 相對于平庸吸引子而言，它們的特點(diǎn)之一是終態(tài)值與初始值密切相關(guān)，或者說對初始值具有極端敏感性；初始取值的細(xì)微差別可能會(huì)導(dǎo)致完全不同的結(jié)果，這時(shí)的吸引子毫無周期可言，即所謂混沌。1.1.李雅普諾夫指數(shù)李雅

14、普諾夫指數(shù)奇怪吸引子奇怪吸引子 考察平方映射的兩個(gè)迭代運(yùn)算 xxxyyyn 1nnn 1nn-()()11N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.6050.9560.167Yn0.3800.9420.2170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999 取 = 4，并取有一點(diǎn)微小的差別的兩個(gè)初始值 x0 =0.370 與 y0=0.380。運(yùn)算結(jié)果如表所列，經(jīng)過前第四次迭代經(jīng)過前第四次迭代, ,兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果還兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果還沒有顯出太大差別沒有顯出太大差別，但是從第五次開始迭代結(jié)果的差別就

15、非常顯著第五次開始迭代結(jié)果的差別就非常顯著了。 奇怪吸引子奇怪吸引子1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)奇怪吸引子奇怪吸引子 取 =2.1，并取有較大差別的三個(gè)初始值 x01 =0.08，x02=0.12, x03=0.16。運(yùn)算結(jié)果如左圖，經(jīng)過五次迭代經(jīng)過五次迭代, ,三個(gè)運(yùn)算結(jié)果趨于一致三個(gè)運(yùn)算結(jié)果趨于一致，045. . 取 =3.7，取差別很小兩個(gè)初始值 x01 =0.04，x02=0.05。運(yùn)算結(jié)果如右圖，第二迭代差別就已顯示出來第二迭代差別就已顯示出來, ,以后雖在第七次迭代時(shí)很接近，以后雖在第七次迭代時(shí)很接近，但隨后又快速分離開來。但隨后又快速分離開來。 1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指

16、數(shù)xy00-xyf xf yf xf yxyxydfdxxy1100000000000-()()()()x0000yxx)()(lim000yxyfxfdxdf-兩個(gè)系統(tǒng)：設(shè)其初始值微小誤差 ，經(jīng)過一次迭代以后有：式中：由第二次迭代得：經(jīng)過第 n 次迭代得： 為多重乘號。 李雅普諾夫指數(shù)公式李雅普諾夫指數(shù)公式xydfdxxydfdxdfdxxy22xxx-110110000 x1 -n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn-)(),(11nnnnyfyxfx1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù) 可見，兩個(gè)系統(tǒng)對初始擾動(dòng)的敏感度由導(dǎo)數(shù) 決定，它與初始值 x0 有關(guān)。映射整體對初值敏感性需對全部初始條

17、件平均，要進(jìn)行 n 次迭代： 兩個(gè)系統(tǒng)如初始存在微小誤差，隨時(shí)間(或迭代)產(chǎn)生分離，分離程度常用李雅普諾夫李雅普諾夫(Lyapunov)(Lyapunov)指數(shù)指數(shù)來度量,它為幾何平均值的對數(shù)：式中xn為第 n 次迭代值。取 ，得李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算公式： 00 x1 -n0=n,nnn)(yxdxxdfyxn-dfdxn=0n-1xnn1/李雅普諾夫指數(shù)公式李雅普諾夫指數(shù)公式dfdx/x0nx1 -n0=n,)(ln1dxxdfnnln每次迭代平每次迭代平均分離值為：均分離值為：-10,)(ln1limnnnndxxdfnl1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù) 利用李雅普諾夫指數(shù)l ，相空間內(nèi)初始

