第01講 靜力學

1、第一講 靜力學平面共點力的平衡(,)xyF=0F0F0平面力矩（偶）的平衡AM0（A可任選）平衡的性質(zhì)：穩(wěn)定、不穩(wěn)定、隨與。判斷方法：力（矩）、能量。（6、7、8）三維力系（9、10）虛功（11、12）雜題（13、14）（1、2、3、4、5） 1如圖所示，n層支架由相同的等腰直角三角形板鉸接而成，其頂部受兩個力作用，其大小都為P，方向如圖，現(xiàn)不計架子本身的自重，試求底部固定鉸支座A，B處的約束反力。2 0 xF0PFFBxAx 0yF0PFFByAy 0AMlFlPnlPBy2由式可得12112nPFnPFByAy(2)將上面n-1個板隔離出來,用和(1)相同的方法,可求得PnFDy21解：

2、(1)研究整體0:EM0DyByBxFlFlFl 2,2PFPFAxBx由式可知最后ByBxBAyAxAFFFFFF(3)將板EDB隔離出來 2。五根質(zhì)量與長度均相同的勻質(zhì)細桿用質(zhì)量可略的光滑鉸鏈連接，今將一個頂點懸掛在天花板上(如圖)，試求平衡時五邊形當中，每邊與豎直方向的夾角1和2。(底邊與豎直方向垂直)。（兩種解法）:sincossinX3X2Y3Y2C1X31Y31NNNGNlM0 GN lN l2Ny3Nx3Nx2Ny2Nx1Ny1Ny2Nx2對AC桿：:sincosX1X2Y2Y1A2X22Y22NNNGNlM0 GN lN l sin2解：從力的角度來解。對OC桿對AB桿Y12N

3、G聯(lián)列以上各式可得：21tg2tg又sinsin,.12oo121 29.919 2可得解：以O(shè)點為勢能零點，建立系統(tǒng)的重力勢能表達式有：121122cos2coscoscoscos22pllEmgmglmg ll 由幾何約束，得：121sinsin2lll現(xiàn)在，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則勢能必然最低（穩(wěn)定平衡）。先用1表示2，利用*式，有：211sinsin2124cos2cospEmglmgl 21114cos21sin2mglmgl 故有：1112111sincos24sin2011sin2pdEmglmgld22221111114sin1sinsin1sin22432111112sin12s

4、in9sin4sin10 19.9219.2得：用計算器逼近解可得：故 3.直徑為d和D的兩個圓柱，置于同一水平的粗糙平面上，如圖所示，在大圓柱上繞以繩子，作用在繩端的水平拉力為F，設(shè)所有接觸處的摩擦系數(shù)均為，試求大圓柱能翻過小圓柱時，值必須滿足的條件。解：先考慮 A、B 兩處那里更容易滑動？當D柱快離地時，B處的正壓力為 g Mm，摩擦力 為F。此時對D取 0DM力為Mg（對D取F和fA的焦點為轉(zhuǎn)軸）。所以A點更易滑動。 可知A處摩擦力也為F。正壓對D用 0F 力必過E點，摩擦角為 （三力共點），可知A處d對D的全反1tanCBEC其中 222222DdDdBCDd1tandD即 dD 4.

5、如圖，已知勻質(zhì)桿長為l，擱置于半徑為R的圓柱上，各處的摩擦系數(shù)均為，求系統(tǒng)平衡時，桿與地面傾角應(yīng)滿足的條件。N3f3N2f2N1f1OON3f3N2f2N1f1OO解：設(shè)桿和圓柱體的重力分別為G1和G2。 對桿0Fxsincos223Nff1223sincosGfNN0Mo2cotcos221RNlG0Fy對柱0Fy0Fxsincos221Nff1222cossinNNGf0Mo21ff 0Mo122NGN以上七個方程中只有六個有效。由最后一式可知，N1N2，又因為f1=f2,所以一定是2處比1處容易移動。再來比較2處和O處。）如果是2處先移動，必有f2=N2,代入式，可得= tg（/2） ,

