矩陣的分解畢業(yè)論文

1、學士學位論文矩陣的分解學院、專業(yè)數學科學學院 數學與應用數學研究方向代數學學生姓名林 意學號200920134781指導教師姓名周 末指導教師職稱教 授 2014年4 月 16日1矩陣的分解摘要眾所周知，矩陣是代數學中的一個重要概念，它的出現促進了代數學的快速發(fā)展矩陣分解作為矩陣理論中非常重要的一部分，是指將一個矩陣分解成一些特殊類型矩陣的乘積（或和）的形式矩陣分解的內容豐富，形式多樣，是解決某些線性代數問題的重要工具本文主要從矩陣的QR分解、滿秩分解、三角分解和奇異值分解等方面對矩陣的分解作了論述，首先給出了這幾種分解形式的定義以及相關性質，然后給出了它們各自的具體的分解方法，最后通過例題的

2、形式將各分解方法呈現出來.關鍵詞：矩陣；分解；QR分解；三角分解；滿秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebraWhile as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposin

3、g a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matricesThe decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problemsIn this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced

4、from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so onFirstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are givenAnd then，specific decomposition ways of theirs are illustratedFinally，these decomposition methods are cl

5、early presented by the forms of some examplesKeywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition目錄摘要IABSTRACTII目錄III一、引言1二、矩陣的QR分解1（一）矩陣QR分解的基本概念及定理1（二）矩陣QR分解的常用方法及應用舉例1三、矩陣的三角分解8（一）矩陣三角分解的基本概念及定理8（二）矩陣三角分解的常用方法及應用舉例9四、矩陣的滿秩分解15（一）矩陣滿秩分解的基本概念及定理15（二）矩陣滿秩分解的

6、常用方法及應用舉例15五、矩陣的奇異值分解17（一）矩陣奇異值分解的基本概念及定理17（二）矩陣奇異值分解的常用方法及應用舉例18六、結論20參考文獻20致謝212一、引言矩陣分解是代數學中的一個重要概念把一個矩陣分解成若干個矩陣的和或乘積的形式是解決某些線性代數問題的重要方法，如解矩陣方程和最小二乘問題等本文將從矩陣的QR分解，滿秩分解，三角分解以及奇異值分解等方面對矩陣分解進行探討對于本文中所涉及到的一些概念，我們做如下規(guī)定：用表示實數域；表示實數域上維向量空間；表示復數域上維向量空間； 表示實數域上矩陣空間；表示復數域上矩陣空間；表示單位矩陣；表示矩陣（或向量）的轉置；表示矩陣（或向量）

7、的共軛轉置；表示階對角矩陣二、矩陣的QR分解（一）矩陣QR分解的基本概念及定理定義 對于階復矩陣，若滿足，則稱是酉矩陣定義 如果方陣可以分解成一個酉（正交）矩陣與一個復（實）上三角矩陣的乘積，即，則稱上式為的一個分解定理 如果階方陣為非奇異實(復)矩陣，則存在正交(酉)矩陣和非奇異實(復)上三角矩陣，使得且除去相差一個對角元絕對值(模)全等于1的對角矩陣因子外，分解式是唯一的（二）矩陣QR分解的常用方法及應用舉例1、利用正交化方法進行分解方法：1寫出矩陣的列向量組； 2把列向量組按照方法進行正交化； 3得出矩陣的分解例2.1 用正交化方法求矩陣的分解解 令，將正交化得 記，則，再將單位化，得令

8、=，記，則，=，則有2、變換法求矩陣的分解在平面解析幾何中，使向量順時針旋轉角度后變?yōu)橄蛄康男D變換為 ，其中因為旋轉變換不改變向量的模，所以它是正交變換，從而是正交矩陣，且定義 一般的，在維歐式空間中取定一組標準正交基，在平面中旋轉，它的矩陣表示是，為旋轉角，其他元素為0令，則，這時，叫做矩陣（初等旋轉矩陣），它所確定的線性變換叫做變換（初等旋轉變換）變換可以將向量或矩陣中指定的元素化為零定理 設是階非奇異實矩陣，則存在由有限個初等旋轉矩陣的乘積構成的正交矩陣和一個上三角矩陣，使得例2.2 用變換求矩陣的分解解 （1）對的第一列，取，則（2）然后對的右下方子矩陣，取，則，則（3）再令，于是得

9、到3、變換求矩陣的分解一般的，在中，是非零的單位向量，將向量映射為關于與正交的維子空間對稱的向量的鏡像變換定義如下定義 設是非零的單位向量，階矩陣稱為矩陣(初等反射矩陣)，變換（）稱為變換（初等反射變換）定理 設是階非奇異矩陣，則存在由有限個初等反射矩陣的乘積構成的正交矩陣和一個上三角矩陣，使得例2.3 用方法求矩陣的分解解 （1）對的第一列，取單位向量，于是，從而（2）對的第1列，取單位向量，作，從而（3）令，從而可得，以及正交陣4、利用初等變換求矩陣的分解矩陣的初等變換共有三種，其中把數域上矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)上，這種初等變換稱為第三種行(列)初等變換（為任意實數）定理

