第02章平面問題的基本理論_1

1、第二章第二章平面問題的基本理論平面問題的基本理論本章將系統(tǒng)地平面問題的基本理論基本方程和邊本章將系統(tǒng)地平面問題的基本理論基本方程和邊界條件，及兩種基本解法，是彈性力學中最具典型性和界條件，及兩種基本解法，是彈性力學中最具典型性和代表性的內(nèi)容，是后續(xù)內(nèi)容學習的基礎(chǔ)。要求掌握的內(nèi)代表性的內(nèi)容，是后續(xù)內(nèi)容學習的基礎(chǔ)。要求掌握的內(nèi)容如下：容如下：1 1、兩類平面問題的定義；、兩類平面問題的定義；2 2、關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的分析；、關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的分析； 3 3、平面區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程與物理、平面區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程與物理方程；方程；4 4、平面邊界上的應(yīng)力和位移邊界條件的建立，及

2、、平面邊界上的應(yīng)力和位移邊界條件的建立，及圣維南原理的應(yīng)用；圣維南原理的應(yīng)用；5 5、按位移求解方法和按應(yīng)力求解方法；、按位移求解方法和按應(yīng)力求解方法；本章學習指南本章學習指南為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，要求做到：要求做到：1 1、清楚地了解上述有關(guān)問題的提出與分析的、清楚地了解上述有關(guān)問題的提出與分析的方法；方法；2 2、自己動手推導(dǎo)公式，以加深理解；、自己動手推導(dǎo)公式，以加深理解；3 3、及時對內(nèi)容進行總結(jié)，掌握其要點；、及時對內(nèi)容進行總結(jié)，掌握其要點；本章學習指南本章學習指南q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平

3、面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.1 2.1 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題 任何一個彈性體是空間物體，外力為空間力系。實際的任何一個彈性體是空間物體，外力

4、為空間力系。實際的彈性力學問題都是空間問題。彈性力學問題都是空間問題?？臻g問題的簡化與近似：當彈性體具有特殊形狀、承受特空間問題的簡化與近似：當彈性體具有特殊形狀、承受特殊的外力與約束時，可進行簡化，使得分析與計算工作量大殊的外力與約束時，可進行簡化，使得分析與計算工作量大大減少，所得結(jié)果仍然可以滿足工程精度要求。大減少，所得結(jié)果仍然可以滿足工程精度要求。平面問題平面問題哪些問題可簡化為平面問題？哪些問題可簡化為平面問題？1 1、平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題條件：平面應(yīng)力問題條件：很薄的等厚度薄板，厚度很薄的等厚度薄板，厚度為為h遠遠小于結(jié)構(gòu)另外兩個方遠遠小于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺度。

5、其所受體力、面力向的尺度。其所受體力、面力和約束均平行于板面，即只是和約束均平行于板面，即只是Oxy面內(nèi)的量，并沿厚度方向面內(nèi)的量，并沿厚度方向不變。薄板的兩個表面不受任不變。薄板的兩個表面不受任何外力和約束的作用。何外力和約束的作用。1 1、平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題 構(gòu)件幾何特征：構(gòu)件幾何特征：很薄的等厚度薄板。很薄的等厚度薄板。厚度為厚度為h遠遠小于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺度遠遠小于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面。薄板的中面為平面。 表面面力邊界條件：表面面力邊界條件：表面不受外力作用表面不受外力作用外力與約束：外力與約束：其所受體力、面力和約其所受體力、面力和約束均平行于中面束均

6、平行于中面Oxy面內(nèi)，并沿厚度方面內(nèi)，并沿厚度方向向Oz不變。而且薄板的兩個表面不受外不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。因此應(yīng)力沿厚度方向不變。力作用。因此應(yīng)力沿厚度方向不變。因此只剩下因此只剩下Oxy面內(nèi)的三個應(yīng)力分量面內(nèi)的三個應(yīng)力分量，且只是坐標，且只是坐標x, y的函的函數(shù)，沿厚度方向數(shù)，沿厚度方向Oz不變，即不變，即 應(yīng)力分量分布特點：應(yīng)力分量分布特點：由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，同時應(yīng)力沿厚度還是連續(xù)分布的，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻同時應(yīng)力沿厚度還是連續(xù)分布的，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻分布，所以板中各點均有：分布，所以板中各點均有：1 1、平面

