直線分平面的區(qū)域數(shù)

1、-作者xxxx-日期xxxx直線分平面的區(qū)域數(shù)【精品文檔】直線分平面的區(qū)域數(shù)在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，我們研究異面直線、直線與平面所成的角、二面角時(shí)都要轉(zhuǎn)化成平面內(nèi)兩條相交直線所成的角，這種轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用非常廣泛又如：用一把普通的，菜刀切一個(gè)球形的西瓜，切一刀有2塊；切2刀最多能有4塊；視線從上往下看抽象成平面圖如下圖（1），（2）所示那么切3刀，切10刀呢？（1） （2）我們不妨試著先考慮類似的直線分平面的問題問題提出平面內(nèi)有n條直線，其中任兩條不平行，任三條不交于一點(diǎn)，問它們把平面分割成多少個(gè)不同的區(qū)域？問題分析對于一般情形一下子摸不著思路，我們可以從簡單、特殊的情況入手，勇敢探究、大膽猜想一般規(guī)律

2、（記n條直線分平面區(qū)域數(shù)為an）（3） （4）（5） （6）當(dāng)n1時(shí)，即平面上有一條直線顯然將平面分成兩個(gè)區(qū)域，即a12；如圖（3）當(dāng)n2時(shí)，即兩條相交直線將平面分成4個(gè)區(qū)域，即a4；如圖（4）當(dāng)n3時(shí)，即三條直線兩兩相交有三個(gè)交點(diǎn)這三條直線將平面分成7個(gè)區(qū)域，即a37；如圖（5）當(dāng)n4時(shí)，在n3的基礎(chǔ)上再加上一條直線，與原三條直線都相交有3個(gè)交點(diǎn)我們來研究一下加入第四條后，平面上區(qū)域變化的情況（這很重要）事實(shí)上，第四條直線被三個(gè)交點(diǎn)分成了四段如圖（6），且每一段將它所經(jīng)過的原來區(qū)域一分為二，所以增加了四個(gè)部分即a4a3411；從以上幾種特殊情況，我們得到：a1112；a21124；a3112

3、37；a41123411；一般的猜想an1123n（22）猜想的證明設(shè)n1條直線相交將平面分割為an部分，則當(dāng)添加上第n條直線時(shí)，第n條直線與原來的n1條直線相交有n1個(gè)交點(diǎn)將第n條直線分割成n段，而每一段將所經(jīng)過的區(qū)域一分為二，從而增加了n個(gè)區(qū)域，應(yīng)此n條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)為an annan =( an- an) +( an- an2)+ (a2-a)+ a=n+(n-1)+ +2+2=（n2n2） 問題的解由上述分析推導(dǎo)可知，平面上n條直線把平面分割成的區(qū)域數(shù)為（n2）結(jié)論的推廣如果我們對問題進(jìn)一步作研究，將題中任兩條不平行，任三條不交于一點(diǎn)的條件去掉即研究下列問題：平面上n條直線可以

4、將平面分成多少個(gè)區(qū)域？我們還可以從簡單情形入手來歸納出一般結(jié)論當(dāng)n2，3，4時(shí)由如下圖（7）（8）（9）（7.1） （7.2）（8.1） （8.2）（8.3） （8.4）（9.1）圖（7）圖（8）（9.2） （9.3） （9.4） （9.5） （9.6） （9.7）圖（9）發(fā)現(xiàn)直線分平面的區(qū)域數(shù)與直線的條數(shù)有關(guān)，與直線在平面內(nèi)的交點(diǎn)數(shù)有關(guān)，除有三條直線或三條直線以上共點(diǎn)外（即除了圖8.4；圖9.6；圖9.7）都滿足以下關(guān)系：直線分平面的區(qū)域數(shù)1直線的條數(shù)直線與直線的交點(diǎn)數(shù)。對于圖8（4）；9（6）我們只要將三線共點(diǎn)的這一點(diǎn)算作兩個(gè)交點(diǎn)，上述得出的結(jié)論也成立；對于圖9（7）四條直線交于一點(diǎn)，則將

5、此點(diǎn)算作3個(gè)點(diǎn)，上述得出的結(jié)論也成立由此分析，我們又可得出下列一個(gè)很有用的結(jié)論結(jié)論: 設(shè)平面上有a條直線，這條直線之間有b個(gè)交點(diǎn)（如果一點(diǎn)有k條直線共于此點(diǎn)，則這點(diǎn)算作為k1個(gè)交點(diǎn)），此a條直線將平面分割的區(qū)域數(shù)為S，則S1ab（）下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明公式（）（1）當(dāng)a1時(shí)，命題顯然成立（2）假設(shè)當(dāng)ak時(shí)，命題成立，即有k條直線，他們之間有b個(gè)交點(diǎn)，則這k條直線將平面分割成的區(qū)域數(shù)S1kb所以當(dāng)在添上一條直線，且此直線與原k條直線有c個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則c個(gè)交點(diǎn)將添上的一直線分成c1段，而每一段將它所經(jīng)過的區(qū)域一分為二，所于增加了c1個(gè)區(qū)域故當(dāng)a1時(shí)，S1kbc11（k1）（bc）所以ak1時(shí)，命題也成立由（1）（2）可知對任何條直線公式（）都成立應(yīng)用舉例例：過平面上兩點(diǎn)A、B分別有m，n條直線，問這mn條直線最多可將平面分成多少部分？解：由公式（）可知，要是過A點(diǎn)的m條直線與過B點(diǎn)的n條直線將平面分割成的區(qū)域數(shù)最多，即使過A點(diǎn)的m條直線與過B點(diǎn)的n條直線交點(diǎn)數(shù)最多而過A點(diǎn)中的任一直線與過B點(diǎn)中的直線最多有n個(gè)交點(diǎn)所以A點(diǎn)中直線與B點(diǎn)中直線最多有mn個(gè)交點(diǎn)另外A點(diǎn)有m條直線共點(diǎn)于此，所以應(yīng)算m1個(gè)點(diǎn)，同理可得B點(diǎn)應(yīng)算為n1個(gè)點(diǎn)所以這兩條直線最多有交點(diǎn)總數(shù)為mn（n1）（m1），所以這m條直線最多可將平面分成的區(qū)域數(shù)為：1（mn）mn（n）（m）mn2m2n1習(xí)題推薦空間n個(gè)平