線性代數(shù)矩陣秩與向量組秩關(guān)系PPT課件

1、1按行分塊得到12mA 12,iiinaaaAi i i其中其中是 的第 行構(gòu)成的向量是 的第 行構(gòu)成的向量i =1,2,mi =1,2,m第1頁/共20頁2將該矩陣按列分塊得到 12nA 12jjjmjaaa 其中其中 An是 的第j 列構(gòu)成的是 的第j 列構(gòu)成的向量 j =1,2,向量 j =1,2,第2頁/共20頁3稱為A的行向量組 1,mn1 1，稱為A的列向量組定義9 矩陣A的行向量組的秩成為A的行秩，A的列向量組的秩稱為A的列秩。矩陣A的秩與其行秩和列秩有什么關(guān)系呢？第3頁/共20頁4先看一個例子112231 0000 1000 00100 000010 00000ababBb 此

2、矩陣為具有4個非零行的B-型矩陣第4頁/共20頁5 4R B 顯然B的列向量組1246,線性無關(guān)，并且311225112233aabbb故1246,是B的列向量組的極大無關(guān)組。第5頁/共20頁6B的列秩B的秩r一般的，對有r個非零行的B-型階梯型矩陣，有B的列秩B的秩4引理 設(shè)矩陣A經(jīng)過行初等變換化為B，分別記為：12(,.,)nA 12,.,nB 第6頁/共20頁7之間有完全相同的線性關(guān)系，即則A的列向量組與B的列向量組1122.0nnxxx當且僅當1122.nnxxx0證 因為矩陣A經(jīng)過行初等變換化為B，A的列向量組與B的列向量組等價，也就是說齊次線性方程組AX=0 與BX=0同解，即第7

3、頁/共20頁8有相同的線性相關(guān)性。于是知列向量組 12,.,n 與12,.,n 1122.nnxxx0同解1122.nnxxx0與第8頁/共20頁9定理5 矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。證 設(shè)矩陣 ijm naA()rrAB是與之對應(yīng)的B-型陣設(shè)A的r階非零子式 0rD下證A的列向量組的秩為rrD所在的r列構(gòu)成的 mr矩陣為 第9頁/共20頁1012,.,rB 顯然( )rrB即B的r個列向量線性無關(guān)，而A的任意r+1 列所構(gòu)成的矩陣的秩小于等于 ()rrA所以A的任意r+1列向量線性相關(guān)，因此，B的r個列向量為矩陣A的列向量組的極大無關(guān)組。所以 A的列秩等于r。第10頁/共20頁11

4、故： A的秩=A的行秩=A的列秩()()TrrAA的列向量組，又TA因為A的行向量組就是例1 設(shè)向量組121, 2,5, 3,4, 1, 2,3,TT 35,4, 19,15,T410, 1,16, 15T 第11頁/共20頁12求該向量組的極大無關(guān)組，并把其余向量由極大無關(guān)組線性表示。 解： 以1234, 為列構(gòu)造矩陣A，并利用初等行變換把A化成行簡化型階梯矩陣B第12頁/共20頁131451007142102244660153045213141253145102141521916331515rrrrrr A第13頁/共20頁14231711,221514510071421022446601

5、53045rrr 14510012301230123第14頁/共20頁15324214510012300000000rrrr 1241032012300000000rr 第15頁/共20頁161032012300000000B所以()( )2rrAB故列向量組的 秩為2，即列向量組的極大無關(guān)組含有2個向量，顯然， 第16頁/共20頁17121,0,0,0,0,1,0,0TT為矩陣B的列向量組的極大無關(guān)組則121, 2,5, 3,4, 1, 2,3TT 是向量組1234, 的極大無關(guān)組，且顯然有 ：31241232,23 第17頁/共20頁18對于這道題我們可以直接用數(shù)學(xué)軟件MATLAB來計算向量組的秩和極大無關(guān)組，并把其余向量由極大無關(guān)組線性表示 %求向量組的秩、極大無關(guān)組A=1 4 5 -10;-2 -1 4 -1;5 -2 -19 16;-3 3 15 -15;rref(A)% * * * * * * * * * * * *運行結(jié)果 * * * * * * * * * * * *ans = 1 0 -3 2 0 1 2 -3