10、設是一實矩陣，若是列滿秩矩陣，則對稱正定，因而有唯一的三角分解式，其中是單位下三角，是對角元全為正數的的對角矩陣定理 若是一個列滿秩矩陣，則總可經過一對第三種行和列的初等變換分解為的形式，其中是一個列正交矩陣，是非奇異上三角矩陣步驟：1求出對稱正定矩陣；2對同時進行相應的第三種初等行和列變換，得到對角矩陣且主對角線上元素全為正實數因為對矩陣施行行初等變換相當于用相應的初等矩陣左乘該矩陣，對矩陣施行列初等變換相當于用相應的初等矩陣右乘該矩陣，所以存在下三角矩陣和上三角矩陣 (顯然可逆)，使得，； 3設，其中為單位矩陣4令，則是一個列正交矩陣，是一個非奇異上三角矩陣，即得分解式例2.4 用初等變換

11、求矩陣的分解解 ，對只用第三種初等變換，則，因此可得 5、利用行(列)初等變換法步驟如下： (i)構造矩陣； (ii)對用第三種列初等變換，將化為下三角矩陣，同時化為列正交矩陣； (iii)對上述得到的矩陣，再用第二種列初等變換化的各列為單位向量，則化為(列) 正交矩陣，同時例2.5將矩陣分解為的形式解 因為，所以，用1乘以第一列加到第二列，則有，于是可得， 正交化法，即對矩陣的列向量組進行正交化來求矩陣的QR分解，思路簡單、清晰，適用于低階矩陣的QR分解實際上，我們一般不用正交化法作QR分解，而是借助變換和變換對矩陣進行QR分解方法需要作最多個矩陣的連乘，當較大時，計算量較大，因此常利用變換

12、進行QR分解只需作個矩陣，計算量大約是方法的一半而對于初等變換法和列初等變換，它們的思路都比較簡單，但計算易出錯，比較適用于低階矩陣的QR分解三、矩陣的三角分解（一）矩陣三角分解的基本概念及定理定義 設是階矩陣，如果的對角線下(上)方的元素全為零，即對， (對,)，則稱矩陣A為上(下)三角矩陣上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣對角元全為1的上(下)三角矩陣稱為單位上(下)三角矩陣定義 設是階矩陣，如果有下三角矩陣和上三角矩陣使得，則稱能作三角分解，并且稱為的三角分解或分解如果的三角分解中，為單位下三角矩陣，為上三角形矩陣，此時的三角分解稱為（杜利特）分解；若為下三角形矩陣，為單位上三角矩陣，

13、則稱此三角分解為（克勞特）分解矩陣的三角分解是不唯一的（分解和分解就是兩種不同的分解方式）因為如果的三角分解為，設是非奇異的任意對角矩陣，則也是的三角分解，其中是下三角形矩陣，是上三角形矩陣，由于的任意性，的三角分解有無窮多種關于矩陣的三角分解有如下結論：定理（分解定理） 設是階非奇異矩陣，則存在唯一的單位下三角矩陣和上三角矩陣使得的充分必要條件是的前個順序主子式均非零，即定理（分解定理） 設是階非奇異矩陣，則存在唯一的單位下三角矩陣，對角矩陣和單位上三角矩陣使得 的充分必要條件是的所有順序主子式均不為零，即 ，并且 ， ，推論 設是階矩陣，則可以唯一地進行分解和分解的充分必要條件是的順序主子

14、式注 矩陣的分解與分解都需要假設的前階順序主子式非零如果這個條件不滿足，可以給左(或右)乘以置換矩陣(以階單位矩陣的個列向量為列作成的階矩陣)，就把的行（或列）的次序重新排列使之滿足這個條件，從而有如下的行交換的矩陣分解定理定理 設是階非奇異矩陣，則存在置換矩陣，使得的個順序主子式均非零，且有，其中，為單位下三角矩陣，為上三角矩陣，為單位上三角矩陣，為對角矩陣（二）矩陣三角分解的常用方法及應用舉例1、消元法消元法的基本思想是利用矩陣的初等行變換化矩陣為上三角矩陣對于一般的階方陣，不妨令 可按如下步驟分解：（不妨設，以下類似）首先將乘以第一行加到第行上，可把變形為，這相當于用單位下三角矩陣左乘矩

15、陣而得到，再將 乘以的第二行加到第行上（），可把變形為 ，這相當于用單位下三角矩陣 左乘以而得到，如此一直進行下去直到第步，就被化為一個上三角矩陣，記為：，此時 上述對進行的一系列行初等變換，相當于用單位下三角矩陣 依次左乘，即：，由于均為單位下三角陣，所以它們的逆矩陣都存在，并且這些逆矩陣及其乘積也是單位下三角陣因此， 即最后令 ，則例3.1 求解方程組： 解 方程組為，其中：， ，首先對進行三角分解先對施行行初等變換化為上三角矩陣這相當于用如下的三個初等矩陣依次左乘，即 ，其中由于初等矩陣都是非奇異方陣，故其逆矩陣均存在，因此，而，令，則故，即 于是方程組變?yōu)榛蛄?，則有，其中于是有，即 ，

