用幾何畫板對圓錐曲線高考題的探索與研究

1、 用幾何畫板對圓錐曲線高考題的探索與研究1(2010年江蘇卷第l8題)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)的直線與此橢圓分別交于點(diǎn)其中。(i)設(shè)動點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡；(ii)設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；()設(shè)，求證直線必過軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與研無關(guān))要求：畫板探源，驗(yàn)證定點(diǎn)與定直線的相關(guān)性：（1）驗(yàn)證點(diǎn)的存在性：拖動點(diǎn)改變其位置，追蹤直線觀察是否過定點(diǎn)，并猜測定點(diǎn)的位置；（2）考察點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系：改變點(diǎn)的位置(為過點(diǎn)且與直線垂直的直線上一動點(diǎn))，觀察定點(diǎn)位置的變化，借助度量工具計(jì)算兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，并與橢圓中的值進(jìn)行比較。（3）判定（2）所得命題的逆命題的真假：任取線段上一點(diǎn)

2、（非端點(diǎn))，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，改變點(diǎn)在橢圓上的位置，觀察點(diǎn)與定直線的關(guān)系，并借助度量工具計(jì)算兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積有什么規(guī)律。（4）將（2），（3）中的結(jié)論推廣到圓和雙曲線中：探尋與（為圓的半徑）或與的關(guān)系。（5）通過以上探索，總結(jié)你的發(fā)現(xiàn)。解：(i)點(diǎn)p的軌跡是一條直線，這條直線隨著橢圓的變化而變化，如下圖示： (ii)思路：首先分別求出直線am,bn的方程，然后聯(lián)立這兩個(gè)方程，即可求出其交點(diǎn)t的坐標(biāo)，經(jīng)幾何畫板作圖我們知道t的坐標(biāo)與橢圓的橫軸和縱軸有關(guān)，下面兩圖即為橢圓變化時(shí)t點(diǎn)的坐標(biāo)： ()經(jīng)幾何畫板作圖我們會發(fā)現(xiàn)當(dāng)橢圓一定時(shí)，不管t在直線x=9上怎么變化時(shí)，mn恒過x軸上一

3、定點(diǎn)d，其中xd*xt=a22-（1）、通過幾何畫板作圖，我們發(fā)現(xiàn)拖動點(diǎn)p，mn恒過定點(diǎn)g，如下圖示：2-（2）、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積等于橢圓中的值，即xp*xt=a2,圖示如下 ：2-（3）、不管m怎樣變化，t恒在定直線上，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積等于橢圓中的值，即xp*xt=a2,圖示如下：2-（4）、將（2），（3）中的結(jié)論推廣到圓中時(shí)：我們發(fā)現(xiàn)=（為圓的半徑），如下圖所示：將（2），（3）中的結(jié)論推廣到雙曲線中：我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論同樣成立，也即：=，圖示如下：2-（5）、通過以上探索我們發(fā)現(xiàn)，（1）拖動點(diǎn)t , 點(diǎn)p 的坐標(biāo)不變, 發(fā)現(xiàn)點(diǎn) p 是個(gè)定點(diǎn), 與點(diǎn)t 的位置無關(guān)；（2）移動直線直線, 當(dāng)直線 的位置變化時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)也發(fā)生變化, 說明點(diǎn)p與直線 的位置有關(guān), 直線可以是與x軸垂直的任意直線；（3）固定直線 和點(diǎn) a , b, 拖動點(diǎn) f, 改變橢圓,點(diǎn) m, n 變化, 但直線 mn 與 x 軸的交點(diǎn) p 不變; 當(dāng)橢圓變成雙曲線時(shí), 結(jié)論依