自考重點線性代數(shù)

1、自考重點線性代數(shù)全國2011年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼：04184說明：本卷中，At表示方陣A的轉(zhuǎn)置鉅陣，A 表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩 陣，|A|表示方陣A的行列式.、單項選擇題(本大題共 10小題，每小題2 分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是 符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的 括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。10-11 設(shè) A= 3 5 0，則 |AAT|=()0 41 一A. -49B.-7C. 7D.492. 設(shè)A為3階方陣，且A =4，則-2A=()A. -32B.-8C. 8D.323. 設(shè)A，B為n階方陣，且At=-A，Bt

2、=B，則 下列命題正確的是(A. (A+B) t=A+BB. (AB) t=-ABC. A2是對稱矩陣D. B2+A是對稱陣4. 設(shè)A, B, X, Y都是n階方陣，則下面等式正確的是()2 2 2 2A .若 A2=0,貝V A=0 B. (AB) 2=A2B2C .若 AX=AY,貝V X=Y D.若 A+X=B,貝V X=B-A11315. 設(shè)矩陣 A= |0 0 ；1 ：，則秩(A)=()衛(wèi) 000一A. 1B. 2C. 3D. 4kx 十 z = 06. 若方程組2x ky z=0僅有零解，則k-()kx -2y z = 0A. -2B. -1C. 0D. 27. 實數(shù)向量空間 V=

3、 (Xi, X2, X3)|Xi +X3=0的維數(shù)是()A. 0B. 1C. 2D. 3f x 2x? _ X3 二，_ 18. 若方程組3x2f -2有無窮多解， X? 'X3 =( 3) '4) ' (* 2)則=()A. 1B. 2C. 3D. 41 0 09設(shè)A= !o i o，則下列矩陣中與 A相似的是0 0 2一( )110B.010002一101D.0 2 0001 一100A 0200 0 1 一100C.011002一10 設(shè)實二次型 f (X1,X2,X3)-x；，則 f ()A 正定B.不定C .負(fù)定D.半正定二、填空題(本大題共10小題，每小題2

4、分， 共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不 填均無分。11. 設(shè) A=(-1,1,2)T, B=(0,2,3)t,則|ABT|=.12.設(shè)三階矩陣人-上1,： 2,：3】，其中:i(i =1,2,3)為A的列向量，且|A|=2，則風(fēng) +口2,°2,°1 +口2-°3】二13 .設(shè) A秩(A)=3，貝V a,b,c應(yīng)滿足14 矩陣q = F的逆矩陣是.1<315 .三元方程Xl+X3=1的通解是 .16.已知A相似于a = ：。1 ，則|A-E|=0 0 11仃.矩陣A=|o 1 0的特征值是 .1 0 0一18. 與矩陣A = ； 1相似的對角

5、矩陣是 .10 0 419. 設(shè)A相似于“ 0 -1 01，則A4.0 0 1 _23413 44 11 22 322 .設(shè) A=ax+e=a* 1 2 *+x ,20 .二次型 f(X1,X2,X3)=X1X2-X1X3+X2X3 的矩陣是_1X.23 求向量組:11215131-210-13,。2 =2,J =7，Ct 4 =5-1-2-5-3I i-3一一4_-1一的秩，并給出該向量組的一個極大無關(guān)組，同時將 其余的向量表示成該極大無關(guān)組的線性組 合./ + 2x2 -2x3 = 024 當(dāng)，為何值時，齊次方程組2xX2 20有非零3% x2 - x3 = 0解？并求其全部非零解.25.

6、已知1,1,-1是三階實對稱矩陣A的三個特征 值，向量：i=(W)T、： 2=(2,2,1)t是 A的對應(yīng)于 1= 2=1的特征向量，求A的屬于3=-1的特征 向量26 .求正交變換 Y=PX ,化二次型f(Xl,X2,X3)=2XlX2+2XlX3-2X2X3 為標(biāo)準(zhǔn)形四、證明題(本大題6分)27 設(shè)： 2, ： 3線性無關(guān)，證明：1, ： 1 2： 2, ： 1 3： 3也線 性無關(guān).全國2011年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼：04184說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A 表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。a表示方陣A的行列式，r( A)表示矩陣A 的秩

7、。、單項選擇題(本大題共 10小題，每小題2 分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是 符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的 括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1. 設(shè)3階方陣A的行列式為2,則三a=()A. -1B. 4C. 1D.1x-2 x1 x-22. 設(shè)f(x) = 2x-2 2x-1 2x-2,則方程f(x)=0的根的個數(shù)3x -2 3x 2 3x 5為()A.0B.1C.2D.33. 設(shè)A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換 得到方陣B,若|A*|B ,則必有()A|a= oB. |a + bh oC. |AH 0D. |A-B|H 04. 設(shè)A,B是任意的n階方陣，下

