章導(dǎo)數(shù)與微分PPT課件

1、ttfttftsv)()(00 一、引例 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為s f(t) 以t0為起始時(shí)刻 物體在 t時(shí)間內(nèi)的平均速度為 此平均速度可以作為物體在t0時(shí)刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好 因此當(dāng) t0時(shí) 極限1.1.直線運(yùn)動(dòng)的速度ttfttftsvttt)()(limlimlim00000就是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度 第1頁(yè)/共79頁(yè) 求曲線y f(x)在點(diǎn)M(x0 y0)處的切線的斜率 在曲線上另取一點(diǎn)N(x0 x y0 y) 作割線MN 設(shè)其傾角為j j 觀察切線的形成 2.切線問(wèn)題 當(dāng) x0時(shí) 動(dòng)點(diǎn)N將沿曲線趨向于定點(diǎn)M 從而割線MN也將隨之變動(dòng)而趨向于切線MT 此時(shí)

2、割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率 xyxx00limtanlimtanjxxfxxfx)()(lim000第2頁(yè)/共79頁(yè)二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義存在 則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo) 并稱此極限值為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 記為f (x0) 即 設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果極限v導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義1.1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù) 如果上述極限不存在 則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo) xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 第3頁(yè)/共79頁(yè)導(dǎo)數(shù)的其它符號(hào)

3、導(dǎo)數(shù)的其它符號(hào)導(dǎo)數(shù)的其它定義式導(dǎo)數(shù)的其它定義式導(dǎo)數(shù)的定義式導(dǎo)數(shù)的定義式: :xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 0|xxy 0 xxdxdy或0 )(xxdxxdf hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 第4頁(yè)/共79頁(yè) 例例1 設(shè)f(x) 10 x2 試按定義 求f ( 1) 解解 導(dǎo)數(shù)的定義式導(dǎo)數(shù)的定義式: :xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxxfxffxx2200) 1(10)1(10lim)

4、1()1(lim) 1(20)2(lim102lim10020 xxxxxx201) 1(1010lim) 1() 1()(lim) 1(2211xxxfxffxx或 第5頁(yè)/共79頁(yè)導(dǎo)數(shù)的定義式導(dǎo)數(shù)的定義式: :導(dǎo)函數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)的定義 如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值 則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù) 簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù) 記作提問(wèn)提問(wèn): 導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫(xiě)? ? f (x0)與f (x)是什么關(guān)系? ?hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 y)(xf

5、 dxdy 或dxxdf)( 第6頁(yè)/共79頁(yè) 例例2 2 求函數(shù)f(x) C 的導(dǎo)數(shù)(C為常數(shù)) 解解 即 (C) 0 2.2.求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例 解解 hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00 解 f (x)hxfhxfh)()(lim00lim0hCChhxfhxfh)()(lim00lim0hCCh 例例3 3 例 2 求xxf1)(的導(dǎo)數(shù) 2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00第7頁(yè)/

6、共79頁(yè) 解解 例例4 4 2.2.求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例 解 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(例 3 求xxf)(的導(dǎo)數(shù) hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)( xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xx第8頁(yè)/共79頁(yè)2.2.求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例 例例5 5 求函數(shù)f(x) x n (n為正整數(shù))在x a處的導(dǎo)數(shù) 更一般地 有 (x ) x 1

7、(其中 為常數(shù)) 把以上結(jié)果中的a換成x得f (x) nxn 1 即(xn) nxn 1 解解 nan1 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解 f (a)axafxfax)()(limaxaxnnaxlimaxafxfax)()(limaxaxnnaxlim (xn1axn2 an1)axlim第9頁(yè)/共79頁(yè)2.2.求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例 例例6 6 求函數(shù)f(x) coscos x的導(dǎo)數(shù) 解解 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx

8、21)( 1)(xx xxxxxxcos)cos(lim)(cos0 xxxxx2sin)2sin(2lim0 xxxxxxsin22sin)2sin(lim0第10頁(yè)/共79頁(yè)同理可得(sin x) cos x (cos x) sin x 2.2.求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例 例例7 7 求函數(shù)f(x) ax(a0 a 1)的導(dǎo)數(shù) 解解 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解 f (x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0limhxfhxfh)()(lim0haaxhxh0lim haahhx1li

9、m0tah1令)1 (loglim0ttaatxhaahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatxhaahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatx aaeaxaxlnlog1 第11頁(yè)/共79頁(yè) (sin x)cos x (cos x)sin x (ax)axln a 特別地有(ex ) ex 2.2.求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例 例例8 8 求對(duì)數(shù)函數(shù)y log ax的導(dǎo)數(shù) 解解 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1 (lo

