高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)課時作業(yè) 新人教A版選修11

1、3.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)【選題明細表】知識點、方法題號函數(shù)極值的定義1函數(shù)極值(點)的判斷與求解2,3,7由函數(shù)極值求參數(shù)(或范圍)4,5函數(shù)極值的應用10綜合問題6,8,9,11【基礎鞏固】1.下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是(d)(a)導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點(b)函數(shù)的極小值一定小于它的極大值(c)函數(shù)在定義域內(nèi)有一個極大值和一個極小值(d)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)解析:由極值的概念可知只有d正確.2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(a

2、)(a)1個(b)2個(c)3個(d)4個解析:極小值點應有先減后增的特點,即f(x)<0f(x)=0f(x)>0.由圖象可知只有1個極小值點.故選a.3.函數(shù)y=1+3x-x3有(d)(a)極小值-1,極大值1(b)極小值-2,極大值3(c)極小值-2,極大值2(d)極小值-1,極大值3解析:f(x)=-3x2+3,由f(x)=0可得x1=1,x2=-1.由極值的判定方法知f(x)的極大值為f(1)=3,極小值為f(-1)=1-3+1=-1.故選d.4.(2018·太原高二檢測)若函數(shù)f(x)=ax-ln x在x=處取得極值,則實數(shù)a的值為(a)(a)(b)(c)2(d

3、)解析:f(x)=a-,令f()=0,即a-=0,解得a=.故選a.5.(2017·河南高二月考)已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個零點x1<x2,則下列說法錯誤的是(c)(a)a>e(b)x1+x2>2(c)x1x2>1(d)有極小值點x0,且x1+x2<2x0解析:因為f(x)=ex-ax,所以f(x)=ex-a,令f(x)=ex-a>0,當a0時,f(x)=ex-a>0在xr上恒成立,所以f(x)在r上單調(diào)遞增.當a>0時,因為f(x)=ex-a>0,所以ex-a>0,解得x>ln a,所以f(x)在(-,ln

4、a)單調(diào)遞減,在(ln a,+)單調(diào)遞增.因為函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個零點x1<x2,所以f(ln a)<0,a>0,所以eln a-aln a<0,所以a>e,a正確;x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),取a=,f(2)=e2-2a=0,所以x2=2,f(0)=1>0,所以0<x1<1,所以x1+x2>2,b正確;f(0)=1>0,所以0<x1<1,x1x2>1不一定,c不正確;f(x)在(-,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+)單調(diào)遞增,所以有極小值

5、點x0=ln a,且x1+x2<2x0=2ln a,d正確.故選c.6.(2015·陜西卷)函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為.解析:由y=xex可得y=ex+xex=ex(x+1),從而可得y=xex在(-,-1)上遞減,在(-1,+)上遞增,所以當x=-1時,y=xex取得極小值-e-1,因為y|x=-1=0,切點為(-1,-),故切線方程為y=-e-1,即y=-.答案:y=-7.(2018·寶雞高二月考)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(1,0),(2,0),如圖所示,則下列說法中正確的是(把所有正確的說法序號都填上)

6、. 當x=時函數(shù)取得極小值;f(x)有兩個極值點;當x=2時函數(shù)取得極小值;當x=1時函數(shù)取得極大值.解析:從題中圖象上可以看到:當x(-,1)時,f(x)>0;當x(1,2)時,f(x)<0;當x(2,+)時,f(x)>0,所以f(x)有兩個極值點1和2,且當x=2時函數(shù)取得極小值,當x=1時函數(shù)取得極大值.只有不正確.答案:8.(2017·咸陽高二期末)已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+3.求:(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)f(x)的極值.解:(1)f(x)=3x2+6x-9,解f(x)0,得x1或x-3;所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-

7、3,1,+).(2)x<-3時,f(x)>0,-3<x<1時,f(x)<0,x>1時,f(x)>0;所以x=-3時f(x)取極大值30,x=1時,f(x)取極小值-2.【能力提升】9.(2018·沈陽高二質(zhì)檢)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,若t=ab,則t的最大值為(d)(a)2(b)3(c)6(d)9解析:f(x)=12x2-2ax-2b,則f(1)=12-2a-2b=0,則a+b=6,又a>0,b>0,則t=ab()2=9,當且僅當a=b=3時取等號.故選d.10.(

8、2018·成都高二診斷)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a>0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是. 解析:令f(x)=3x2-3a=0,得x=±,則f(x),f(x)隨x的變化情況如表:x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值從而解得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1).答案:(-1,1)11.(2018·呼倫貝爾高二檢測)設函數(shù)y=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示,且與y=0在原點相切,若函數(shù)的極小值為-4.(1)求a,b,c的值;(2)求函數(shù)的遞減區(qū)間.解:(1)因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,

9、0),易得c=0.又圖象與x軸相切于點(0,0),且y=3x2+2ax+b,故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.所以y=x3+ax2,則y=3x2+2ax.令y=0,解得x=0或x=-a,即x=0和x=-a是極值點.由圖象知函數(shù)在x=0處取極大值,故在x=-a時取極小值.當x=-a時,函數(shù)有極小值-4,所以(-a)3+a(-)2=-4,整理得a3=-27,解得a=-3.故a=-3,b=0,c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2,則y=3x2-6x,令y<0,即y=3x2-6x<0,解得0<x<2,所以函數(shù)的遞減區(qū)間是(0,2).【探究創(chuàng)新】1

10、2.(2017·南陽高二期末)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2bx+c,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)取極小值,則u=的取值范圍是. 名師點撥:由函數(shù)在(0,1)內(nèi)取極大值,在(1,2)內(nèi)取極小值,列出a,b所滿足的約束條件,利用線性規(guī)劃求解.解析:f(x)=x2+ax+2b,因為函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)取極大值,在(1,2)內(nèi)取極小值.所以即作出點(a,b)所滿足的可行域如圖:而u=可看作是平面區(qū)域內(nèi)的點與點c(1,2)連線的斜率,由可得a(-3,1),又b(-1,0)所以kac=,kbc=1,所以<u<1.答案:(,1)6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756