8、列命題中正確的 是( )A. (A +B)2 = A2 +2AB + B2B. (A B)(A-B )= A2-B2ab5.設(shè)A二a3biC. (A_E)(A E )=( A E )(A_E )D. (AB )2 = A2 B2a-|b2a1b3a2b2a2b3 ,其中 a01b0,112131 則矩陣 A 的*3鳥&3匕3 j秩為()A.0B.1C.2D.36. 設(shè)6階方陣A的秩為4,則A的伴隨矩陣A* 的秩為()A.0B.2C.3D.47. 設(shè)向量a= (1, -2, 3)與滬(2, k, 6)正交, 則數(shù)k為()A.-10C.3B.- 4D.10* + X2 + X3 = 48已

9、知線性方程組 ax? X3 =3無解，則數(shù)a=()2x1 2ax2 = 4B.0C. 1D.19.設(shè)3階方陣A的特征多項式為ea=（丸+2）+3）2, 則 |A=（）A.-18B.- 6C.6D.1810.若3階實對稱矩陣a二佝）是正定矩陣，則A的3個特征值可能為（ ）A.-1， -2，-3C.-1, 2, 3二、填空題（本大題共B.-1, -2, 3D.1, 2, 310小題，每小題2分,共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11設(shè)行列式D =3 042 225 3-2,其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為12. 設(shè) A =心八 B = Y J，則 AB=.ia aib b

10、(10 3、13. 設(shè) A 是 4X3 矩陣且 r(A)=2, B= 0 2 0 ,則L103 丿r( AB )=.14. 向量組(1,2),(2,3)(3,4)的秩為15. 設(shè)線性無關(guān)的向量組 a, a,，a可由向量組31, ,，也線性表示，則r與s的關(guān)系為為 +hx2 +x3 =016.設(shè)方程組 為X2 X3=0有非零解，且數(shù)'：0,則X 屜"；x3 =0仃.設(shè)4元線性方程組ax = b的三個解a, a, a,已知：i =(1,2,3,4)T, - ：r =(3,5,7,9)T,r( A )=3.則方程組的通解是.18. 設(shè)3階方陣A的秩為2,且A2 5A= 0,則A的全

11、部特征值為.廣-211 '19. 設(shè)矩陣A= 0 a 0有一個特征值丸=2,對應(yīng)的特日13丿征向量為x= 2 ,則數(shù)a=.z20. 設(shè)實二次型f(X1,X2,X3)*AX,已知A的特征值為-1,1, 2,則該二次型的規(guī)范形為.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)列向量，且A= C,2 2,3 3), B=：，2, 3),其中：,：，2, 3 均為 3 維A = 18, B = 2.求 A-B .21.設(shè)矩陣廣11-r'0rr022X +1°=11-1°3><2b22.解矩陣方程23. 設(shè)向量組 ai= (1, 1, 1, 3) T,

12、 a= (-1, -3, 5, 1) T, a= (3, 2, -1, p+2) T, a= (3, 2, -1, p+2) T問p為何值時，該向量組線性相關(guān)？ 并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組.2x； x2 -X3 = 124. 設(shè)3元線性方程組 “乜x3 =2 ,4x1 5x2 -5x3 二-1(1) 確定當(dāng)入取何值時，方程組有惟一解、無 解、有無窮多解？(2) 當(dāng)方程組有無窮多解時，求出該方程組的 通解(要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表 示).25. 已知2階方陣A的特征值為入=1及© = 方陣(1)求B的特征值;(2)求B的行列式.26. 用配方法化二次型 f (Xi,

13、 X?, X3) = Xi 2x? 2X3 4XiX2 +12 X2 X3 為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27. 設(shè)A是3階反對稱矩陣，證明a = 0.全國2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼：04184試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩 陣；A*表示A的伴隨矩陣；r(A)表示矩陣 A的秩；| A |表示A的行列式；E表示單位 矩陣。、單項選擇題(本大題共 10小題，每小題2 分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符 合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號 內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè) 3 階方陣 A=( a 1,

14、 a 2, a 3)，其中 a (i=1,2,3) 為A的列向量，若| B |=| ( a計2 a 2，a 2，a 3) 1=6,則 | A |=()A.-12B.-6C.6D.122.計算行列式3 0202 10 5 00 0-20-2 3-23=(A.-180B.-120C.1203. 若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=(A丄2C.44. 設(shè) a 1, a 2,( )A. a 1, a 2, a 3, a 4線性無關(guān) B.a 1, a 2, a 3, a 4線性相關(guān)C. a 1可由a 2, a 3, a 4線性表示D. a 1不可由 a 2, a 3, a 4線性表示5.

