矩陣直積稻谷書苑

1、第五章第五章 矩陣的直積矩陣的直積1教學運用第一節(jié)第一節(jié) 直積的定義與性質(zhì)直積的定義與性質(zhì)1112122122212a=(a ),b=(b ),a ba ba ba ba babababababkroneckerab=(a b)ijm nijp qnmmmnmp nqijmp nq定義：設稱分塊矩陣 為 與 的直積(張量積或積).記為. 2a=,b=3abcd 例如：，則2222bb332a22ab=,ba=.bb223a333333ababababcdcdcdabcdcd2教學運用ab,baabba.的階數(shù)相同，但一般直積不滿足交換律由直積的定義容易推出以下定理：iiiii.nmmnm n

2、定理1：1)兩個上三角矩陣的直積是上三角陣; 2)兩個對角矩陣的直積是對角陣; 3)3教學運用直積具有以下運算規(guī)律：111t11111abafbff=cdcfdfb=b=a=b=ab=.ssn tsp ssttsnp ts命題1：1); 2)設 為列向量，且(,),則 (,); 3)設(,) ，(,)則 (,)注：由1）2）即可得3），下面只證1）和2）.4教學運用()()()()afbf()()()()cfdfijijijijijijijijabafbffcdcfdf證明：1)由定義得1=() ,tnaa2)設,則1naba1nabab111nssaa(,)(,)1112112snnnsaa

3、aaaa,111,snnaaaa5教學運用111,snnaaaa1.s(,)k)直積的基本性質(zhì)：1)k(ab)=(ka)b=a(kb), 為常數(shù)；2)分配律(a+b)cacbc,c(a+b)cacb;3)結合律(ab)ca(bc);4)吸收律(ab)(cd(ac) (bd),ac與bd有意義.kk)nmmnkk推論：1)(ab) =ab , =1,2,；2)(ai )(ib(ib (ai )ab.(乘法可交換)6教學運用1122121212121122)()()(kkkkkkkk性質(zhì)4可推廣到一般情形：1)(ab )(ab(ab ) (a aa ) (b bb );2)(aaabbb ) (a

4、 ba ba b );7教學運用8教學運用9教學運用范數(shù)有以下性質(zhì)：范數(shù)有以下性質(zhì)：1);2) -=;3)v,.xxxxxyxyxy命題：x時，是范數(shù)為一的向量（單位化），有3xx-y+yx-yyyy-x+xx-yx ,- x-yx - yx-yxyxy證明：只證 ）我們有 和所以 ，也就是10教學運用1211112221211x (,),x, xmax,x() ,xxx.ntnniii ninniicc 例 ：=定義則，及均是中的范數(shù)12xxx證明：不難驗證，均是范數(shù)，對于，正定性和齊次性顯然滿足.下證滿足三角不定式：1212122221x (,) ,(,).x() =( , ),xcauc

5、hyttnnnnhniiycx xx xc =注意到即是由酉空間中內(nèi)積誘導的范數(shù),設故由不定式得11教學運用2222222222222222222x+y(,)( , )( , )( , )( , )x2re( , )x2 ( , )x2 xxxy xyx xx yy xy yx yyx yyyyy222x+yx.y所以12教學運用11212px (,),x() ,x.nptnpnipinpcc 例 ：設1,=定義則是中的范數(shù) 稱為p-范數(shù).=p- p 1時，為1-范數(shù)；p 2時，為2-范數(shù)；令,得范數(shù).這三種范數(shù)為常見范數(shù).13教學運用12122vxxvkkxv, kxxkxxx. 定義 ：設

6、 是有限維線性空間，,是 中任意兩種范數(shù)，若存在正數(shù)及，使得都有：，稱與是等價的1.定理 ：有限維線性空間中的任何兩種范數(shù)等價14教學運用11 11t1v,vv( ,) ,=(,).nnnnnneexeeeex 證明：設 是 維線性空間，是 的一組基，則，有唯一表達式： x=其中為 的坐標向量111vx,(,)x ,vnnniiiye 可斷言 中任一范數(shù)都是關于的連續(xù)函數(shù)，令則，則有1111122221111221122111(,)- (,)()()() ()() ,().(,)=,=.nnniiiinnniiiiiiiiiniiininnieeekxyxxkye 其中 為常數(shù) 所以是的連續(xù)函