18、時(shí)刻的兩點(diǎn)距離將隨時(shí)間(迭代次數(shù))作指數(shù)分離： 在一維映射中l(wèi) 只有一個(gè)值，而在多維相空間情況下一般就有多個(gè) li ，而且沿相空間的不同方向，其 li (i=1,2,)值一般也不同。 )exp(00nnl-nyxyx0li0tietl0)(0il李雅普諾夫指數(shù)應(yīng)用李雅普諾夫指數(shù)應(yīng)用設(shè) 為多維相空間中兩點(diǎn)的初始距離，經(jīng) n 次迭代后兩點(diǎn)的距離為：式中指數(shù) li 值可正可負(fù)。 表示沿該方向擴(kuò)展， 表示沿該方向收縮。在經(jīng)過一段時(shí)間(數(shù)次迭代)以后，兩個(gè)不同李雅普諾夫指數(shù)值將使相空間中原來的圓演圓演變?yōu)闄E圓變?yōu)闄E圓。1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù) 穩(wěn)定體系的相軌線相應(yīng)于趨向某個(gè)平衡點(diǎn)，如果出現(xiàn)越來越

19、遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，則體系是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)只要有一個(gè)正系統(tǒng)只要有一個(gè)正值的就可出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)值的就可出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。 判別一個(gè)非線性系統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù) l 是否為正值。 吸引子與李雅普諾夫指數(shù)吸引子與李雅普諾夫指數(shù)1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)吸引子與李雅普諾夫指數(shù)吸引子與李雅普諾夫指數(shù) 吸引子可存在于高維相空間內(nèi)。在這相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)可能不止一個(gè)，這樣體系的運(yùn)動(dòng)將為更復(fù)雜。人們稱高維相空間中有多個(gè)正值指數(shù)的混沌為超混沌超混沌。推廣到高維空間后，由指數(shù) 的值決定的各種類型的吸引子歸納如下： ),(432, 1llll),(432, 1llll), 0(-

20、),(-), 0 , 0(-), 0 , 0 , 0(-), 0 ,(-), 0 ,(-吸引子類型 維數(shù)不動(dòng)點(diǎn) D = 0極限環(huán)D = 1二維環(huán)面D = 2三維環(huán)面D = 2奇怪吸引子（混沌） D = 23（非整數(shù)）超混沌D = 高于3非整數(shù)1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)平方映射的平方映射的 l l 指數(shù)指數(shù) 利用計(jì)算程序可以方便地求得一維映射的。分析分析：由圖可見平方映射的指數(shù)指數(shù)隨參數(shù)值變化起伏很大，有一個(gè)臨界值, 當(dāng) 時(shí)指數(shù)變化但始終處于負(fù)值。當(dāng) 指數(shù)開始轉(zhuǎn)為正值，就是說平方映射從這里開始由規(guī)則運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為混沌，進(jìn)入到混沌狀態(tài)。1.00 3.00 周期周期1軌道軌道(不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn))3.00

21、 3.4495 周期周期2軌道軌道3.4495 3.5541 周期周期4軌道軌道3.5541 3.5644 周期周期8軌道軌道3.5644 3.5688 周期周期16軌道軌道5699. 3ccc1.李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子埃儂映射埃儂映射-n1+nn21+n1bxyyxxn 埃儂映射是一個(gè)二維映射。這是天文學(xué)家埃儂(M.Henon)首先計(jì)算的離散型映射,它有兩個(gè)控制參數(shù) 和 b：埃儂映射所描述的體系隨參數(shù) b 的取值不同而不同： 當(dāng)b = 1時(shí)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中保持相平面積不變，描述的是保守系統(tǒng)； 當(dāng)b 1，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中相平面面積逐漸縮小，因此描述的是耗散

22、系統(tǒng)。 當(dāng)b = 0時(shí)退化為一維映射：當(dāng)xn與xn+1的取值0，1時(shí)，則參數(shù) 的取值0，2。這個(gè)一維映射與平方映射有相同的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。 21+n1nxx-2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子埃儂映射 在數(shù)學(xué)上，為了解釋埃儂吸引子的圖形通常取 b =1埃儂映射，并作用于一個(gè)橢圓于是產(chǎn)生出種種變化: a. 原形 橢圓 ； b.保面積彎曲 ; c. x方向壓縮 ； d. 旋轉(zhuǎn) 90 。yaxyxxT-211,:, :2yybxxT , :3xyyxT-321TTTT埃儂吸引子埃儂吸引子小方塊是放大20倍后的局部圖形 取參數(shù) 1.4，b0.3（即 b 1 的耗散體系），進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果顯示在(x