6、將此結(jié)果代入,式,即有cossin1212213RlGfcossin12112213RlGN在這種情況下,如要33Nf，必須有2211Rl桿要能擱在柱上，當然要tan2RRl因此在 時，2211RlRarctan2）如果是處先移動，必有33Nf代入前式，可有RlGN22tancos122tan22Nf 2tan2tan11cos2 lR滿足上式的即為平衡時的，這時要求 0 對應(yīng)穩(wěn)定平衡； M = 0 對應(yīng)隨遇平衡； M 0 對應(yīng)不穩(wěn)定平衡。 7.一種 “平衡吊” 如圖，它主要由桿ABD，DEF，BC，CE四桿鉸接而成，而A處軸可以固定在豎直槽的不同位置，從而調(diào)節(jié)F處吊鉤上重物的高度，桿ABD可

7、繞A在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，C點能在光滑水平槽內(nèi)滑動，不計所有摩擦，用l1表示AD的長度，l2 表示AB的長度，l3表示DF的長度，l4表示BC的長度。(1)若將各桿都視為輕桿，且無配重物時，試論證l1 l2 l3 l4應(yīng)滿足何種關(guān)系，才能使平衡吊的吊鉤(包括重物)位于同一水平面的不同位置時平衡吊都能平衡？(2)若考慮各桿自重，為使平衡吊的吊鉤位于同一水平面的不同位置時都可平衡，必須在桿ABD的P處加一重物，P距A為lp，設(shè)配重物重量為Gp，AD， DF，BC，CE重量分別為G1，G3，G4，G5，不計AP的重力，問當l1，l2，l3，l4和lp已知，且l1=l3，l2=l4時，Gp的值為多少？解：

8、（1）由于A點為固定轉(zhuǎn)軸，則系統(tǒng)對A點的力矩必為0，由參考圖可知1324sinsinsinsinG llN ll化簡得：1243sinsinGlNlNlGl12GlNl43NlGl由于題目要求，取不同值時*式均成立。故，即1243llll1 11coscos2ABDp pVG lG l 2551cos2CEVhlG （2）下面換用能量法考慮，取A為勢能零點，則系統(tǒng)勢能表示為：133311coscoscos2DEFVhlGllG2441sin2BCVhlG 1 15 513 34 431111coscos2222tp pVG lG lG lGlG lG lGl523 142G hG hG h故總

9、的勢能為224coscoslhl221 15 53 34 213441111cos2222tp pllVG lG lG lG lG lG llll2233 342523 14 1441122hlGlG lG hG hG hG hhl由則Vt化為：512lll1 42 3l ll l使Vt為定值，要求cos的系數(shù)為0。故由，得：1 15123 34 212ppGG lGllG lG ll 評析評析：本題與前題有所不同，先用受力法分析，再用勢能，但都抓住“不變”這一條件作文章，即將變數(shù)的系數(shù)記為0，這十分有用，應(yīng)牢記。 8.在盛有密度為1的液體的大容器中放入一只底面積為的小的圓柱形容器，在這個容器

10、的底部又插入一根長為的細管。兩只容器壁均靜止不動。在小的容器中注入密度為 的染了顏色的液體，使其高度至，以使與外面容器的液面相平，然后打開細管的下端，可以看到重液由細管內(nèi)流入大容器中，但經(jīng)過一段時間輕液開始進入小容器中，以后這個過程重復(fù)地進行著。如果假設(shè)液體不會混合以及表面張力可忽略不計，試求第一次從小容器里流出的重液的質(zhì)量 是多少？在以后的每次循環(huán)中，流進小容器的輕液的質(zhì)量 和從小容器里流出的重液的質(zhì)量 各是多少?)(1221mnmkm解：設(shè)小容器的液面下降x后A面平衡上壓強 PA1=P0+2g(H-x+l) 下壓強 PA1 =P0+1g(H+l) 由PA1= PA1 可得 x=(2-1)(