7、應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題應(yīng)變分量分布特點：應(yīng)變分量分布特點：應(yīng)變分量也只是坐標應(yīng)變分量也只是坐標x, y的函數(shù)，沿厚度的函數(shù)，沿厚度方向方向Oz不變。且不變。且g gzx= =g gzy=0=0，但但e ez00，這表明薄板變形時，兩底面這表明薄板變形時，兩底面將發(fā)生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。將發(fā)生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。1 1、平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題小結(jié)平面應(yīng)力問題小結(jié)：1 1、平面應(yīng)力問題，就是只有平面應(yīng)力分量、平面應(yīng)力問題，就是只有平面應(yīng)力分量（s sx，s sy和和t txy）存在，且僅為）存在，且僅為x、y的函數(shù)的彈性的函數(shù)的彈性力

8、學問題。力學問題。2 2、厚度較薄的淺梁和深梁、受上部荷載及、厚度較薄的淺梁和深梁、受上部荷載及自重的墻、平板壩的平板支墩等，都屬于平面應(yīng)自重的墻、平板壩的平板支墩等，都屬于平面應(yīng)力問題。力問題。2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題條件：平面應(yīng)變問題條件：彈性體為等截面的很長柱彈性體為等截面的很長柱體，體力、面力和約束條件均體，體力、面力和約束條件均平行于橫截面且不沿長度方向平行于橫截面且不沿長度方向變化，即只有變化，即只有Oxy平面內(nèi)的體平面內(nèi)的體力、面力和約束，且沿力、面力和約束，且沿z方向不方向不變化。變化。2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題 構(gòu)件幾何特征：構(gòu)件幾何特征：具有很

9、長縱向具有很長縱向軸的柱形體，橫截面大小和形狀沿軸的柱形體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變軸線長度不變 位移失量分布特點：位移失量分布特點：只沿只沿x和和y方向移動，沿軸線方向方向移動，沿軸線方向位移為位移為0 0，即，即u=u(x,y)v=v (x,y) w=0外力與約束：外力與約束：體力、面力和約束體力、面力和約束與縱向軸垂直，即平行于橫截面，與縱向軸垂直，即平行于橫截面，并且沿長度不變；柱體的兩端受固并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束；定約束；2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題應(yīng)變分量分布特點：應(yīng)變分量分布特點：應(yīng)變分量為坐標應(yīng)變分量為坐標x, y的函數(shù)，沿的函數(shù)，沿z方向為方向為0

10、0，即，即e ez= =g gxz= =g gyz=0=0，只剩下只剩下oxy平面內(nèi)的三個應(yīng)平面內(nèi)的三個應(yīng)變分量。變分量。應(yīng)力分量分布特點：應(yīng)力分量分布特點：應(yīng)力分量也是坐標應(yīng)力分量也是坐標x, y的函數(shù)，的函數(shù)，沿沿z方向的切應(yīng)力為方向的切應(yīng)力為0 0，即，即t txz= =t tyz=0=0。由于沿由于沿z方向的伸縮方向的伸縮要受到約束，故要受到約束，故s sz00。2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題小結(jié)平面應(yīng)變問題小結(jié)：1 1、平面應(yīng)變問題，就是只有平面應(yīng)變分量、平面應(yīng)變問題，就是只有平面應(yīng)變分量（e ex，e ey和和g gxy）存在，且僅為）存在，且僅為x、y的函數(shù)的彈性

11、的函數(shù)的彈性力學問題。力學問題。2 2、擋土墻、很長的管道和隧洞問題，盡管、擋土墻、很長的管道和隧洞問題，盡管不是無限長，但對于離開兩端較遠處，可按平面不是無限長，但對于離開兩端較遠處，可按平面應(yīng)變問題來分析計算，結(jié)果在工程上是可用的。應(yīng)變問題來分析計算，結(jié)果在工程上是可用的。平面問題的總結(jié)平面問題的總結(jié)名稱名稱平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量應(yīng)力應(yīng)力s sx、s sy、t txys sz= t txz = t tyz = 0s sx、s sy、t txys sz 0 t txz = t tyz =0應(yīng)變應(yīng)變e ex、e ey、g