23、,y)相平面上： 開始時(shí)，計(jì)算出得點(diǎn)在平面上隨機(jī)地出現(xiàn)，隨著計(jì)算繼續(xù)，計(jì)算得的點(diǎn)開始顯現(xiàn)成某種圖形，程序運(yùn)行越久圖形中顯現(xiàn)出越多的細(xì)節(jié)，形成如香蕉形狀，具有無窮層次。-n1+nn21+n1bxyyxxn2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子埃儂吸引子的埃儂吸引子的 l l 指數(shù)指數(shù) 當(dāng)軌道間距離很小時(shí)，迭代產(chǎn)生的間距變化認(rèn)為是指數(shù)的，如初始間距為d0 ，經(jīng)過若干次迭代后間距為： 為在這局部區(qū)域內(nèi)的指數(shù)。 隨著間距增加，李氏指數(shù)會(huì)起變化，需要再次在第一條軌道附近另尋找相距為d0 的點(diǎn)作新起始點(diǎn)，如此可得指數(shù) ，如此重復(fù)可得一系列指數(shù)1,2, 3 。對整個(gè)軌道平均得全局李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指

24、數(shù) l l 。 ball ,)exp(101ldd1l2l 埃儂映射是二維映射，要用兩個(gè)李氏指數(shù) 描述，其中一個(gè)指數(shù)為正值時(shí)，就存在奇怪吸引子。 二維映射l計(jì)算方法：在吸引子吸引域在吸引子吸引域內(nèi)任取一點(diǎn)作一條軌道起始點(diǎn)，在該點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)作一條軌道起始點(diǎn)，在該點(diǎn)鄰近選一點(diǎn)作另一條軌道的起始點(diǎn)，考鄰近選一點(diǎn)作另一條軌道的起始點(diǎn)，考察兩條軌道間距離隨迭代產(chǎn)生的變化察兩條軌道間距離隨迭代產(chǎn)生的變化。2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子 指數(shù)指數(shù) l l 隨參數(shù)隨參數(shù) 的的變化變化 1.在 時(shí)始終為負(fù)值； 2.在 附近由負(fù)值轉(zhuǎn)為正值，并隨 增加出現(xiàn)一些規(guī)則運(yùn)動(dòng)的窗口。 3.當(dāng) 時(shí)軌道變得不再穩(wěn)定，

25、因此曲線也在此終止。 4.在 處計(jì)算得: 04. 104. 142. 140. 1419. 0al埃儂吸引子的埃儂吸引子的 l l 指數(shù)指數(shù)b0.3 的最大李氏指數(shù) l 隨 的變化曲線2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子埃儂吸引子的埃儂吸引子的 l l 指數(shù)指數(shù) 埃儂映射是二維映射，要用兩個(gè)李氏指數(shù) 描述，上述已計(jì)算出正值指數(shù) ，現(xiàn)在求第二個(gè)負(fù)值指數(shù) 。 對于二維映射，迭代使相空間圓變?yōu)闄E圓。設(shè)初始圓直徑為 d0 ， 橢圓長軸為 ， 短軸 ， 面積 。迭代的產(chǎn)生面積變化為:由此有 ball,albltaeddl01tbeddl024/4/)(2021tbaedddAlltnnbaeAA)(

26、1ll204. 1logdetlog)/log(1-bJAAnnball623. 1204. 1-abll2. 奇怪吸引子奇怪吸引子 -埃儂吸引子-n1+nn21+n1bxyyxxn-01bxn洛倫茲方程的解洛倫茲方程的解 -1) 1(2, 12, 12, 1rzrbyx-xybzddzxzyrxddyyxddx)( r 1, 坐標(biāo)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)，兩個(gè)新平衡點(diǎn) C1與 C2是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。 =24.7368） C1與 C2成了不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。crr 2.奇怪吸引子奇怪吸引子-洛倫茲吸引子洛倫茲吸引子洛倫茲吸引子 在洛倫茲方程中，取參數(shù) =10，b = 8/3，隨參數(shù) r 增加，出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔，