11、H+l)/2 m1=2xs=(2-1)(H+l)s 故第一次流出液體質(zhì)量這是一種不穩(wěn)定平衡，如果由于某種微擾使細管內(nèi)液體上升x（由于小容器截面比細管大得多，因此此微擾不會改變小容器內(nèi)液面的高度）這樣下壓強大于上壓強，將把兩種液體的分界面一直推到B處，然后輕液開始浮到重液上面，直至B處上、下壓強相等關(guān)心B處向下的擾動. 如此循環(huán)，直至小容器內(nèi)重液全部流出至大容器底部。下面計算每次流入小容器的輕液質(zhì)量mk和小容器中流出的重液質(zhì)量mn。每次輕液流入從PAk= PAk開始，設(shè)在小容器中流入xk高的輕液后，B處上下壓強相等，則PAk-2gl+1gxk=PAk-1gl 得xk=(2-1)l/P1, mk=

12、1xks=(2-1)ls 每次重液流出從每次重液流出從PBn= PBn開始，設(shè)小容器內(nèi)液面下降xn后，A處上下壓強相等開始，設(shè)小容器內(nèi)液面下降xn后，A處上下壓強相等，即 PBn+2gl-wgxn=PBn+1gl 可得 xn = (2-1) l /2, mn=2xns=(2-1) l s =mk 9。半徑為r、質(zhì)量為m的三個相同的剛性球放在光滑的水平桌面上，兩兩互相接觸用一個高為1.5r的圓柱形剛性圓筒(上下均無底)，將此三球套在筒內(nèi)，圓筒的半徑取適當值，使得各球間以及球與筒壁之間均保持接觸，但相互無作用力現(xiàn)取一個質(zhì)量亦為m、半徑為R的第四個球，放在三個球的上方正中設(shè)四個球的表面、圓筒的內(nèi)壁表

13、面均由相同物質(zhì)構(gòu)成，其相互之間的最大靜摩擦因數(shù)均為=0.775問：R取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個球一起提起來?解:設(shè)系統(tǒng)已被提離桌面而能保持平衡，受力分析如圖所示，平衡方程為：上球0Fymgcos3fsin3N22下球 0FxsinfcosNN221sinNmgcosff0F221y整體 4mg3f0F1y下球rfrf0M21A由兩式可得：3/4mgff21 因為2222NNff式代入式得：sin1mg31mgcot34N2、代入式得：sin1mg34mgcot31N1為了使物體之間不滑動，必須滿足下列二式：4sincos4cot41sin1fN1114sin4cos1cot4

14、sin1fN122因為4+cos1+4cos，所以只要式滿足，式必定滿足也就是說如果發(fā)生滑動，首先在上、下球之間發(fā)生因為=15/3（0.775），由式得：)4cos1 ( 3sin154maxmax等式兩邊平方并整理后得：128cos128cos2 2maxmax+24cos+24cosmaxmax-77=0-77=0可解得1611cosmax設(shè)R=br，借助于俯視圖可知)Rr/(r332cos)1/(332b111163321cos1332b133332但是b又不能太小，要使上球不從三球中掉下，必須使13/32b所以R取值范圍為2 332 3(1)(1)333rRr即0.1547rRO.67

15、96r 10質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)細桿AB一端A置于足夠粗糙地面，另一端B斜靠在墻上。自A至墻引垂線AO，已知OAB=，桿上端與墻面的摩擦系數(shù)為。求桿B端不至滑下時，桿與AO所在平面與鉛垂面的最大傾角 以 及 此 刻 墻 對 桿 B 端 的 支 承 力 N 。 分析與解分析與解: 設(shè)圖為臨界狀態(tài)時的系統(tǒng)位形，坐標OXYZ如圖中所示。OYZ為墻面，O為A在墻上的垂足，Z軸鉛直向上。桿上受力為三維空間受力。若B端在墻上滑動，將畫出一個以O(shè)為圓心，l sin為半徑的半圓，如圖中虛線所示。桿B端受摩擦力f與圓相切，且與y軸夾角，還受支承力N，指向x軸正向。桿上A端受力未知，圖中未畫出。 盡管一開始我們

