直線的傾斜角和斜率3

1、典型例題一例1 求經(jīng)過兩點(diǎn) A(2, 1), B(m, 2)(m R)的直線丨的斜率，并求出其傾斜角及其取值 范圍.分析：斜率公式成立的條件是 x, - x2，所以應(yīng)先就 m的值是否等于2進(jìn)行討論.解：；當(dāng) m=2 時，x, =X2 =2直線丨垂直于x軸，故其斜率不存在，此時，傾斜角：=.2k=1m -2此時:-=arcta n 1(0,-).m - 22此時、；=1Jt=: +arctan三(,:)m 22當(dāng) m>2 時，k >0當(dāng) mv 2 時，k v 0說明：通過討論確定直線的斜率存在與不存在是解決直線斜率問題常用的方法.典型例題二例2 已知兩點(diǎn)A(-3 , 4), B(3,

2、 2)，過點(diǎn)P(2, - 1)的直線I與線段AB有公共點(diǎn).(1) 求直線I的斜率的取值范圍.(2)求直線I的傾斜角的取值范圍.分析：如圖1，為使直線I與線段AB有公共點(diǎn)，則直線I的傾斜角應(yīng)介于直線 PB的傾 斜角與直線PA的傾斜角之間，所以，當(dāng)I的傾斜角小于90°時，有k - kPB ;當(dāng)I的傾斜角大于90°時，則有k < kPA .解：如圖1,有分析知3 _ 1,3 2kpA2 -(-1)3 -2(1) k - T 或 k - 3 .X(2)arcta n3 ：一說明：學(xué)生常錯誤地寫成一1空k乞3，原因是與傾斜角分不清或誤以為正切函數(shù)在b,二上單調(diào)遞增.典型例題三例

3、3判斷下列命題是否正確： 一條直線I 一定是某個一次函數(shù)的圖像; 一次函數(shù)y =kx b的圖像一定是一條不過原點(diǎn)的直線； 如果一條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是某一個方程的解，那么這個方程叫做這條直線的方程； 如果以一個二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某一條直線上，那么這條直線叫做這個方程的直線.解：不正確.直線 x_2=0，不是一次函數(shù)； 不正確.當(dāng)b =0時，直線過原點(diǎn).y=2x 不正確.第一、三象限角的平分線上所有的點(diǎn)都是方程x y x-y =0的解，但此方程不是第一、三象限角平分線的方程 不正確.以方程y二x ( x _0)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第一象限的角平分線上，但此直線不是方程y =x ( x

4、 _0 )的圖像.說明：直線方程概念中的兩個條件缺一不可，它們和在一起構(gòu)成充要條件.典型例題四設(shè)直線的斜率為k，且_ . 3，指出直線傾斜角:的范圍.傾斜角與斜率有關(guān)，根據(jù)公式k =tan和正切函數(shù)的單調(diào)性，由斜率的范圍可3分析：以得到傾斜角的范圍，可以畫圖，禾U用數(shù)形結(jié)合來幫助解決問題.解：；k =tga，由已知得 -33丁 ot w b,兀、，：0,直線的傾斜角的范圍是2 二兀<3說明：注意正切函數(shù)在 0,二范圍的單調(diào)性，最好結(jié)合圖形，不容易出錯.典型例題五例5已知兩點(diǎn)A(- 1 , - 5), B(3, - 2)，直線I的傾斜角是直線 AB傾斜角的一半, 求直線I的斜率.解1:設(shè)直

5、線I的傾斜角為，則直線AB的傾斜角為2：2 -( -5)3tan2 二=kAB= _ ,3(1)42 ta n 口 _ 3 2 1 -tan :4化簡得3tan2用+8tan用3= 0,1解得 tan.二= 或 tan _：i = 3.33門tan2 : => 0,40° <2 : <90° ,0° < : <45° ,1 tan> 0,故直線的斜率是3解2:（思路要點(diǎn)）根據(jù)tan2、丄=kAB2 （5）=，且2.工為銳角,3-（-1）434易得sin2 工= 和cos2 t =551 -cos2:1進(jìn)一步有：tan、