16、容易求得 又解，即 ，可求得， 故原方程組的解為2、分解法令第1步：的第1行乘以的第列：的第行乘以的第1列：可得第2步：的第2行乘的第列：最后可得 （3.1）例3.2 用分解法求矩陣的分解解 令，代入公式（3.1）得 ，3、分解當是對稱正定時，有如下分解：定理 若對稱正定，則存在唯一的對角元為正的下三角形矩陣，使分解為，這種分解稱為分解由，得當時，有 （3.2） 當時，有， （3.3） 注 當時，有，對，由式（3.2）和式（3.3）逐列求得的元素，即得的分解例3.3 用平方根法分解矩陣解 先驗證系數矩陣為對稱正定，對稱是顯然的，又，故對稱正定可用分解，由式（3.2）和（3.3）計算求得于是，注

17、 分解法要求用到開方運算，為避免開方運算，可將分解為(其中為單位下三角矩陣)，這種分解方法稱為改進平方根法四、矩陣的滿秩分解（一）矩陣滿秩分解的基本概念及定理定義 設是矩陣，>0如果存在的列滿秩矩陣和的行滿秩矩陣，使得，則稱此分解為矩陣的滿秩分解定理 任何矩陣都有滿秩分解實際上對任何一個矩陣只需用第三種初等變換就可將其化為階梯形，而第三種初等矩陣 的逆矩陣為，若干個第三種初等矩陣的乘積仍為初等矩陣（二）矩陣滿秩分解的常用方法及應用舉例1、利用初等變換法例4.1 求矩陣的滿秩分解解 ，其中各個變換所對應的初等矩陣依次為， ，則取的前兩列構成，則2、化為標準形求滿秩分解定義 設是矩陣，滿足：

18、(i)的前行中每一行中至少含有一個非零元素，且每行第一個非零元素是1，而后行元素均為0(ii)設中第行的第一個非零元素1位于第 ()列，有(iii)的第列構成階單位矩陣的前列則稱為的標準形實際上矩陣的標準形就是在階梯形基礎上進一步化為最簡形，再到標準形標準形方法求矩陣的滿秩分解，省去了求初等行變換矩陣的逆矩陣，方法更簡便，效率更高例4.2 求矩陣的滿秩分解解 經過行初等變換，我們有 故矩陣的秩為2令，則為矩陣的一個滿秩分解注 該例中矩陣的列向量極大線性無關組不唯一，導致其滿秩分解也不唯一取不同的列向量極大線性無關組，則可得到不同的滿秩分解例如取第1，3列為極大線性無關組，則，此時令，則為矩陣的

19、另一個滿秩分解再如取第1，4列為極大列無關組，則 ，此時令，則為矩陣的另一個滿秩分解 注 矩陣的秩永遠不會超過其行數和列數如果階方陣的秩遠小于其階數，則滿秩分解可以大大簡化求解方程特征值的計算設階方陣有滿秩分解，我們有 (4.1)如果階方陣的秩遠小于其階數，則通過上式右邊的行列式來求的特征值要比直接計算左邊的行列式要簡單得多例4.3 求階矩陣的特征值解 易知矩陣的秩為1，其滿秩分解為，由等式(4.1)得，所以矩陣的特征值為 五、矩陣的奇異值分解（一）矩陣奇異值分解的基本概念及定理奇異值分解是現代數值計算的最基本和最重要的工具之一矩陣的奇異值分解在優(yōu)化問題、特征值問題、最小二乘問題、廣義逆矩陣問

20、題及統(tǒng)計學等方面都有著重要的應用引理 設，則 引理 設，則（1）與的特征值均為非負實數；（2）與的非零特征值相同，并且非零特征值的個數（重特征值按重數計算）等于定義 設，如果存在非負實數和非零向量，使得，則稱為的奇異值，和分別稱為對應于奇異值的右奇異向量和左奇異向量設，且的特征值為 由引理5.2知，記，稱為的奇異值.定理 設 是矩陣，且，則存在階酉矩陣和階酉矩陣使得 ， 其中 ，且（二）矩陣奇異值分解的常用方法及應用舉例求解奇異值分解的步驟如下：1、確定，計算，求其特征值，可得的正奇異值則，且2、確定，求非零特征值對應的特征向量，將其用正交化法化為正交向量，即得再取和的列向量拼成的標準正交基，即得到3、確定，求，取，計算在中取，使得與的列向量成的標準正交基，從而為酉矩陣，則例5.1 求矩陣的奇異值分解解 因為 ，所以的非零奇異值為對應于特征值5和2的標準正交特征向量為，則而對應于特征值5和2的標準正交特征向量為對應于特征值0的標準正交特征向量為故 因此的奇異值分解為 六、結論本文首先介紹了矩陣分解的定義及相關定理，然后著重探討了幾種特殊類型的矩陣分解形式，如QR分解，三角分解