16、并不知道如何寫平衡方程會使求解簡化。但可以試著寫出轉(zhuǎn)動方程，使與題無關(guān)的未知力不要出現(xiàn)在方程中。先寫出桿上受力對AO軸的力矩平衡方程，方程中不出現(xiàn)A端受到的未知力，B端受到的支承力N的力矩為零，只有B端受到的摩擦力f和重力mg對AO軸有力矩，平衡方程為：1sin2mgDOfl sinsinDOlsin2mgf又聯(lián)立解得： 由于未知，此式還不能得到角 。由于圖中所示為臨界狀態(tài)， 與N有關(guān)系： Nf1()tgtgtgctgcoscosN DOfl聯(lián)立方程、，得經(jīng)分析，再寫出對A點的鉛直軸AE的力矩平衡方程。同樣，桿上A端未知力不出現(xiàn)在方程中，重力mg不產(chǎn)生力矩，只有B端受到的支承力N和摩擦力在y方

17、向分力對軸AE有力矩，平衡方程為： 聯(lián)立方程、，得到支承力表達式：222212sin2tgmgctgmgmgN 11。如圖，由4根長桿AD、BC、CF、DE和4根短桿AO1、BO1、EO4、FO4構(gòu)成一個框架（各連接處都是鉸鏈），總質(zhì)量為M。下面再掛一個m，12之間用輕繩連接，使框架呈三個正方形，求繩上的張力。 解：假設(shè)O2O3繩縮短了x，那么m將升高3 x，整個框架的重心將升高1.5 x，這些勢能的獲得正是由于O2O3繩做了功。設(shè)上的張力是T( .)Txmg 3 xMg15 x 可解得：.T3mg15Mg)2/csc()2/sin(nnmPNm 12.如圖所示，一光滑的圓截面之半圓環(huán)管內(nèi)裝滿

18、2n個相同的滾珠，每珠重P，與管恰好密合，放在鉛直平面內(nèi)且兩端等高，如Nm是由頂端起第m個和第（m+1）個珠間的壓力，證明：（兩種解法）解：每個球?qū)A心的張角 2n因此第m個小球E(見圖)24mmnnNm與OE的夾角為 24n將E球的重力P、Nmax、Nm投影到垂直于OE的方向1112221cossin24cossin24.cossin24mmmmmmPNNnPNNnPNNn用力的方用力的方法來解題法來解題因而 12coscoscos44mkmmkPNNNPnn其中 22coscos24mmkkkknn2212cossin2sin/424411sinsin2sin/4221sinsin2sin

19、/422mkmkknnnnkknnnmnnn(湊積化和差)因而 sinsincos2sin/4224mPmNPnnnn即 sinsin22sincscsin/222mmPmnnNPPnnncoskkhs 2n解：設(shè)想從第1到第m個球都發(fā)生小位移S，則第k個小球上升的高度為hk，有：設(shè)每個小球所對的圓心角為，有：故有：12kk因而從第1到第m小球的總勢能增量為：11coscos131coscoscos21222mmpkkkkEsPPssPsm 用能量的方法OA 12sin12Ra12 sin2RmOA為求上述值，須借助矢量法，所求的和式為在x軸上的投影，由1sin21sin2mOA112m故又故111sincoscos21cos12222sin2mmOAcos ,mWNs 12sincos12sin2mmNsps 現(xiàn)考慮Nm做的功為由虛功原理，得：得：sin2sin2mmnNpn評析評析：本題可以用受力分析，建立遞推關(guān)系去解，此處向大家介紹虛功原理求力的方法，是為了讓大家注意，平衡問題與能量有著密不可分的關(guān)系，有時用受力分析不得要領(lǐng)的問題，從能量角度去想，便可迎刃而解。 13。.用20塊質(zhì)量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋。已知每一積木