棋盤(pán)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題二

1、 第五講 棋盤(pán)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題（二）一、知識(shí)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)二人對(duì)弈游戲中的基本思考方法：逆推法2掌握數(shù)學(xué)游戲中失敗點(diǎn)和勝利點(diǎn)之間的關(guān)系，并能準(zhǔn)用語(yǔ)言準(zhǔn)確描述“必勝策略”3. 棋盤(pán)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題 4. 用構(gòu)造法解決存在性問(wèn)題，掌握構(gòu)造的一般技巧和基本規(guī)律；學(xué)習(xí)染色問(wèn)題的基本思想，可以借助這一思想解決一些和棋盤(pán)表格相關(guān)的構(gòu)造論證類題目；掌握染色問(wèn)題的技巧：雙色染色，多色染色。以及間隔染色，行列染色，區(qū)域染色二、典型例題例1. 如圖是一個(gè)4階的幻方。一次操作是指對(duì)一行（或者一列）的四個(gè)方格中的每一個(gè)數(shù)加上或者減去相同的自然數(shù)，那么是否可以經(jīng)過(guò)有限步的操作使得圖1中的4階幻方變?yōu)閳D2中的形式。能則給出一種操作，

2、不能則說(shuō)明理由。否，黑白的差永遠(yuǎn)為01357101103105107201203205207301303305307000001011010010030000000 圖1圖2例2將2011個(gè)小格排成一行，左起第一個(gè)格中放一枚棋子，甲、乙兩人交替走這枚棋子（甲先走），每步可移動(dòng)1格、2格或3格，但只能向右移動(dòng)，1）如果規(guī)定先走到最后一格者為勝，那么_有必勝的策略，該如何走； 2）如果規(guī)定先走到最后一格者為負(fù)，那么_有必勝的策略，該如何走思考：將2010個(gè)小格排成一行，左起第一個(gè)格中放一枚棋子，甲、乙兩人交替走這枚棋子（甲先走），每步可移動(dòng)1格、2格或3格，但只能向右移動(dòng)，1）如果規(guī)定先走到最后一

3、格者為勝，那么_有必勝的策略，該如何走； 2）如果規(guī)定先走到最后一格者為負(fù)，那么_有必勝的策略，該如何走例3仔細(xì)閱讀，制定策略回答下列問(wèn)題：1）在一個(gè)3×3的方格棋盤(pán)的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，輪流走這枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，誰(shuí)走到右下角方格誰(shuí)獲勝，_（填“甲”或“乙”）能必勝，請(qǐng)?jiān)敿?xì)敘述他必勝的策略： 2）在一個(gè)5×5的方格棋盤(pán)的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，輪流走這枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，誰(shuí)走到右下角方格誰(shuí)獲勝，_（填“甲”或“乙”）能必勝，請(qǐng)?jiān)敿?xì)敘述他必勝的策略：3）如果是10×10的方格，那么 有必勝

4、策略，請(qǐng)?jiān)敿?xì)敘述他必勝的策略: 例4仔細(xì)閱讀，制定策略回答下列問(wèn)題： 1）、一個(gè)4×4的方形棋盤(pán)上每格都有一個(gè)按鈕與一盞不亮的燈，按一個(gè)按鈕就能使得與其同行和同列的燈狀態(tài)改變一次例如原來(lái)亮的變?yōu)椴涣粒辉瓉?lái)不亮的變亮是否存在一個(gè)按按鈕的方法，使得所有的燈全部變亮？能則給出一種方法，不能則說(shuō)明理由；2）、一個(gè)2010×2010的方形棋盤(pán)上每格都有一個(gè)按鈕與一盞不亮的燈，按一個(gè)按鈕就能使得與其同行和同列的燈狀態(tài)改變一次例如原來(lái)亮的變?yōu)椴涣?；原?lái)不亮的變亮是否存在一個(gè)按按鈕的方法，使得所有的燈全部變亮？能則給出一種方法，不能則說(shuō)明理由； 3）、如果是一個(gè)2010×2011