6、f =.sin 2口 3說明：這里應(yīng)考慮角的取值范圍及函數(shù)值的取舍，解2計(jì)算更容易.典型例題六證明:已知a、b、m都是正數(shù)，且a ： b，試用解析法證明：乞>-b如圖2，在坐標(biāo)平面上取點(diǎn) A（m， m），B（a，b），a m b m則AB的中點(diǎn)為C（，）.2 2OA、OB、OC的斜率滿足顯然所以O(shè)B， kOCba m a> .b m bb m有助于學(xué)生對說明：本題與前邊不等式的證明聯(lián)系緊密，此處提供了一種新穎的證明，解析法的理解.同時本題為構(gòu)造性證明,不易想到.事實(shí)上，把分式看成斜率是常用的方法.典型例題七例7設(shè)直線I過原點(diǎn)，其傾斜角為:-，將直線I繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45&

7、#176;，得A .：45B.： -135C. 135 - :D .當(dāng) 0 乞：135 時為:45，當(dāng) 135 乞:<180 時為:-135分析：傾斜角的范圍是 0 ,180 ，因此，只有當(dāng) K:卜45：三0 ,180 ，即0 I ：135時，11的傾斜角才是二:卜45 .而0：180，所以必須討論135 _:： 180的情況，結(jié)合圖形和傾斜角的概念，即可得到135 ：180時11的傾斜角為:-135 .故應(yīng)選D.答案：D說明：在求直線的傾斜角時，應(yīng)該重視的是：(1)注意角的取值范圍；(2)數(shù)形結(jié)合是種常用而有效的方法.典型例題八1例8若三點(diǎn)A (-2,3) , B (3, -2) ,

8、C(2 , m)共線，求m的值.2分析：若三點(diǎn)共線，則由任兩點(diǎn)所確定的直線斜率相等或都不存在.解答：由A、B、C三點(diǎn)共線，則kAB=kAC .-2 -33 2m32，解得說明：由三點(diǎn)共線求其中參數(shù) m的方法很多，如兩點(diǎn)間的距離公式，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公 式，面積公式等，但用斜率公式求m的方法最簡便.典型例題九例9(1)直線I過點(diǎn)A(-2, -1)和點(diǎn)B(6 , -5)，求I的斜率和傾斜角；(2) 若直線過0(0,0) , H (cos's in力兩點(diǎn)，且- ： 0，求此直線的傾斜角.2(3) 已知直線I過點(diǎn)A(1,2)和B(a ,3)，求I的傾斜角和斜率.分析：(1)中直線l上兩點(diǎn)A與B均為

9、已知點(diǎn)，故I是確定的，其斜率和傾斜角自然也是 確定的，直接利用斜率公式求解即可；(2)中的直線I上的點(diǎn)O是已知的，點(diǎn) H的橫縱坐標(biāo)與角'有關(guān)，應(yīng)注意條件中二地取值范圍；(3)中的直線I上的點(diǎn)A是已知的，而點(diǎn)B的橫坐 標(biāo)a不確定，它的取值將影響直線的斜率及傾斜角，應(yīng)對類討論，以直線I的斜率是否存在為分類的標(biāo)準(zhǔn).根據(jù)傾斜角和斜率的概念進(jìn)行求解.解：設(shè)直線I的斜率為k，傾斜角為：.(1) t直線 l 過點(diǎn) A( _2, _1)和點(diǎn) BQ,-5),.它的斜率k 乞凹一1.6(2)2于是tan0 .2 arctanQ).2,o，1I 的傾斜角arctan(),2因?yàn)椋?： 0，所以cos: =0

10、 .所以斜率:2sin 日 _ktan =tan( ).cos 6因?yàn)? ,所以-:7：-:：-二2 2所以，直線的傾斜角為二T.(3)當(dāng)a =1時，直線I與x軸垂直.所以，傾斜角:-=90 , I沒有斜率.當(dāng)a =1時，斜率k = 3 一2二1.a 1 a 1若 a 1，則二 arctan a1卄1若 a ：1，貝則-二-arctana 1因此，當(dāng)a =1時，-90，直線沒有斜率.1 k = a 111當(dāng) a 1 時，：=arctan a11當(dāng) a :：1 時，：=二 arctan , k =a -1a -1說明：由斜率求傾斜角時，要注意傾斜角的取值范圍是0,二.當(dāng)傾斜角不是特殊角而必須用反正切表示時，應(yīng)注意-一:arctana ：.2 2(1)當(dāng)直線的傾斜角是 二("：90)時，斜率是tanr .但反過來，當(dāng)直線的斜率是tan