7、數(shù)15教學運用1212xxvkkxv, kxxkx. 現(xiàn)在證明定理的結論，設,是 中任意兩種范數(shù)，要證明存在正數(shù)及，使得都有：1112t111x0 xx,x,xs= =,| =1, sr (c ).x,xnnnnnnniinf，由于和都是的連續(xù)函數(shù)，故 f()=仍是的連續(xù)函數(shù)，考慮有界閉當x= 時，顯然成立集()為或中的.當x時,x，所單位球面因為f()=以 在上，無零點16教學運用000012100001xxe ,eefs,vx,=,=.e=snnyskk由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知， 在 上取到最大最小值，即存在xyy其中() ,y(，使得（x的坐標在 上）有x ) , , xx 1 111

8、1/21/222112121x()vee ,ee ,.= kxxkx.,s.nnnnnniiiixxxxxxkkxxxx將 單位化得則 而此時，故設 所以17教學運用13()vv, lim0,lim.mmmmmmxxxxxxxxx定義極限 ：設 ,是線性空間 中元素序列，若使得：，稱序列按-范數(shù)收斂于記為1-2-線性空間可定義多種范數(shù)收斂，如 范數(shù)收斂， 范數(shù)收斂，它們之間有什么關系呢？18教學運用00002v.mmmxxxxxxx定理 ：設 是有限維線性空間，則1）序列按某種范數(shù)收斂于 ，則按任何范數(shù)收斂于 ，即有限維線性空間按范數(shù)收斂是等價的2）按范數(shù)收斂于按坐標收斂于1212xxvkkx

9、v, kxxkx. 證明：1）設,是 中任意兩種范數(shù)，則存在正數(shù)及，使得都有：0001001lim0,klim0mmmmmmmxxxxxxxxxx若，則有 0所以，即按 -范數(shù)收斂于.反之亦然.19教學運用()()111(0)(0)011v,.,1,2,.mmnmnnnneeeemxee2）取 的一組基底 令 x1221221-x (,), x() .ntnniic 我們回憶2 范數(shù)的定義 =00212()(0)21()(0)lim0lim0lim()0lim, .mmmmnmiimimiimxxxxn 由1)知道，按范數(shù)收斂是等價的 ，i=1，所以,2有 注：有限維空間中的元列按任一種范數(shù)收

10、斂均等價于注：有限維空間中的元列按任一種范數(shù)收斂均等價于按坐標收斂按坐標收斂.20教學運用任一任一 mn 的矩陣均可看做的矩陣均可看做 mn 維向量，故可將向量維向量，故可將向量范數(shù)直接移植到矩陣上來范數(shù)直接移植到矩陣上來.二、矩陣范數(shù)二、矩陣范數(shù)ac,a1) a0a0a=02)ca =a ;3) a+bab ,aa.m n定義4：若均對應一個實數(shù) 記為，滿足：，且 ；，則稱是矩陣 的向量范數(shù)（廣義矩陣范數(shù)）21教學運用1,vv,11/,v13ac,a=,a=max,a=(1)a.pm nm nijiji jijpm npijijaaap，例 ：設 則 以及均是 的范數(shù)類似的前面的討論，我們有

11、如下定理：12120k03acacaakk kaakaac;3)a alim, .m nm nm nkijijkaai j定理 ：1）的任一種范數(shù)均是 的元素的連續(xù)函數(shù)；2）的任兩種范數(shù)均是等價的，即對，存在 正數(shù)及，使得， 矩陣序列按任一范數(shù)收斂于22教學運用矩陣可以視為拉直的向量，但是矩陣還有乘法運算，在考慮范數(shù)時，自然要兩者兼顧，為方便起見，我們只考慮方陣：ac,a1) a0a0a=02)ca =a ;3) a+bab4abab .aa.m n定義5：若均對應一個實數(shù) 記為，滿足：，且 ；，；）相容性， 則稱是矩陣 的矩陣范數(shù)（或乘積范數(shù)）23教學運用21/2,1/22v14ac,a=a

12、.m nn nhijija，例 ：設 則 tr(a a)是的矩陣范數(shù)a=(a ), b=(b ),ijn nijn n證明：只需驗證相容性，設 則2222221 122v1122221112222111122vvab=()()()()()abnnijijijinnjijijniinjnjijnniinjnjijca ba ba baabbholderaabb， 不等式 （提取公因式） ；222222vvvfabab.frobeniousf-a所以此范數(shù)稱為范數(shù),簡稱范數(shù)，常記為 ，它有很好的性質(zhì).24教學運用2f21/2ffff4accaxax;, ua= av= uav= a=(t (a a