5、的方格，那么是否存在使得所有燈全部變亮的方法；如果有至少按多少次；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由； 例5某影院有31排,每排101個(gè)座位.某天放映了兩場(chǎng)電影,每個(gè)座位上都坐了一個(gè)觀眾.如果要求每個(gè)觀眾在看第二場(chǎng)電影時(shí)必須跟他(前、后、左、右)相鄰的某一觀眾交換座位,這樣能辦到嗎?為什么? .例6.能否用1個(gè)田字和15個(gè)t字紙片,拼成一個(gè)8´8的正方形棋盤(pán)? 例7. 仔細(xì)閱讀，制定策略回答下列問(wèn)題：1）中國(guó)象棋的馬走“日”字,車(chē)走橫線或豎線,下圖是半張中國(guó)象棋盤(pán),試回答下面的問(wèn)題: 一只馬從起點(diǎn)出發(fā),跳了n步又回到起點(diǎn).證明:n一定是偶數(shù).abab2）中國(guó)象棋的馬走“日”字,車(chē)走橫線或豎線,右上

6、圖是半張中國(guó)象棋盤(pán),試回答下面的問(wèn)題: 一只馬能否跳遍這半張棋盤(pán),每一點(diǎn)都不重復(fù),最后一步跳回起點(diǎn)?例8如圖，一個(gè)4×4方格表內(nèi)填有116這16個(gè)自然數(shù)，現(xiàn)在從填有1的方格出發(fā)，每一步可以走到相鄰的方格中（有一條公共邊的方格），并且每個(gè)方格至多經(jīng)過(guò)一次，最后走到填有2的方格，那么所走到的全部方格中，填的數(shù)之和最大可能是多少？例9. 甲、乙兩人輪流在國(guó)際象棋的棋盤(pán)上擺放棋子“象”，使得互相之間不會(huì)被吃（不考慮象的顏色）。誰(shuí)不能再放就算輸，那么采取什么樣的策略可以獲勝？（注：國(guó)際象棋中，象可以吃掉與它在同一條斜線上的其他棋子）例10.（思考題）在平面上有一個(gè)48的方格棋盤(pán)，棋子每步跳至2

7、´3矩形的另一角(如圖的八個(gè)方向之一)，那么能否從棋盤(pán)上某一點(diǎn)出發(fā)，讓棋子按一定的方法不重復(fù)不遺漏地走遍棋盤(pán)上所有空格？例11如圖，一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分為內(nèi)外兩部分，用五條半徑平均分割開(kāi)這個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，其中內(nèi)部的小圓盤(pán)固定不動(dòng)，外部的圓環(huán)可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)（要求轉(zhuǎn)動(dòng)后必須使得分割線重新組成半徑）。請(qǐng)把數(shù)字0到9填入這10個(gè)區(qū)域中，使得不管外環(huán)如何轉(zhuǎn)動(dòng)，總有大圓的一個(gè)扇形內(nèi)的兩部分所填數(shù)字之和為9。例12.在10×10的方格表中最少要放多少個(gè)2×2的小方格才能保證不能再往表格中放入2×2的小方格，使它不與已放的小方格相交？例13. 空間6個(gè)點(diǎn),任三點(diǎn)不共線,對(duì)以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的線

8、段隨意涂以紅色或藍(lán)色,請(qǐng)證明必存在一個(gè)同色三角形；例14. 紙上畫(huà)有的長(zhǎng)條表格，甲、乙兩人輪流給表格染色，每次可以選擇連續(xù)的兩格或者三格染色，直到有一個(gè)人無(wú)法進(jìn)行染色，則這個(gè)人為失敗者。先染色的人是否有必勝策略？三、練習(xí)題1、能否將1至12排成一圈，使得相鄰的兩個(gè)數(shù)之差為5或者7。能則給出一個(gè)例子，否則給出證明；2、請(qǐng)?jiān)谟覉D中的每個(gè)空格內(nèi)填入一個(gè)整數(shù)，使得對(duì)于第一行的每個(gè)數(shù)，它在第二行中出現(xiàn)的次數(shù)剛好等于該列第三行中所填的數(shù)，而它在第三行中出現(xiàn)的次數(shù)又恰好等于該列第二行中所填的數(shù)。*3、如圖所示，在6×6的警戒方格內(nèi)，每個(gè)哨所可以監(jiān)視橫、豎、斜方向的全部單位方格，現(xiàn)在已經(jīng)建了兩個(gè)哨所