12、 gxye ez 0 g gxz = g gyz = 0e ex、e ey、g gxye ez = g gxz = g gyz = 0位移位移u、vw 0u、vw= 0外力外力體力、面力和約束作用于體力、面力和約束作用于oxy面內(nèi)，且沿板厚均布面內(nèi)，且沿板厚均布體力、面力和約束作用于體力、面力和約束作用于oxy面內(nèi)，且沿面內(nèi)，且沿z軸不變軸不變形狀形狀等厚度薄板等厚度薄板等截面長柱體等截面長柱體平面問題的總結(jié)平面問題的總結(jié)平面問題特點：平面問題特點：1 1、基本未知量為、基本未知量為8 8個，均為平面（個，均為平面（oxy面）內(nèi)的面）內(nèi)的物理量；物理量；2 2、所有未知量僅是、所有未知量僅是x

13、和和y兩個變量的函數(shù)；兩個變量的函數(shù)；3 3、相對于空間問題，其基本物理量、基本方程、相對于空間問題，其基本物理量、基本方程均減少，使得它比一般空間問題簡單得多；均減少，使得它比一般空間問題簡單得多； 4 4、主要有兩類：平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、主要有兩類：平面應(yīng)力、平面應(yīng)變例例 題題例例1 1：（本章習題：（本章習題2 21 1）如果某一問題中，如果某一問題中，s szt tzxt tzy=0，只存在平面應(yīng)，只存在平面應(yīng)力分量力分量s sx，s sy和和t txy ，且它們不沿，且它們不沿z方向變化，僅為方向變化，僅為x、y的函數(shù)，試考慮此問題是否就是平面應(yīng)力問題？的函數(shù)，試考慮此問題是否就是平

14、面應(yīng)力問題？例例2 2：（本章習題：（本章習題2 23 3）如圖如圖211，試分析說明，在不受任何面力作用，試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。面應(yīng)力的情況。例例 題題例例3、如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則、如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則是平面應(yīng)力問題，還是平面應(yīng)變問題？是平面應(yīng)力問題，還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題薄板彎曲問題薄板彎曲問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題空間問題空間問題空間問題空間問題q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問

15、題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.2 2.2 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程 平面問題的平衡微分方程是考慮平面問題的靜力學條平面問題的平衡微分方程是考慮平面問題

16、的靜力學條件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分單元的靜力平衡條件來推導(dǎo)出應(yīng)力件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分單元的靜力平衡條件來推導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。分量與體力分量之間的關(guān)系。如圖，在彈性體內(nèi)任一點如圖，在彈性體內(nèi)任一點取一微小的正平行六面體，其取一微小的正平行六面體，其x、y方向的尺寸分別為方向的尺寸分別為dx、dy，為計算方便，設(shè)它在為計算方便，設(shè)它在z方向方向的尺寸為單位長度的尺寸為單位長度1 1。平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程由于六面體是微小的，各面上的應(yīng)力可認為由于六面體是微小的，各面上的應(yīng)力可認為是均勻分布，且作用于對應(yīng)面的中心。是均勻分布，且作用于對應(yīng)面的中心。同理，六面體所受的

17、體力也可以認為是均勻同理，六面體所受的體力也可以認為是均勻分布，且作用于它的體積的中心。分布，且作用于它的體積的中心。一般而論，應(yīng)力分量是變量一般而論，應(yīng)力分量是變量x和和y的函數(shù)，作用于左右兩對面或的函數(shù)，作用于左右兩對面或上下兩對面的應(yīng)力分量不完全上下兩對面的應(yīng)力分量不完全相同，具有微小的差量。相同，具有微小的差量。平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程2 2、由通過中心由通過中心C C點并平行于點并平行于z軸軸的直線為轉(zhuǎn)軸，列出力矩的平衡的直線為轉(zhuǎn)軸，列出力矩的平衡條件，并利用小變形假設(shè)，可推條件，并利用小變形假設(shè)，可推導(dǎo)出導(dǎo)出“切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理”，即，即t txy=

18、=t tyx3 3、由由x軸和軸和y軸兩個方向的平面軸兩個方向的平面力系的平衡條件，可推導(dǎo)出力系的平衡條件，可推導(dǎo)出“平平衡微分方程衡微分方程”，即，即0000yxyyxyxxyxfxyfyxFFtsts1 1、利用連續(xù)性假設(shè)，根據(jù)利用連續(xù)性假設(shè)，根據(jù)Taylor級數(shù)展開式，略去高級數(shù)展開式，略去高價項，可求出各面上的應(yīng)力價項，可求出各面上的應(yīng)力分量。分量。平衡微分方程：注意事項平衡微分方程：注意事項 列平衡條件時，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積列平衡條件時，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；和體積，才能得到合力； 應(yīng)用了兩個基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)（應(yīng)用了兩個基本假設(shè)：連續(xù)性假