13、).n nnhu vr定理 ：1）,x,則2）為酉矩陣，有 11inn1naa=(a ), a ,a=,x=,aaax,cauchyaijn nixx證明：記第 行為即設 則：由不等式有：222221 11112222a xa,nnniiinnikkikkkkktiaaaax i=1,2,n.25教學運用2222222222f222111aa xaa=axnnnttiiikkkxxx所以.222f2aaxx因此.22ff2ua=tr() ()()()a,hhhhuauatr a u uatr a a下證 ）：顯然有hhffffua= a.a= av 注意到，為酉陣所以，我們有hhhhfffff

14、fffav=avv aaa,av= uav= a.26教學運用我們知道任何兩種矩陣范數(shù)是等價的，任何兩種向量我們知道任何兩種矩陣范數(shù)是等價的，任何兩種向量范數(shù)也等價，故我們要問：給定矩陣范數(shù)，是否有與范數(shù)也等價，故我們要問：給定矩陣范數(shù)，是否有與之相容的向量范數(shù)？反之，給定向量范數(shù)，又如何確之相容的向量范數(shù)？反之，給定向量范數(shù)，又如何確定一個與之相容的矩陣范數(shù)？回答是肯定的定一個與之相容的矩陣范數(shù)？回答是肯定的.三、向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性三、向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性vvvvac,xc ,xaaxaxxa.n nnmmm定義6：若向量范數(shù)與矩陣范數(shù)滿足不等式： 則稱向量范數(shù)與矩陣范數(shù)相容向

15、量范數(shù)與矩陣范數(shù)在運算中會同時出現(xiàn)，故建立它向量范數(shù)與矩陣范數(shù)在運算中會同時出現(xiàn)，故建立它們之間的關系們之間的關系. 因此我們引入定義：因此我們引入定義：27教學運用5acc.n nn定理 ：設是上的一個矩陣范數(shù),則必存在上與之相容的向量范數(shù)cxc ,nntvx 證明：取定,則定義 x=,則不難驗證，它是一種向量范數(shù)，且與給定的矩陣范數(shù)相容.28教學運用給定向量范數(shù)，如何確定一個與之相容的矩陣范數(shù)？給定向量范數(shù)，如何確定一個與之相容的矩陣范數(shù)？我們有如下定理我們有如下定理.x16xcaca =max ax,axx.vnn nvvvv定理 ：設是上的一個向量范數(shù),則,定義則是一個與相容的矩陣范數(shù)

16、，稱此矩陣范數(shù)為從屬于向量范數(shù)的算子范數(shù)000 x1axmax axa,(1).vvvvx是 各分量的連續(xù)函數(shù)，故在有界閉集上可取到最大值，因此上述定義是有意義的.即存在x 使得xx注：因為29教學運用1101001x11a0,a0,11,a=a0,a =max ax0;vvvvvvvxx證明：1)正定性：若0，則存在x使得令xx則 x故xx所以xx1x1ca =maxax=max ax=a ;vvvv 2)齊次性：，有00000 x1x1a,bcca+b = (a+b)abmax ax+max bx= ab ;vvn nnvvvvvv3)三角不等式：， x,( x=1)使xxx30教學運用0

17、0000000cbab = (ab)a(b)a()babb= ab ;nvvvvvvv4)相容性： y,( y=1)使yyyyyya.所以矩陣范數(shù)0 x1(0)c ,axa()(max ax)a.vnvvvvvvxxxxx最后， x我們有31教學運用1212,a, aa.xxx我們常見的向量范數(shù)有及，則從屬于它們的算子范數(shù)記為及我們有：12111112117aca=(a )c,1) amax()2a=a aamax().n nnijn nnijj nihniji njxxxaa 定理 ：設，,x,則從屬于向量范數(shù)及的算子范數(shù)為：列范數(shù) ；）， 為的最大特征值(譜范數(shù))；3)行范數(shù)32教學運用1

18、f222f2faa.24axaxaaa.3.m,m,m,nxcaxxaxa 注：1 及計算方便由定理 知，與是相容的，而作為從屬于的算子范數(shù)自然是相容的，但與不同.事實上若存在常數(shù)，使得有則即從屬于范數(shù)的算子范數(shù)是使上述不等式成立的最小常數(shù).今后我們遇到矩陣和向量同時出現(xiàn)時，總是假設其范數(shù)相容33教學運用四、范數(shù)的一些應用四、范數(shù)的一些應用18acaa1,i-a ().1an niia定理 ：設，是矩陣范數(shù)，若則 非奇異，且0000i-a()00,a=i=ia xxxxx證明：若奇異，則存在非零解故有，從而0000 xaxax,( x0)a1,i-a矛盾，所以非奇異.34教學運用11b=(i-a)b(i-a)i,