9、。請(qǐng)你挑選一個(gè)方格，再建立一個(gè)哨所，使得所有的方格都被監(jiān)視到。4、(1) 將1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字排列在圓周上，使得任意相鄰兩數(shù)的差（大減?。┎恍∮?且不大于5(2) 如果改為1至10這10個(gè)自然數(shù)呢？(3) 如果改為1至11這11個(gè)自然數(shù)呢？5、兩人作移火柴棍的游戲，游戲的規(guī)則如下：兩人從一堆火柴棍中可輪流移走17根，直到移盡為止。挨到誰(shuí)移最后一根就算誰(shuí)輸。如果開(kāi)始時(shí)有101根火柴，則先移的人第一次應(yīng)該移動(dòng)（）根火柴棍，才能保證在游戲中獲勝。6、能否將1，2，3，9，10排成一行，使得任意相鄰三個(gè)數(shù)之和都不大于16?能否使得任意相鄰三個(gè)數(shù)之和都不大于15？7、有3堆石子

10、，每次可以從這三堆中同時(shí)拿走相同數(shù)目的石子(各次這個(gè)數(shù)目可以改變)，也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中。請(qǐng)問(wèn)： 1) 如果開(kāi)始時(shí)，3堆石子的數(shù)目分別是34、55、82，按上述操作，能否把3 堆石子都拿光? 2) 如果開(kāi)始時(shí)，3堆石子的數(shù)目分別是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? 如果可以，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案； 如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由。8、將49個(gè)人站成7×7的隊(duì)列，是否存在一種換位方案，使得這49個(gè)人全都站到與自己原來(lái)所在位子相鄰的位子上去。能則給出一種方案，否則給出證明。9、能不能用1×4的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)6×6的正方形棋盤(pán)？1

11、0、平面上有5個(gè)頂點(diǎn)，將這5個(gè)頂點(diǎn)兩兩間用線段連接，得到10條線段，并把這些線段用紅色和黃色任意的染色，請(qǐng)給出一種染色方法，使得不存在同色邊三角形。11、在平面上有一個(gè)1010的方格棋盤(pán)，在棋盤(pán)的正中間擺好36枚棋子，它們被擺成一個(gè)66的正方形。按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)一枚相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過(guò)的這格棋子取出來(lái)。那么是否存在一種走法，使棋盤(pán)上最后恰好剩下一枚棋子？四、練習(xí)題參考答案1、能否將1至12排成一圈，使得相鄰的兩個(gè)數(shù)之差為5或者7。能則給出一個(gè)例子，否則給出證明；解: 能。例如排成1，6，11，4，9，2，7，12，5，10

12、，3，8。2、請(qǐng)?jiān)谟覉D中的每個(gè)空格內(nèi)填入一個(gè)整數(shù)，使得對(duì)于第一行的每個(gè)數(shù)，它在第二行中出現(xiàn)的次數(shù)剛好等于該列第三行中所填的數(shù)，而它在第三行中出現(xiàn)的次數(shù)又恰好等于該列第二行中所填的數(shù)。解：設(shè)第二行依次填入.那么 .由此易求出答案為：第二行為3，1，1，1，0，0；第三行為2，3，0，1，0，0.*3、如圖所示，在6×6的警戒方格內(nèi)，每個(gè)哨所可以監(jiān)視橫、豎、斜方向的全部單位方格，現(xiàn)在已經(jīng)建了兩個(gè)哨所。請(qǐng)你挑選一個(gè)方格，再建立一個(gè)哨所，使得所有的方格都被監(jiān)視到。4、(1) 將1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字排列在圓周上，使得任意相鄰兩數(shù)的差（大減?。┎恍∮?且不大于5(2) 如

