初三數(shù)學(xué)解直角三角形

1、.十、解直角三角形葛泉云 蘇州市文昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)【課標(biāo)要求】1掌握直角三角形的判定、性質(zhì)2能用面積法求直角三角形斜邊上的高3掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題4理解銳角三角函數(shù)定義（正弦、余弦、正切、余切），知道四個三角函數(shù)間的關(guān)系5能根據(jù)已知條件求銳角三角函數(shù)值6掌握并能靈活使用特殊角的三角函數(shù)值7能用三角函數(shù)、勾股定理解決直角三角形中的邊與角的問題8能用三角函數(shù)、勾股定理解決直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題【課時分布】解直角三角形部分在第一輪復(fù)習(xí)時大約需要5課時，其中包括單元測試，下表為課時安排（僅供參考）課時數(shù)內(nèi)容1直角三角形邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)、簡單的解直角三角形2解直角三角

2、形的應(yīng)用2解直角三角形單元測試及評析【知識回顧】建模出數(shù)學(xué)圖形，再添設(shè)輔助線求解解直角三角形解直角三角形直角三角形的邊角關(guān)系實(shí)際應(yīng)用已知一邊一銳角解直角三角形已知兩邊解直角三角形添輔助線解直角三角形直接構(gòu)建直角三角形已知斜邊一銳角解直角三角形已知一直角邊一銳角解直角三角形已知兩直角邊解直角三角形已知斜邊一直角邊解直角三角形1知識脈絡(luò)2基礎(chǔ)知識直角三角形的特征直角三角形兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半；ABCD勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在RtABC中，若C90°，則a2+b2=c

3、2；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a2+b2=c2，則C90°；ABCacb射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在RtABC中，C90°，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,則sinA=,cosA=,tanA=,cotA=特殊角的三角函數(shù)值：（并會觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）sincostancot30°45°1160°1解直角三角形（RtABC,C90°）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2兩銳角之間的關(guān)

4、系：AB90°邊角之間的關(guān)系：sinA=,cosA=tanA=,cotA=解直角三角形中常見類型：已知一邊一銳角已知兩邊解直角三角形的應(yīng)用2能力要求例1 在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，CDAB于點(diǎn)D，求BCD的四個三角函數(shù)值【分析】求BCD的四個三角函數(shù)值，關(guān)鍵要弄清其定義，由于BCD是在RtBCD中的一個內(nèi)角，根據(jù)定義，僅一邊BC是已知的，此時有兩條路可走，一是設(shè)法求出BD和CD，二是把BCD轉(zhuǎn)化成A，顯然走第二條路較方便，因?yàn)樵赗tABC中，三邊均可得出，利用三角函數(shù)定義即可求出答案【解】 在RtABC中， ACB90°BCDACD90

5、6;，DBCACDAB，ACDA90°，BCDA在RtABC中，由勾股定理得，AB10，sinBCD=sinA=,cosBCD=cosA=,tanBCD=tanA=,cotBCD=cotA=【說明】本題主要是要學(xué)生了解三角函數(shù)定義，把握其本質(zhì)，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的思想，即本題中角的轉(zhuǎn)換（或可利用射影定理，求出BD、DC，從而利用三角函數(shù)定義直接求出）30°ABEDFCG60°例2 如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，已知測角儀離AB為1.5

6、米，求拉線CE的長（結(jié)果保留根號）【分析】求CE的長，此時就要借助于另一個直角三角形，故過點(diǎn)A作AGCD，垂足為G，在RtACG中，可求出CG，從而求得CD，在RtCED中，即可求出CE的長【解】 過點(diǎn)A作AGCD，垂足為點(diǎn)G，在RtACG中，CAG30°，BD6，tan30°=，CG=6×=2CD=2+1.5,在RtCED中，sin60°=，EC=4+答：拉線CE的長為4+米【說明】在直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中，利用兩個直角三角形的公共邊或邊長之間的關(guān)系，往往是解決這類問題的關(guān)鍵老師在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)加以引導(dǎo)和總結(jié)例3 如圖，某縣為了加固長90米，高5米，壩頂

7、寬為4米的迎水坡和背水坡，它們是坡度均為10.5，橫斷面是梯形的防洪大壩，現(xiàn)要使大壩順勢加高1米，求坡角的度數(shù)；完成該大壩的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大壩需要的土方橫斷面面積×壩長；所以問題就轉(zhuǎn)化為求梯形ADNM的面積，在此問題中，主要抓住坡度不變，即MA與AB的坡度均為10.5ABCDMNEF【解】 i=tanB,即tanB=2，B=63.43°過點(diǎn)M、N分別作MEAD，NFAD，垂足分別為E、F由題意可知：MENF5，AEDF2.5，AD=4， MN=EF=1.5，S梯形ADNM(1.5+4)×12.75需要土方為2.75×90=247.5