15、 若A為6階方陣，齊次線性方程組 Ax=0的基 礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2,則r(A)=(A.2C.46. 設(shè)A、B為同階方陣，A.A與B相似C.A與B等價7. 設(shè)A為3階方陣，A+2E |=()D.180B.2D.8都是3維向量，則必有B.3D.5且 r(A)=r(B),則(B.| A |=| B |D.A與B合同其特征值分別為2,1,0則|A.0B.2A.A與B等價C.| A |=| B |9若向量a = (1,t=()A. -2C.2B.A與B合同D.A與B有相同特征值=A設(shè)11=B2 O-C.3D.248.若A、B相似，則下列說法錯誤的是（） -2,1 )與卩=(2, 3, t)正交，則

16、B. 0D.410.設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0,則（）A.A正定B.A半正定C.A負(fù)定D.A半負(fù)定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分， 共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不 填均無分。AB=.12. 設(shè)A為3階方陣，且| A |=3,則| 3A-1|=.13三元方程 Xl+X2+X3=1 的通解是14. 設(shè)a = (-1, 2, 2),則與a反方向的單位向量是.15. 設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W=x| Ax=0的維數(shù)是.16. 設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2,舟，1,則 | 5A-1 |=.仃若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且 r

17、(B)=3，貝H r(AB)=.*2-1 0 '18. 實對稱矩陣-1 0 1所對應(yīng)的二次型 f (X1, X2,3 _20.設(shè)a = 2 ，貝V A= a a T的非零特征值是3丿 1丿X3)=.n19. 設(shè)3元非齊次線性方程組 Ax=b有解a 1= 2，a 2= 2且 r(A)=2，貝V Ax=b的 通解是,3丿三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共0 10 00 02 00 254分)0 2 021.計算5階行列式D= 0 0 20 0 0Q 00 -1e °23.求非齊次線性方程組Xi +x2 -3x3 -x4 =13xi -x2 -3x3 +4x4 =4 的通解

18、.Xi "5X2 -9x3 -8X4 =022.設(shè)矩陣X滿足方程求X.24. 求向量組 a 1= (1,2, -1,4), a 2=(9,100,10,4), a 3= (-2, -4,2, -8)的秩和一個極大無關(guān)組.2-1 2、25. 已知A= 5 a 3的一個特征向量E = ( 1,1 , -1)日b 2丿T，求a, b及E所對應(yīng)的特征值，并寫出對應(yīng) 于這個特征值的全部特征向量.2 1 1 226.設(shè) A= 1 -2 1 a ,試確定 a 使 r(A)=2.11 -22 j四、證明題(本大題共1小題，6分)27若a 1, a 2, a 3是Ax=b(b 0)的線性無關(guān)解， 證明

19、a 2- a 1, a 3- a 1是對應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0的線性無關(guān)解.全國2009年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼：04184說明：在本卷中，At表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣， A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩 陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩 陣A的鐵。一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分, 共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是 符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的 括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。0 -1 11. 3階行列式乩=1 0 -1中元素32!的代數(shù)余了式-1 1 0A、=()A-2B. -1a11 a12a?1 +a1 a

20、?2 +a20 1 '2.設(shè)矩陣A=,B=,p 1 =01a 22 丿ana12J 0丿C1D2io,則必有()i1PiP2A=BB.P2PiA=BAPi P2=B3.設(shè)n階可逆矩陣B-1=()A. A-1C-1A、B、B.AP2Pi=BC滿足ABC=E，貝yC. ACCA4.設(shè)3階矩陣A=,則a2的秩為（B. 15 設(shè)：1，： 2，： 3，： 4 是個4維向量組，若已知：4可以表為：12,： 3的線性組合，且表示法惟一，則 向量組：1,： 2,： 3,： 4的秩為（）B. 2D. 4：1，：2,：3,：4線性相關(guān)，則向量組中6. 設(shè)向量組（ ）A 必有一個向量可以表為其余向量的線性組

21、 合B. 必有兩個向量可以表為其余向量的線性組 合C. 必有三個向量可以表為其余向量的線性組 合D .每一個向量都可以表為其余向量的線性組 合7. 設(shè):'12 3是齊次線性方程組 Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程 組基礎(chǔ)解系的是（A 1，：21 %B>1 *，>2 亠-：3, ： 3 gD >12 -<-3, >3 -<-1'2 08若2階矩陣A相似于矩陣B=單位矩陣，則與矩陣E-A相似的矩陣是（-10B.1-4-1 09 設(shè)實對稱矩陣A= 0 -4 2，貝U 3元二次型F 2匕f（Xi,X2,X3）=XTAx 的規(guī)范

22、形為（）B.2-Z32ZiD Zi2 z；10 若3階實對稱矩陣A= （ aj）是正定矩陣， 則A的正慣性指數(shù)為（）A 0B. 1C2D31、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共 20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、2ai23ai34a226a2363329a33=6 ,不填均無分aii11已知3階行列式23213a3iaiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a3312 設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1,2,3,對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3, 2, 1,則D3=.<1 2)13設(shè) A=，則V1 0丿2A2-2A+ E=.14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的(-2)