13、果改為1至10這10個(gè)自然數(shù)呢？(3) 如果改為1至11這11個(gè)自然數(shù)呢？解： 1) 能。例如1，5，9，4，8，3，7，2，62）不能3）不能5、兩人作移火柴棍的游戲，游戲的規(guī)則如下：兩人從一堆火柴棍中可輪流移走17根，直到移盡為止。挨到誰(shuí)移最后一根就算誰(shuí)輸。如果開(kāi)始時(shí)有101根火柴，則先移的人第一次應(yīng)該移動(dòng)（）根火柴棍，才能保證在游戲中獲勝。解：4根 兩人移動(dòng)的和6、能否將1，2，3，9，10排成一行，使得任意相鄰三個(gè)數(shù)之和都不大于16?能否使得任意相鄰三個(gè)數(shù)之和都不大于15？解：前一種能。例如10，1，5，8，2，6，7，3，4，9。 后一種不能，實(shí)際上，至少有一端的數(shù)小于或等于9，從而

14、除掉這一端，剩下的9個(gè)數(shù)之和至少是559=46，這9個(gè)數(shù)分成三段，每段3個(gè)數(shù)，必有一段3個(gè)數(shù)的和大于15。7、有3堆石子，每次可以從這三堆中同時(shí)拿走相同數(shù)目的石子(各次這個(gè)數(shù)目可以改變)，也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中。請(qǐng)問(wèn)： 1) 如果開(kāi)始時(shí)，3堆石子的數(shù)目分別是34、55、82，按上述操作，能否把3 堆石子都拿光? 2) 如果開(kāi)始時(shí)，3堆石子的數(shù)目分別是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? 如果可以，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案； 如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：1)能. 例如(34,55,82)-(0,21,48)-(24,21,24)-(4,1,4)-(2,3,4)

15、-(0,1,2)-(1,1,1)0-(0,0,0).2) 不能. 實(shí)際上，3堆石子總和被3除的余數(shù)保持不變.若開(kāi)始數(shù)目為80,60,50，那么無(wú)論怎樣操作，3堆石子總和被3除的余數(shù)為1，不可能全變?yōu)?.8、將49個(gè)人站成7×7的隊(duì)列，是否存在一種換位方案，使得這49個(gè)人全都站到與自己原來(lái)所在位子相鄰的位子上去。能則給出一種方案，否則給出證明。證明：交替染色。9、能不能用1×4的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)6×6的正方形棋盤(pán)？解: 如圖染色即可證明. 每個(gè)1×4的長(zhǎng)方形紙片將蓋住3個(gè)黑的1個(gè)白的，或者3個(gè)白的1個(gè)黑的. 設(shè)前一類有x個(gè)，后一類有y個(gè). 那么x+y=9

16、且3x+y=10. 無(wú)非負(fù)整數(shù)解.注：因?yàn)槠灞P(pán)太小，也可以不用染色法，而直接枚舉所有可能的拼法來(lái)證明原結(jié)論.從一角開(kāi)始討論將使得討論的情況大為減少。10、平面上有5個(gè)頂點(diǎn)，將這5個(gè)頂點(diǎn)兩兩間用線段連接，得到10條線段，并把這些線段用紅色和黃色任意的染色，請(qǐng)給出一種染色方法，使得不存在同色邊三角形。解：構(gòu)造一個(gè)答案如圖，實(shí)線和虛線代表兩種不同的顏色。要點(diǎn)：每個(gè)點(diǎn)連出的四條線段一定是兩紅兩黃。11、在平面上有一個(gè)1010的方格棋盤(pán)，在棋盤(pán)的正中間擺好36枚棋子，它們被擺成一個(gè)66的正方形。按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)一枚相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過(guò)的這格棋子取出來(lái)。那么是否存在一種走法，使棋盤(pán)上最后恰好剩下一枚棋子？解：按如