10、g1lim0 xhhahhxhxxfaahlog)(loglim)(0)1 (log1lim0 xhhah hxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1hxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1 第12頁(yè)/共79頁(yè) (sin x)cos x (cos x)sin x (ax)axln a 2.2.求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例 以上得到的是部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 特別地有(ex ) ex (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx axxaln1)(log xx1)(lnaxxa

11、ln1)(log xx1)(ln 特別地有第13頁(yè)/共79頁(yè)3.3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo) 且在a點(diǎn)有右導(dǎo)數(shù)、在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性 f(x)在0 x處的左導(dǎo)數(shù)處的左導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00 f(x)在0 x處的右導(dǎo)數(shù)處的右導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00 Axf)(0Axfxf)()(00 第14頁(yè)/共79頁(yè) 例例9 9 求函數(shù)f(x)| |sinsinx|

12、在x 0處的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 解解 因?yàn)閒 (0) f (0) 所以函數(shù)f(x) |sinsinx|在x 0處不可導(dǎo) 3.3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)Axf)(0Axfxf)()(00 f(x)在0 x處的左導(dǎo)數(shù) f(x)在0 x處的右導(dǎo)數(shù)處的左導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00 處的右導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00 1sinlim0|0sin|sin|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx1sinlim0|0sin|sin|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx第15頁(yè)/共79頁(yè)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

13、導(dǎo)數(shù) f (x0)在幾何上表示曲線 y f(x) 在點(diǎn) M(x0 f(x0)處的切線的斜率 即f (x0) tan 其中 是切線的傾角 切線方程為 y y0 f (x0)(x x0) 法線方程為 )()(1000 xxxfyy 第16頁(yè)/共79頁(yè) 解解 所求法線方程為 并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程 例例1010 求等邊雙曲線xy1 在點(diǎn)) 2 ,21(處的切線的斜率所求切線及法線的斜率分別為 41112kk所求切線方程為 )21( 42xy 即4x y 4 0 )21(412xy即2x 8y 15 0 4)1(2121xxk解 21xy 第17頁(yè)/共79頁(yè)四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系v

14、結(jié)論結(jié)論 如果函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo) 則它在點(diǎn)x0處連續(xù) 這是因?yàn)閼?yīng)注意的問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題: 這個(gè)結(jié)論的逆命題不成立 即函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù) 但在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo) 00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx 第18頁(yè)/共79頁(yè)連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)) 但在點(diǎn)x 0處不可導(dǎo) , 函數(shù)3)(xxf在區(qū)間( 內(nèi)連續(xù) 例例1111 例

15、例1212 函數(shù)y |x|在區(qū)間( )內(nèi)連續(xù) 但在點(diǎn)x 0處不可導(dǎo) 這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x 0處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30 第19頁(yè)/共79頁(yè)小結(jié)1. 1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): : 增量比的極限; ;3. 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: : 切線的斜率; ;4. 4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo); ;5. 5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: : 由定義求導(dǎo)數(shù). .6. 6. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù), ,一定不可導(dǎo). .連續(xù)直接用定義; ;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. .第20頁(yè)/共79

16、頁(yè)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 六、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題六、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 2.2 2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則 五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法 七、高階導(dǎo)數(shù)七、高階導(dǎo)數(shù)第21頁(yè)/共79頁(yè)解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其他基本初等其他基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題第22頁(yè)/共

17、79頁(yè)一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理定理1.的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo), 且下面分三部分加以證明下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題例題 .可導(dǎo)都在點(diǎn)及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv第23頁(yè)/共79頁(yè)此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證證: 設(shè)設(shè) 則vuvu )() 1 (故結(jié)論成立.例如, )()()(xvxuxfhxf

18、hxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(第24頁(yè)/共79頁(yè)(2)vuvuvu )(證證: 設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C為常數(shù) )第25頁(yè)

19、/共79頁(yè)例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第26頁(yè)/共79頁(yè))()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(x

20、u)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vvCvC( C為常數(shù) )第27頁(yè)/共79頁(yè) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求求證證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第28頁(yè)/共79頁(yè) )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在

21、x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時(shí)必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第29頁(yè)/共79頁(yè)1例例3. 求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos

22、利用利用0cosy, 則第30頁(yè)/共79頁(yè)在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點(diǎn) x 可導(dǎo),證證:)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo), 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時(shí) )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy第31頁(yè)/共79頁(yè)例如例如,)(, )(, )(xvvuufyjxydd)()()(xvufjyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由

23、外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形形.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般稱為鏈?zhǔn)椒▌t第32頁(yè)/共79頁(yè)例例4 設(shè)設(shè)y=lncos x，求，求 . y解 令，則，xuuycoslnxuuyxydddddd)sin(1xu. tan)sin(cos1xxx第33頁(yè)/共79頁(yè).etanyyx，求例例5 設(shè)設(shè)解解 令令則，. tan,exvvuyuxvvuuyxydddddddd.21sece2tanxxxxvu21sece2第34頁(yè)/共79頁(yè).) 12(sin3yxy，求例例6 設(shè)設(shè)解解xy)12(sin3xxx) 12() 12cos()

