級下傅里葉級數(shù)PPT課件

1、（一）奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)(1)(1)當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的奇函數(shù)的奇函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項,又含有余弦項.但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.第1頁/共37頁(2)(2)當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級展開成傅里葉級數(shù)時數(shù)時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbn

2、nxdxxfann證明證明,)()1(是奇函數(shù)是奇函數(shù)設(shè)設(shè)xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函數(shù)第2頁/共37頁 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1( n同理可證(2)定義定義 如如果果)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), ,傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級級數(shù)數(shù). .如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), , 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù). . nxdxxfbnsin)(1偶函數(shù)定理證畢.第3頁/共37頁例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在), 上

3、的表達(dá)式為上的表達(dá)式為xxf )(,將將)(xf展開成展開成傅氏級數(shù)傅氏級數(shù). 解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkx2)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點在連續(xù)點 第4頁/共37頁 2 2 3 3xy0,2)()12(為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以時時 xfkx和函數(shù)圖象), 2 , 1 , 0(, 0 nan第5頁/共37頁 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3

4、sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx第6頁/共37頁)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 觀察兩函數(shù)圖形第7頁/共37頁例例2 2 將周期函數(shù)將周期函數(shù)tEtusin)( 展開成傅氏級數(shù)展開成傅氏級數(shù), ,其中其中E是正常數(shù)是正常數(shù). . 解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個數(shù)軸上連續(xù).,)( 為偶函數(shù)為偶函數(shù)tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E ), 2 , 1( n第8頁/共37頁 0cos)(2ntdttuan 0cossin2

5、ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos( ntnntnE)1( n第9頁/共37頁 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu )( x.142cos21212 nnnxE 第10頁/共37頁（二）函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)非周期函數(shù)的周期性開拓非周期函數(shù)的周期性開拓).(2, 0)(xFxf函數(shù)函數(shù)為周期的為周期的延拓成以延拓成以上上定義在定義在設(shè)設(shè) ,0)(0)()( xxgxxfxF

6、令令),()2(xFxF 且且則有如下兩種情況. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓第11頁/共37頁奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF則則xy0 的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x第12頁/共37頁偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF則則的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 第13頁/共37頁例例 3 3 將函數(shù)將函數(shù))0(1)( xxxf分別展開成分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù). . 解解 (1)(1)求正弦級數(shù). .,)(進(jìn)行奇延

7、拓進(jìn)行奇延拓對對xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)?shù)?4頁/共37頁3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x1 xy5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx 第15頁/共37頁(2)(2)求余弦級數(shù). .,)(進(jìn)行偶延拓進(jìn)行偶延拓對對xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)5cos513cos

8、31(cos412122 xxxx)0( x第16頁/共37頁1 xy)7cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 第17頁/共37頁（三）小結(jié)1、基本內(nèi)容:奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級數(shù)與余弦級數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓;2、需澄清的幾個問題.(誤認(rèn)為以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù);2, 0.的傅氏級數(shù)唯一的傅氏級數(shù)唯一展成周期為展成周期為上上在在 b).(,.xfc級數(shù)處處收斂于級數(shù)處處收斂于值點時值點時上連續(xù)且只有有限個極上連續(xù)且只有有限個極在在 第18頁/共37頁第八節(jié) 一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)一、以2L2L為周期的傅氏級數(shù)二、傅立葉級數(shù)

9、的復(fù)數(shù)形式三、小結(jié)第19頁/共37頁一、以2L2L為周期的傅氏級數(shù),2lT .2lT 定理定理式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開定理的條件定理的條件滿足收斂滿足收斂的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏級數(shù)中第20頁/共37頁為為其中系數(shù)其中系數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(為奇函數(shù)為奇函數(shù)如果如果xf則有則有,sin)(1 nnlxnb

10、xf,sin)(20dxlxnxflbblnn 為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1( n第21頁/共37頁,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1 , 0( n證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 設(shè)設(shè).2)(為周期為周期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 第22頁/共37頁)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1

11、,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中)()(xfzFlxz 第23頁/共37頁典型例題k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 4 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在)2 , 2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 20020)(xkxxf, 將其展將其展成傅氏級數(shù)成傅氏級數(shù). 解解., 2 滿足狄氏充分條件滿足狄氏充分條件 l 2002021021kdxdxa,k 第24頁/共37頁 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng))25sin51

12、23sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n第25頁/共37頁例例 2 2 將函數(shù)將函數(shù) 10510)( xxxf展開成展開成傅氏級數(shù)傅氏級數(shù). 解解,10 xz作變量代換作變量代換105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的定義的定義補(bǔ)充函數(shù)補(bǔ)充函數(shù) zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后將然后將,收收斂斂定定理理的的條條件件這這拓拓廣廣的的周周期期函函數(shù)數(shù)滿滿足足).()5, 5(zF內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于且展開式在且展開式在 第26頁/共37頁x)(zFy5 50151

13、0), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x第27頁/共37頁另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1(

14、n第28頁/共37頁小結(jié)利用變量代換求傅氏展開式;求傅氏展開式的步驟;1.畫圖形驗證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);2.求出傅氏系數(shù);3.寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于).(xf以2L為周期的傅氏系數(shù);第29頁/共37頁以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn ), 2 , 1 , 0(cos)(1 ndxlxnxflalln ), 3 , 2 , 1(sin)(1 ndxlxnxflblln 二、傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式第30頁/共37頁代入歐拉公式,2cosititeet ,2sinieetitit )sincos(2)(10lxnblx

15、naaxfnnn 10222nlxnilxninlxnilxnineeibeeaa 10222nlxninnlxninneibaeibaa第31頁/共37頁), 3 , 2 , 1( n 10nlxninlxnineCeCC ,200aC 令令,2nnnibaC ,2nnnibaC ,)(lxninneCxf 于是有于是有), 2, 1, 0()(21 ndxexflClllxnin 傅里葉系數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式第32頁/共37頁例例 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在 )1 , 1 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為xexf )(,將其展成復(fù)數(shù)形式將其展成復(fù)數(shù)形式的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù). 解解 1121dxeecxinxn 11)1(21dxexin coscos1121122 nenenin , 1sinh11)1(22 ninn 第33頁/共