高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第7講解三角形應(yīng)用舉例練習(xí)理北師大版051

1、1第第 7 7 講講解三角形應(yīng)用舉例解三角形應(yīng)用舉例一、選擇題1.在相距 2 km 的a，b兩點處測量目標(biāo)點c，若cab75，cba60，則a，c兩點之間的距離為()a. 6 kmb. 2 kmc. 3 kmd.2 km解析如圖， 在abc中， 由已知可得acb45， acsin 602sin 45，ac2 232 6(km).答案a2.一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時 40 海里的速度沿南偏東 40的方向直線航行，30 分鐘后到達b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是南偏東 70，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東 65，那么b，c兩點間的距離是()a.102海里b.103海里c.20

2、3海里d.202海里解析如圖所示，易知，在 abc中，ab20，cab30，acb45，根據(jù)正弦定理得bcsin 30absin 45，解得bc10 2(海里).答案a3.(2017合肥調(diào)研)如圖所示， 已知兩座燈塔a和b與海洋觀察站c的距離都等于akm，燈塔a在觀察站c的北偏東 20，燈塔b在觀察站c的南偏東 40，則燈塔a與b的距離為()a.akmb. 3akmc. 2akmd.2akm解析由題圖可知，acb120，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccosacba2a22aa12 3a2，解得ab 3a(km).答案b4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼

3、頭a出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭b.已知ab1 km，水的流速為 2 km/h，2若客船從碼頭a駛到碼頭b所用的最短時間為 6 min，則客船在靜水中的速度為()a.8 km/hb.6 2 km/hc.2 34 km/hd.10 km/h解析設(shè)ab與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sin0.6135，從而 cos45，所以由余弦定理得110v2110221221102145，解得v6 2.選 b.答案b5.如圖，測量河對岸的塔高ab時可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個測點c與d，測得bcd15，bdc30，cd30，并在點c測得塔頂a的仰角為 60，則塔高ab等于()a

4、.5 6b.15 3c.5 2d.15 6解析在bcd中，cbd1801530135.由正弦定理得bcsin 3030sin 135，所以bc15 2.在 rtabc中，abbctan acb15 2 315 6.答案d二、填空題6.如圖所示，一艘海輪從a處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東 15方向，與海輪相距 20 海里的b處，海輪按北偏西 60的方向航行了 30 分鐘后到達c處，又測得燈塔在海輪的北偏東 75的方向，則海輪的速度為_海里/分.解析由已知得acb45，b60，由正弦定理得acsinbabsinacb，所以acabsinbsinacb20sin 60sin 4510 6，所以海輪航

5、行的速度為10 63063(海里/分).答案637.江岸邊有一炮臺高 30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為 45和 60， 而且兩條船與炮臺底部連線成 30角， 則兩條船相距_m.解析如圖，omaotan 4530(m)，onaotan 30333010 3(m)，3在mon中，由余弦定理得，mn90030023010 332 30010 3(m).答案10 38.在 200 m 高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是 30，60，則塔高為_m.解析如圖，由已知可得bac30，cad30，bca60，acd30，adc120.又ab200 m，ac

6、40033(m).在acd中，由余弦定理得，ac22cd22cd2cos 1203cd2，cd13ac4003(m).答案4003三、解答題9.如圖，漁船甲位于島嶼a的南偏西 60方向的b處，且與島嶼a相距12 海里，漁船乙以 10 海里/時的速度從島嶼a出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從b處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用 2 小時追上.(1)求漁船甲的速度；(2)求 sin的值.解(1)依題意知，bac120，ab12，ac10220，bca.在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac12220221220cos 120784.解得bc28.所以漁船甲的速度為b

7、c214 海里/時.(2)在abc中，因為ab12，bac120，bc28，bca，由正弦定理，得absinbcsin 120，4即 sinabsin 120bc1232283 314.10.(2015安徽卷)在abc中，a34，ab6，ac3 2，點d在bc邊上，adbd，求ad的長.解設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對邊的長分別是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosbac(3 2)26223 26cos341836(36)90，所以a3 10.又由正弦定理，得 sinbbsinbaca33 101010，由題設(shè)知 0b4，所以 cosb 1sin2b11103 1010.在abd中

8、，因為adbd，所以abdbad，所以adb2b.由正弦定理，得adabsinbsin（2b）6sinb2sinbcosb3cosb 10.11.(2016全國卷)在abc中，b4，bc邊上的高等于13bc，則 cosa()a.3 1010b.1010c.1010d.3 1010解析設(shè)bc邊上的高ad交bc于點d，由題意b4，bd13bc，dc23bc，tanbad1，tancad2，tana121123，所以 cosa1010.答案c12.如圖所示，d，c，b三點在地面同一直線上，dca，從d，c兩點測得a點仰角分別為，()，則點a離地面的高ab等于()a.asinsinsin（）b.asi

9、nsincos（）5c.acoscossin（）d.acoscoscos（）解析結(jié)合題圖示可知，dac.在acd中，由正弦定理得：dcsindacacsin，acasinsindacasinsin（）.在 rtabc中，abacsinasinsinsin（）.答案a13.如圖，從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為 75，30，此時氣球的高是 60 m，則河流的寬度bc等于_m.解析如圖，acd30，abd75，ad60 m，在 rtacd中，cdadtanacd60tan 3060 3(m)，在 rtabd中，bdadtanabd60tan 75602 360(2 3)(m)，b

10、ccdbd60 360(2 3)120( 31)(m).答案120( 31)14.如圖，在海岸a處，發(fā)現(xiàn)北偏東 45方向距a為( 31)海里的b處有一艘走私船，在a處北偏西 75方向，距a為 2 海里的c處的緝私船奉命以 103海里/時的速度追截走私船.此時走私船正以 10 海里/時的速度從b處向北偏東 30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的時間(注： 62.449).解設(shè)緝私船應(yīng)沿cd方向行駛t小時，才能最快截獲(在d點)走私船，則有cd10 3t(海里)，bd10t(海里).在abc中， ab( 31)海里，ac2 海里， bac4575120， 根據(jù)余弦定理，可得bc （ 31）22222（ 31）cos 120 6(海里).6根據(jù)正弦定理，可得sinabcacsin 120bc232622.abc4