27、平衡點(diǎn) C1 與 C2 將失穩(wěn)發(fā)展成為奇怪吸引子。 取 r = 28 時(shí)計(jì)算的結(jié)果如下。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-洛倫茲吸引子洛倫茲吸引子的洛倫茲吸引子的 l l 指數(shù)指數(shù) 根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)的含義，描述洛倫茲吸引子需 、 、 三個(gè)指數(shù)，且三個(gè)指數(shù) 之和為：取參數(shù) =10，b = 8/3，r = 28 得：三個(gè)指數(shù)之和為負(fù)值說明相體積是收縮的，洛倫茲系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)。 采用計(jì)算二維映射的最大 l 指數(shù)方法，可用數(shù)值計(jì)算方法算得洛倫茲吸引子的 l 指數(shù)。在上述參數(shù)下，具體計(jì)算可得正值：ll0.906。另外對于三維相空間內(nèi)的相流必需有一個(gè)指數(shù)為0，于是可以計(jì)算出指數(shù) l3 為：于是：1l2l3l)1

28、(1321bdtdVV-lll667.13321-lll)572.14, 0 ,906. 0(),(321-lll2.奇怪吸引子奇怪吸引子-洛倫茲吸引子572.14667.130906. 03-l2. 奇怪吸引子奇怪吸引子-羅斯勒吸引子巴克爾變換巴克爾變換 奇怪吸引子的最重要特征是對初值的敏感性，初始相互靠近的兩條軌線將按指數(shù)式規(guī)律分離。但在有限空間中如何保持這樣的指數(shù)式分離狀態(tài)？ 洛倫茲吸引子有兩個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，因此復(fù)雜的相軌線可以隨機(jī)地在兩個(gè)中心之間行走。是否只有一個(gè)平衡點(diǎn)的奇怪吸引子呢？ 如果有，在有限相空間里如何容納按指數(shù)分離的相軌線？于是就想象伸展開來的相軌線可能產(chǎn)生了某種折疊。 巴

29、克爾變換巴克爾變換描寫了這種變換： 12121210211nnnnnnnxayxayyxx， 圖a-保面積變換(保守系統(tǒng))將單位正方塊(x,y)通過拉伸與壓縮變換成長方形。再將長方形進(jìn)行折疊，把其右半部分折疊到左半部分的上部。 圖b- 的非保面積（耗散系統(tǒng)）變換。 2/10 a巴克爾變換巴克爾變換兩種映射的巴克爾變換示意圖。2. 奇怪吸引子奇怪吸引子-羅斯勒吸引子nnnxxfx2)(1xxxfxfxxf-2)( )()(10001即：0 xxx0 xdxdfxfxxfxxnnnn-0)(0)(0)()()(nnxelnniixxnnxfdxdfe2)( 10)(0-l(1)在在 x 方向上方向

30、上:考慮初始值 及其鄰域 ，則一次迭代后它們的距離是：則作 n 次迭代后的距離是 即：比照線性常微分方程，則得：式中 n 代替了連續(xù)時(shí)間 t。巴克爾變換的 l指數(shù)2. 奇怪吸引子奇怪吸引子-羅斯勒吸引子nniixxnnxfdxdfe2)( 10)(0-l02log)( log110l-inixfn 利用李氏指數(shù)計(jì)算公式，得在 x 方向上李雅普諾夫指數(shù) ：該式說明在 x 方向上的對初始條件非常敏感 (2) 在在y方向上方向上 由巴克爾變換第二式可知在 y 方向的李氏指數(shù) ， 可見，巴克爾變換使 x 方向上的相空間伸長，y 方向上的壓縮。x 方向上拉伸與 y 方向上壓縮的結(jié)果使體積減小，說明這是耗散系統(tǒng)耗散系統(tǒng)。 aylogl0yl2. 奇怪吸引子奇怪吸引子-羅斯勒吸引子巴克爾變換的 l指數(shù) 根據(jù)相空間的伸展與折疊思想，羅斯勒(