8、 (m3) 【說明】本題的關(guān)鍵在于抓住前后坡比不變來解決問題，坡度坡角的正切值，雖然2007年中考時計(jì)算器不能帶進(jìn)考場，但學(xué)生應(yīng)會使用計(jì)算器，所以建議老師還是要復(fù)習(xí)一下計(jì)算器的使用方法例4 某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測得B在北偏東32°方向上，且量得B、C間距離為100米，根據(jù)上述測量結(jié)果，請你幫小明計(jì)算A、B之間的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°0.5299,cos32°0.8480,tan s32°0.6249,cot32°

9、1.600）【分析】本題涉及到方位角的問題，要解出AB的長，只要去解RtADCCAB北D和RtBDC即可【解】過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D由題知：=45°，=32°在RtBDC中，sin32°=，BD100sin32°52.99cos 32°=，CD=100 cos 32°84.80在RtADC中，ACD=45°，AD=DC=84.80AB=AD+BD138米答：AB間距離約為138米【說明】本題中涉及到方位角的問題，引導(dǎo)學(xué)生畫圖是本題的難點(diǎn)，找到兩個直角三角形的公共邊是解題的關(guān)鍵，教師在復(fù)習(xí)中應(yīng)及時進(jìn)行歸納、總結(jié)由兩個直角三

10、角形構(gòu)成的各種情形例5 在某海濱城市O附近海面有一股臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于該城市的東偏南70°方向200千米的海面P處，并以20千米/ 時的速度向西偏北25°的PQ的方向移動，臺風(fēng)侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/ 時速度不斷擴(kuò)張(1)當(dāng)臺風(fēng)中心移動4小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到 千米；又臺風(fēng)中心移動t小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到 千米(2)當(dāng)臺風(fēng)中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風(fēng)是否侵襲這座海濱城市？請說明理由(參考數(shù)據(jù)，)【分析】由題意易知先要計(jì)算出OH和PH的長，即可求得臺風(fēng)中心移動時間，而后求出臺風(fēng)侵襲

11、的圓形區(qū)域半徑，此圓半徑與OH比較即可【解】100； 作OHPQ于點(diǎn)H，可算得（千米），設(shè)經(jīng)過t小時時，臺風(fēng)中心從P移動到H，則，算得（小時），此時，受臺風(fēng)侵襲地區(qū)的圓的半徑為：（千米）141（千米）城市O不會受到侵襲【說明】本題是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形問題，對于此類問題常常要構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)知識來解決例6 如圖所示：如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60° ，沿山坡向上走到P處再測得點(diǎn)C的仰角為45° ，已知OA=100米，山坡坡度為 ，（即tanPAB= ）且O、A、B在同一條直線上。求電視塔OC的高度以及所在位置點(diǎn)P的鉛直高度

12、.（測傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留）CAB水平地面O山坡60°45°PEF【分析】很顯然，電視塔OC的高在RtOAC中即可求得.要求點(diǎn)P的鉛直高度，即求PE的長，由坡度i=1:2，可設(shè)PE=x,則AE2x.此時只要列出關(guān)于x的的方程即可.而此時要借助于45°所在的Rt來解決.故過點(diǎn)P作PFOC，垂足為F.在RtPCF中，由PFCF，得100+2x=100x,即可求得PE的長.【解】過點(diǎn)P作PFOC，垂足為F.在RtOAC中,由OAC60°，OA100，得OCOA tanOAC=100米.過點(diǎn)P作PEAB，垂足為E.由i=1:2,設(shè)PE=x,則AE2x.PFOE100+2x，CF100x.在RtPCF中,由CPF45°，PFCF,即100+2x=100x, x,即PE=答：電視塔OC高為100米.點(diǎn)P的鉛直高度為米.【說明】本題是解直角三角形的應(yīng)用中又一類型，即解直角三角形時，當(dāng)不能直接解出三角形的邊時，可設(shè)未知數(shù)，利用方程思想來解決，這是解決數(shù)學(xué)問題中常用的方法，溝通了方程與解直角三角形之間的聯(lián)系【復(fù)習(xí)建議】1、 立足教材，打好基礎(chǔ)，學(xué)生通過復(fù)習(xí)，應(yīng)熟練掌握解直角三角形的基本知識、基