19、設(shè)（不同面間應(yīng)力不同面間應(yīng)力分量采用泰勒級數(shù)展開分量采用泰勒級數(shù)展開）和小變形假設(shè)（）和小變形假設(shè)（受力變形前后受力變形前后微分體尺寸不變微分體尺寸不變），這也是其適用的條件。），這也是其適用的條件。 平衡微分方程中各個量的量綱都相同，其中第一式平衡微分方程中各個量的量綱都相同，其中第一式的各項為的各項為x方向的力，第二項為方向的力，第二項為y方向的力；方向的力；平衡微分方程：注意事項平衡微分方程：注意事項 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡微分方程相平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡微分方程相同同( (平面應(yīng)變問題中的正應(yīng)力平面應(yīng)變問題中的正應(yīng)力s sz不影響方程的推導(dǎo)不影響方程的推導(dǎo)) ) 平

20、面問題的平衡微分方程有平面問題的平衡微分方程有2 2個方程，但包含有個方程，但包含有3 3個未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學條件無法定解，即是超靜個未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學條件無法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學和物理學方面的定的。要想定解，還必須考慮幾何學和物理學方面的條件。條件。 平衡微分方程表示了平面區(qū)域內(nèi)任意點的微分單平衡微分方程表示了平面區(qū)域內(nèi)任意點的微分單元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個區(qū)元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個區(qū)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學條件是嚴域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學條件是嚴格和精確的；格和精確的；例題例題例例2.2.

21、12.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計。試根據(jù)上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計。試根據(jù)材料力學中的應(yīng)力表達式，由平衡微分材料力學中的應(yīng)力表達式，由平衡微分方程導(dǎo)出另兩個應(yīng)力分量。方程導(dǎo)出另兩個應(yīng)力分量。yxlhq330 x2s例題例題0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhqtst解解：（：（1 1）將將s sx代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式02330 xyxxxfyxyxlhqtss)()(2330 xgyxfxylhqys)(32230 xfyxlhqxyt （2 2）將將t t

22、xy代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.3 2.3 平面問題中一點

23、應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中一點應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力是與作用面有關(guān)的。應(yīng)力是與作用面有關(guān)的。 s sx，s sy和和t txy作為基本未知函作為基本未知函數(shù)，只是表示一點的坐標平面上的應(yīng)力分量（數(shù)，只是表示一點的坐標平面上的應(yīng)力分量（左圖左圖）。而）。而校核強度時需要知道過此點的任意斜面上的應(yīng)力校核強度時需要知道過此點的任意斜面上的應(yīng)力p。而斜。而斜面上的全應(yīng)力又可以按坐標軸分解為（面上的全應(yīng)力又可以按坐標軸分解為（px, ,py），也可沿），也可沿法向和切向分解為正應(yīng)力法向和切向分解為正應(yīng)力s sn和和切應(yīng)力和和切應(yīng)力t tn（右圖右圖）。）。2.3 2.3 平面問題中一點應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中一點應(yīng)

24、力狀態(tài)分析1：求經(jīng)過該點、平行于求經(jīng)過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面軸的任何斜面上的上的應(yīng)力應(yīng)力p？ 2：求經(jīng)過該點、平行于求經(jīng)過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面軸的任何斜面上的上的正應(yīng)力正應(yīng)力s sn和和切應(yīng)力切應(yīng)力t tn ？ 3：若經(jīng)過該點的某一斜面上的切應(yīng)力為若經(jīng)過該點的某一斜面上的切應(yīng)力為0，求此斜面上，求此斜面上的的主應(yīng)力主應(yīng)力s s和和應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向a a ？4：求經(jīng)過該點的求經(jīng)過該點的正應(yīng)力正應(yīng)力s sn和和切應(yīng)力切應(yīng)力t tn 的最大和最小值的最大和最小值？ 一點應(yīng)力狀態(tài)分析就是求解上述有關(guān)應(yīng)力分一點應(yīng)力狀態(tài)分析就是