23、倍q 2加到第1列得到矩陣B.若B= ，則13 4丿A=. o 0 r15.設(shè) 3 階矩陣 A=0 2 2, 則I333A-1=.16.設(shè)向量組 % =（ a,1,1）嚴(yán)2 =（ 1,-2,1）, «3=（1,1,-2）線性相關(guān)，則數(shù)a=.仃.已知X1=(1,0,-1)T, X2=(3,4,5)t是3元非齊次線性 方程組Ax=b的兩個解向量，則對應(yīng)齊次線 性方程組Ax=0有一個非零解向量 y.18.設(shè)2階實對稱矩陣A的特征值為1, 2,它們 對應(yīng)的特征向量分別為=(1, 1)T,°2=(1, k)T，則數(shù) k=19. 已知3階矩陣A的特征值為0, -2, 3,且矩陣B與A相

24、似，則|B+E|=.20. 二次型 f(Xl,X2,X3)=(Xl-X2)2+(X2-X3)2 的 矩 陣A=.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共 54分)1 x 321.已知3階行列式|aj| = x 2 0中元素如的代數(shù)余子514式Al2=8，求元素321的代數(shù)余子式A21的值.(-1 1、22.已知矩陣A =L °-1 1'B= ,矩陣X滿足<° 2丿AX+B=X，求 X.23. 求 向量組 1 =(1,1,1,3)T，2 =(-1,-3,5,1)T，3=(3,2,-1,4)T，:4 =(-2,-6,10,2)T 的一個極大無 關(guān)組，并將向量組中

25、的其余向量用該極大無 關(guān)組線性表出.faxi +x2 +x3 =024. 設(shè)3兀齊次線性方程組X1 +ax2 +X3 =0，x<i +x2 +ax3 =0(1) 確定當(dāng)a為何值時，方程組有非零解；(2) 當(dāng)方程組有非零解時，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.2 025. 設(shè)矩陣B= 3 i 3 ,# 0 5丿（1）判定B是否可與對角矩陣相似，說明理 由；（2）若B可與對角矩陣相似，求對角矩陣和 可逆矩陣P，使P-1BP=26. 設(shè)3元二次型 f （Xi ,X2 ,X3）=xj +2x； +X2 2XiX2 2X2X3 , 求正交變換x=Py,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本題6分）27.已知A

26、是n階矩陣，且滿足方程A2+2A=0,證 明A的特征值只能是0或-2.全國2008年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼：04184試卷說明：在本卷中，At表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示A的伴隨矩陣；秩（A） 表示矩陣A的秩；|A|表示A的行列 式；E表示單位矩陣。、單項選擇題（本大題共 10小題，每小題2 分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合 題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。 錯選、多選或未選均無分。1. 設(shè)A為三階方陣且A=_2,則3AtA=（）A.-108B.-12C. 12D.10843xi -心一X3 二 02. 如果方程組4X2 -X3 =

27、0有非零解，則k=（）4x2 +kx3 =0A.-2B.-1C.1D.23. 設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是（ ）A.AB=BAB. a b ' = a 1 b 1C A B |BD A B T =AT BT4. 設(shè)A為四階矩陣，且A= 2,則（）A.2C.8B. 4D. 125.設(shè)冋由向量 ai = (1, 0, 0) a 2 = (0, 0, 1) 線性表示，則下列向量中:只能是A. (2, 1, 1)B. (-3, 0, 2)C. (1, 1, 0)D. (0,-1,0)6.向量組a 1 , a 2 ,，a s的秩不為S(S 2)的充分必要條件是()A. a 1 , a

28、 2 ,，as全是非零向量B a 1 , a 2,，a s全是零向量C a 1 , a 2,，a s中至少有一個向量可由其它向量線性表出D. a 1 , a 2,，as中至少有一個零向量7. 設(shè)A為mn矩陣，方程AX=0僅有零解的充分 必要條件是(A.A的行向量組線性無關(guān) B.A的行向量組線性 相關(guān)C. A的列向量組線性無關(guān) D.A的列向量組線性 相關(guān)8. 設(shè)A與B是兩個相似n階矩陣，則下列說法錯誤的是() A.a=b8秩(A)=秩(B)C.存在可逆陣 P，使 P-1AP=B D. E-A= E-B"1 0 019.與矩陣A= o i o相似的是(A0 2 00 0 1刁0 0刁0 0C 1 1 0P 0 20 0 2"1 1 0B. 0 1 0V 0 2 一-1 o 1 D.0 2 00 0 1IO設(shè)有次型 f (X1'X2X3)X0 N r 113. 設(shè) A= 0 1 01，貝V A-1=.0 2 2 一14. 設(shè)A為3