第8章 最小二乘法與組合測量

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1 1第8章 最小二乘法與組合測量 作者：劉兆平部門：機(jī)電設(shè)備系 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-2 2教學(xué)目標(biāo)最小二乘法是一種在數(shù)據(jù)處理和誤差估計(jì)等多學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最小二乘法成為參數(shù)估計(jì)、數(shù)據(jù)處理、回歸分析和經(jīng)驗(yàn)公式擬合中必不可少的手段，并已形成統(tǒng)計(jì)推斷的一種準(zhǔn)則。通過本章的學(xué)習(xí)，用戶可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在組合測量問題的數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用 。 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-3 3教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)v最小二乘法原理v線性參數(shù)的最小二乘法v非線性參數(shù)的最小二乘法v組合測量 誤

2、差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-4 4第一節(jié)最小二乘法原理 最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量值中尋找最可信賴值的問題。 對(duì)某量進(jìn)行測量，得到一組數(shù)據(jù) ,不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布,其標(biāo)準(zhǔn)差為 x12,nx xx12,n 測得值落入的概率 ix,iix xdx221exp()22iiiivpdx 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-5 5測得值 同時(shí)出現(xiàn)的概率為 12,nx xx211exp()2( 2 )niiniiiiivPpdx最可信賴值滿足 22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw權(quán)因子 最小二乘法原理最小二

3、乘法原理 雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實(shí)際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷已形成一種準(zhǔn)則。誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-6 6第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-7 7組合測量基本概念如為精密測定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量 1x2x3x測得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy 待解的數(shù)學(xué)模型 待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測量組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測量的最佳估計(jì)值。 誤差理

4、論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-8 8一、正規(guī)方程組 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-9 9線性測量方程組線性測量方程組的一般形式為 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijjijya xv測量殘差方程組 含有隨機(jī)誤差A(yù)x = yy - Ax = v矩陣形式111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12nvvvv 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1010T() ()Miny - Axy - Ax最小二乘法原理式 求導(dǎo)TTA Ax = A y正規(guī)方程組 正規(guī)方程組解 1TxCA yTA A

5、CT() w()Miny - Axy - AxwwTTAAx = Ay1(TTwwxAA) Ay不等權(quán)正規(guī)方程組正規(guī)方程組 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1111三、標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)三、標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì) 1 1、直接測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)、直接測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì) 2iivsnt2iiiwvsnt（加權(quán)）未知量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)殘差2 2、待求量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)、待求量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì) xjjjd直接測量量的標(biāo)準(zhǔn)差1TA A對(duì)角元素誤差傳播系數(shù) 3 3、待求量與的相關(guān)系數(shù)、待求量與的相關(guān)系數(shù) ijijiijjdd d1TA A元素 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1212【例【例8-8-】為精密

6、測定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)、獨(dú)立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得1號(hào)電容值，2號(hào)電容值，1號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值，2號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 123,x x x10.3y 20.4y 30.5y 40.3y 123,x x x【解】【解】列出測量殘差方程組 y - Ax = v0.30.40.50.3y100010101011A1234vvvvv11223134230.30.40.5()0.3()xxxxxx 矩陣形式 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1313正規(guī)方程組 TTA Ax = A y1001010201010010102110100111

7、12011TCA A0.310100.80.401010.70.500110.20.3T A y1232010.80210.71120.2xxx 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1414正規(guī)方程組解 1TxCA y1 0.250 -0.500 0.250 -0.500-0.500 -0.500 0.7500.7501.000C0.750 0.250 -0.5000.80.325 0.250 0.750 -0.5000.7-0.425-0.500 -0.500 1.0000.2 0.1501230.325,0.425,0.150 xxx 即 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1

8、515標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算代入殘差方程組，計(jì)算 12340.025vvvv 222212340.0025vvvv0.002543s 1110.0433xs d 2220.0433xs d 3330.050 xs d 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1616第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測量殘差方程組 ( )iiiyvx12( ,)tx xxx非線性函數(shù)取的初始似值 x(0)x泰勒展開(0)(0)()iiijijyvxj=tj=1xx 1 122iiiittiyaaav ()iiiyy (0)x按線性參數(shù)最小二乘法解得 12( ,)t (1)(0)xx 迭代直至滿足精度為止 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第

9、八章最小二乘法8-8-1717【例【例8-28-2】在例8-1的基礎(chǔ)上，再增加一次測量串聯(lián)電容 ，測得。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 50.14y 123,x x x【解】【解】列出非線性測量方程組 1212/x xx x12132312120.30.40.50.30.14xxxxxxx xxx 11( )xx22( )xx312( )xxx423( )xxx12512( )x xxxx誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1818對(duì)前個(gè)線性測量方程組，按例8-1求出解，作為初次近似解 (0)0.325,0.425, 0.150 x在附近，取泰勒展開的一階近似 (0)111()0.30.

10、3250.025yy x(0)0.325,0.425, 0.150 x111a 120a130a(0)222()0.40.4250.025yy x210a221a230a(0)333()0.5(0.3250.150)0.025yy x311a320a331a(0)444()0.3( 0.4250.150)0.025yy x410a421a431a(0)5550.325 0.425()0.141.241250.3250.425yy x5118.0625a5210.5625a530a誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-1919寫出線性化殘差方程組 11223350.0251000.02501

11、00.0251010.0250111.2412518.0625 10.56250vvvvv整理得正規(guī)方程組 123328.254190.785122.4201190.785113.566113.1171120解出 10.0473 20.0363 30.0418 1011111230.2777,0.4613,0.1918xxxx 迭代 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-20206次迭代 結(jié)果表表8-2迭代次數(shù)00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.

12、2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.000315 0.000419 0.0003670.160-0.4950.2671231x2x3x誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-2121第四節(jié)組合測量問題應(yīng)用舉例 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-2222【例【例8-38-3】要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及

13、其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 123,x x x123,x x x11.015L 20.985L 31.020L 42.016L 51.981L 63.032L 0123xxx123LLLLLL123456 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-2323計(jì)算步驟【解】【解】列出測量殘差方程組 L- Ax = v1.01250.9851.0202.0161.9813.302L100010001110011111A123456vvvvvvv1112223334412552366123vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-2424解出11TTTxC A LA A

14、A L10.5000.25000.2500.5000.25000.2500.500C 1.0150.9851001016.0631.020010111 8.0142.016001011 6.0331.9813.032TA L0.5000.25006.0631.0280.2500.5000.250 8.014 0.98300.2500.500 6.033 1.013x 1231.028,0.983,1.013xxx即計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果 誤差理論與數(shù)據(jù)處理第八章最小二乘法8-8-2525代入殘差方程組可得 11122233344125523661231.015 1.0280.0130.9850.9830.0021.020 1.0130.0072.01