25、求解上述有關(guān)應(yīng)力分量，具體為：已知任一點處坐標面上的應(yīng)力分量量，具體為：已知任一點處坐標面上的應(yīng)力分量s sx，s sy和和t txy，求解如下四個問題：求解如下四個問題：過一點任意斜面的全應(yīng)力過一點任意斜面的全應(yīng)力問題問題1 1：已知任一點處坐標面上的應(yīng)力分量：已知任一點處坐標面上的應(yīng)力分量s sx，s sy和和t txy，求經(jīng)過該點、平行于求經(jīng)過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面上的軸的任何斜面上的應(yīng)力應(yīng)力p？取如圖所示的微分三角板或三取如圖所示的微分三角板或三棱柱棱柱PAB，當平面當平面AB無限接近于無限接近于P點時，該平面上的應(yīng)力即為所求。點時，該平面上的應(yīng)力即

26、為所求。根據(jù)該微分單元的力系平衡條根據(jù)該微分單元的力系平衡條件，在件，在x和和y軸方向上合力為軸方向上合力為0，從，從而有：而有：mlpmlpFFyxyyxyxxyxstts00過一點任意斜面的正應(yīng)力與切應(yīng)力過一點任意斜面的正應(yīng)力與切應(yīng)力問題問題2 2：求經(jīng)過該點、平行于：求經(jīng)過該點、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任軸的任何斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力？何斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力？平面平面AB上的上的正應(yīng)力正應(yīng)力s sn即為上即為上面所求的全應(yīng)力面所求的全應(yīng)力p向法線方向向法線方向n的投影：的投影：平面平面AB上的上的切應(yīng)力切應(yīng)力t tn即為上即為上面所求的全應(yīng)力面所求的全應(yīng)力P向切線方

27、向的向切線方向的投影：投影：yxnmplp syxnlpmp t222nyxnppst或或過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向問題問題3 3：若經(jīng)過該點的某一斜面上的切應(yīng)力為：若經(jīng)過該點的某一斜面上的切應(yīng)力為0 0，求此斜，求此斜面上的主應(yīng)力面上的主應(yīng)力s s和應(yīng)力主方向和應(yīng)力主方向a a ？設(shè)如圖所示的斜面上切應(yīng)力設(shè)如圖所示的斜面上切應(yīng)力為為0 0，則，則該面上的全應(yīng)力等于正該面上的全應(yīng)力等于正應(yīng)力，也等于主應(yīng)力應(yīng)力，也等于主應(yīng)力，于是有，于是有mmpllpnynxssss又由于有又由于有mlpmlpyxyyxyxxstts過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向過一點任意斜面

28、的主應(yīng)力與主方向從而有關(guān)于方向余弦從而有關(guān)于方向余弦l, ,m的線性方程組：的線性方程組：0)(0)(mlmlyxyxyxssttss有有yxyxyxlmssttss0212IIss221xyyxyxIItssss展開得平面問題的主應(yīng)力特征方程：展開得平面問題的主應(yīng)力特征方程：由求根公式有：由求根公式有：2222112 , 1)2(224xyyxyxIIItsssss過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向下面求應(yīng)力主方向。下面求應(yīng)力主方向。xyxlmtssa1111tan將所求主應(yīng)力將所求主應(yīng)力s s2代入第二個方程：代入第二個方程：yxylmssta2222tan0)(

29、0)(mlmlyxyxyxssttss兩個應(yīng)力主方向是相互垂直的兩個應(yīng)力主方向是相互垂直的將所求主應(yīng)力將所求主應(yīng)力s s1代入第一個方程：代入第一個方程：過一點任意斜面的應(yīng)力極值過一點任意斜面的應(yīng)力極值問題問題4 4、已知任一點處兩個主應(yīng)力、已知任一點處兩個主應(yīng)力s s1和和s s2，及其應(yīng)力主，及其應(yīng)力主方向，可求得經(jīng)過該點正應(yīng)力、切應(yīng)力的最大和最小值。方向，可求得經(jīng)過該點正應(yīng)力、切應(yīng)力的最大和最小值。 為了分析簡便，選取為了分析簡便，選取x軸和軸和y軸分別與兩個應(yīng)力主方向軸分別與兩個應(yīng)力主方向一致，則該點的應(yīng)力分量為一致，則該點的應(yīng)力分量為 s sx= =s s1， s sy= =s s2 ， t txy= =0 先求正應(yīng)力的極值。先求正應(yīng)力的極值。 上式代入正應(yīng)力公式（上式代入正應(yīng)力公式（2 24 4），并利用兩個方向余弦），并利用兩個方向余弦平方和為平方和為1，得，得 s sn= =(s s1- -s s2)l2+ s