24、12(sin322) 12cos() 12(sin32xx. ) 12cos() 12(sin62xxxx)12(sin() 12(sin32第35頁(yè)/共79頁(yè)例例7. 設(shè)設(shè), )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的導(dǎo)數(shù)?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf這兩個(gè)記號(hào)含義不同)cos(elnx第36頁(yè)/共79頁(yè)例例8. ) 1(2xx計(jì)算解解xxxxxx21211) 1(222.11222xx第37頁(yè)/共79頁(yè)四、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則四、隱

25、函數(shù)的求導(dǎo)法則此時(shí)對(duì)應(yīng)規(guī)則是對(duì)此時(shí)對(duì)應(yīng)規(guī)則是對(duì)x在允許范圍內(nèi)的每一個(gè)值，在允許范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y將以方程的解與之對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)稱為將以方程的解與之對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù).13yyx隱函數(shù)一般可用隱函數(shù)一般可用F(x,y)=0表示表示.現(xiàn)在的問(wèn)題是通過(guò)現(xiàn)在的問(wèn)題是通過(guò)方程方程F(x,y)=0確定了確定了y是是x的函數(shù)的函數(shù),如何來(lái)求如何來(lái)求 y。y 對(duì)于隱函數(shù)求導(dǎo)，可以采用這樣的方法：首先在等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),遇到y(tǒng)時(shí)將其認(rèn)作中間變量，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到含y的方程，解出y即可.第38頁(yè)/共79頁(yè)例例9 設(shè)y=y(x)由 確定，求 .xyyx2ey解解 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，2eyx

26、yyyx解方程得.2eyxyyx第39頁(yè)/共79頁(yè)例例10 求隱函數(shù)求隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxye2.|0 xyy及, 2e yxy若注意到解解，yxyyyee.e1e yyxy 從而.3e)2(1e yyyyy也可得.e| 2e2020 xyy，yxy，x于是可解得由時(shí)第40頁(yè)/共79頁(yè)例例11 求橢圓曲線求橢圓曲線 處的切線方程處的切線方程和法線方程和法線方程.)2, 1 (14222上點(diǎn)yx解解，021yyx,2yxy切線斜率, 222|)2, 1 (1 yk法線斜率.22112kk所以切線方程為. 222 ),1(22xyxy即法線方程為. 2222 ),1(222xyxy即第41頁(yè)/

27、共79頁(yè)五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法五、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法在求導(dǎo)運(yùn)算中，常會(huì)遇到下列兩類函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)在求導(dǎo)運(yùn)算中，常會(huì)遇到下列兩類函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，一類是冪指函數(shù)，即形如題，一類是冪指函數(shù)，即形如 的函數(shù)，一類的函數(shù)，一類是一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方所構(gòu)成的函數(shù)是一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方所構(gòu)成的函數(shù).)()(xgxf 所謂所謂對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，就是在，就是在y=f(x)的兩邊分別取對(duì)的兩邊分別取對(duì)數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)的方法數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)的方法.第42頁(yè)/共79頁(yè)解解用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，則兩邊分別取對(duì)數(shù). )(sinyxyx，求設(shè) .sin ln )ln(sin ln xxxyx所以).c

28、otsin(ln)(sin )cotsin(lnxxxxxxxyyx兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得,cossin1sinln1xxxxyy例例12,cotsinln1xxxyy第43頁(yè)/共79頁(yè). ,) 1tan(32sin) 1(322yxxxxxxy求設(shè)解解)2ln(31sinln2) 1ln(2ln21ln xxxxy) 1cos(ln) 1sin(ln)3ln(21xxx2131cossin121121211xxxxxyy) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(3121xxxxx,) 1cos() 1sin(1 )3(21)2(31cot21221xxxxxxx例例13第44頁(yè)/共7

29、9頁(yè)所以.) 1cos() 1sin(1)3(21)2(31 cot21221) 1tan(32sin) 1( 322xxxxxxxxxxxxxy第45頁(yè)/共79頁(yè)六、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)六、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(a

30、rcx211x第46頁(yè)/共79頁(yè)2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyjxydd)()(xufj4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說(shuō)明說(shuō)明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)第47頁(yè)/共79頁(yè)七、高階導(dǎo)數(shù)七、高階導(dǎo)數(shù))(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：

31、變速直線運(yùn)動(dòng)1 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念第48頁(yè)/共79頁(yè)定義定義.若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo)可導(dǎo), ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy類似地類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為依次類推依次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱第49頁(yè)/共79頁(yè)設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221

32、nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例14.思考思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問(wèn)可得第50頁(yè)/共79頁(yè)nx)1 ( ,e3xaay 例例15. 設(shè)設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,exay .)(ny,exaay ,e2xaay xannaye)(xnxe)(e)(例例16. 設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! )

33、1(2)1 (1x,第51頁(yè)/共79頁(yè)例例16. 設(shè)設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n第52頁(yè)/共79頁(yè)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則xydd)()(xufjuyddxudd )( xf ddxy或yxdd1 )(1yf1反函數(shù)求導(dǎo)法則小結(jié)第53頁(yè)/共79頁(yè)二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算

34、法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用一、微分的概念一、微分的概念 2.4 2.4 函數(shù)的微分函數(shù)的微分第54頁(yè)/共79頁(yè)一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少問(wèn)此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為面積為 A , 則則,2xA 0 xx面積的增量為面積的增量為2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于關(guān)于x 的的線性主部線性主部高階無(wú)窮小高階無(wú)窮小0 x時(shí)為時(shí)為故故xxA02稱為函數(shù)在稱為函數(shù)在 的微分的微分0 x當(dāng)當(dāng)

35、 x 在在0 x取取得增量得增量x時(shí)時(shí),0 x變到變到,0 xx邊長(zhǎng)由邊長(zhǎng)由其其第55頁(yè)/共79頁(yè)的的微分微分,定義定義: 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 的增量可表示為的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于為不依賴于x 的常數(shù)的常數(shù))則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 而而 稱為稱為xA在)(xf0 x點(diǎn)記作記作yd,df或即即xAyd定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的可微的充要條件充要條件是是0 x處可導(dǎo)，在點(diǎn)0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即即xxfy)(d0在點(diǎn)在點(diǎn)0 x可微可微,第56頁(yè)/共79頁(yè)定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在

36、點(diǎn)在點(diǎn) 可微的可微的充要條件充要條件是是0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0說(shuō)明說(shuō)明:0)(0 xf時(shí)時(shí) ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以所以0 x時(shí)時(shí)yyd很小時(shí)很小時(shí), 有近似公式有近似公式xyyd與與是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)當(dāng)故當(dāng)故當(dāng)?shù)?7頁(yè)/共79頁(yè)微分的幾何意義微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)很小時(shí),xyyd時(shí)，當(dāng)xy 則有則有xxfyd)(d從而從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作導(dǎo)數(shù)也叫

37、作微商微商切線縱坐標(biāo)的增量切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作記作xdxyxd記記第58頁(yè)/共79頁(yè)例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctan xy ydxxd112又如又如,第59頁(yè)/共79頁(yè))()(tytxj若函數(shù)y=f(x)參數(shù)方程為ttxd)( djttyd)( d)( )( )( )( ttdttdttxyjjdd求導(dǎo)數(shù) ddyx法：法：則可以先分別計(jì)算對(duì)的微分，則可以先分別計(jì)算對(duì)的微分，即即 這樣計(jì)算導(dǎo)數(shù)，稱為參數(shù)方程求導(dǎo)法則 第60頁(yè)/共79頁(yè)將由參數(shù)方程將由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)看成復(fù)合函所確定的函數(shù)看成復(fù)合函

38、數(shù)：數(shù)： ，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有)()(tytxj)(),(1xttxjj.ddddddxttyxy注意到反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有注意到反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 ，所以，所以txxtdd1dd).0)( )()(dddddd1ddddttttxtytxtyxyjj法：法：第61頁(yè)/共79頁(yè)例例1 1解解txtyxydddddd4cot4tdybbdxaa coscot .sinbtbt-ata cossinxatybt4t橢圓參數(shù)方程為橢圓參數(shù)方程為 ，求橢圓在求橢圓在處的切線斜率處的切線斜率 第62頁(yè)/共79頁(yè)例例2 解解21xtyt 22,dy d ydx dx已

39、知已知，求，求 2(1)yx22dyxdx22()(22)2dydd ydxdxdxdxdx221dydytdttdxdxdt22(2 )()(2 )221dydtdd ydtdxdtdxdxdxdxdt法法1：由已知，得：由已知，得法法2： 第63頁(yè)/共79頁(yè)二、二、 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則設(shè)設(shè) u(x) , v(x) 均可微均可微 , 則則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù)為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微分別可微 ,)(, )(xuufyj )(xfyj的微分為的微分為xyyxddxxufd)()(juduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合

40、函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv第64頁(yè)/共79頁(yè)例例3., )e1(ln2xy求 .dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex第65頁(yè)/共79頁(yè)例例4. 設(shè)設(shè),0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例5. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說(shuō)明說(shuō)明: 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.)( 為任意常數(shù)C第66頁(yè)/共79頁(yè)三、三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用用)()(0 xoxxfy當(dāng)x很小時(shí),)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxf