高中函數(shù)的凹凸性難點解析

1、高中函數(shù)的凹凸性難點解析高中函數(shù)的凹凸性難點解析 曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點 一、曲線的凹凸性與拐點一、曲線的凹凸性與拐點 如圖，觀察拋物線如圖，觀察拋物線 ，它們，它們在區(qū)間在區(qū)間0，1上都是單調(diào)增加的，但彎曲的方向上都是單調(diào)增加的，但彎曲的方向不一樣。不一樣。xyxy,2xoy11還需要考察曲線的彎曲方向及還需要考察曲線的彎曲方向及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點。扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點。僅知道他們的單調(diào)性是不夠的，僅知道他們的單調(diào)性是不夠的， 這說明，在研究函數(shù)的圖形時，這說明，在研究函數(shù)的圖形時，二、凹凸與拐點的定義二、凹凸與拐點的定義定義定義: 若曲線段向上（下）彎曲，若曲線段向上（下）彎曲，則

2、稱之為則稱之為凹（凸）的。凹（凸）的。xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段（圖形上任意弧段（ ）位于所張弦的上方。位于所張弦的上方。xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段（圖形上任意弧段（ ）位于所張弦的下方。位于所張弦的下方。abc問題問題: 如何用準確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性如何用準確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性?的中點的中點的中點的中點 二、曲線的凹凸性與拐點問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位 于所張弦的下

3、方于所張弦的下方abc221xx 221xx 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf )2(21xxf )2(21xxf )(1xf)(1xf)(2xf)(2xf定義定義 . 設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間 i 上連續(xù) ,21ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點拐點 .圖形是凸凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點【知識背景】函數(shù)的凹凸性是高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)分析中的研究函數(shù)的一個

4、概念，是用來研究函數(shù)圖象的變化趨勢的。 【高考聯(lián)接】在高考中常借助函數(shù)的凹凸性來考查基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)，這一知識點常滲透在與函數(shù)的圖象與性質(zhì)的選擇填空題中。 經(jīng)常與高中所學(xué)的函數(shù)、三角、不等式知識相結(jié)合。此類問題的常規(guī)處理思路有數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)分析法、增量分析法、估猜法等。 典例 1. （05 湖北卷） 在xyxyxyyx2cos,log,222這四個函數(shù)中，當(dāng)1021xx時，使2)()()2(2121xfxfxxf恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（ b ） a0 b 1 c2 d3 點評:只要能作出這四個初等函數(shù)的草圖,馬上根據(jù)函數(shù)的凹凸性可直接作結(jié)論. 典例 2.（05 北京理工科 13） 對于

5、函數(shù))(xf定義域中任意的)(,2121xxxx，有如下結(jié)論： )()()(2121xfxfxxf； )()()(2121xfxfxxf； ; 0)()(2121xxxfxf .2)()()2(2121xfxfxxf 當(dāng)xxflg)(時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是 . 【詳解】 對于可以用( )lgf xx 直接驗證即可滿足題意 對于如右圖所示： 對于( )lgf xx圖象上任意不同 兩點1122(,() (,()a xf xb xf x 1212()()0abf xf xkxx顯 然 成 立 （ 可 以 用1( )0(0)ln10fxxx）故正確 再有 ab 中點 c （1212()(),)

6、22xxf xf x過 c作dcx軸交( )f x于 d（12,)2dxxy d在( )f x上有：1212()()()22dcxxf xf xyfy故不正確 定 義 在r上 的 函 數(shù))(xf滿 足 ： 如 果 對 任 意rxx21,都 有)()(21)2(2121xfxfxxf則稱函數(shù))(xf是r上的凹函數(shù)，已知二次函數(shù)raxaxxf()(2且)0a， （1） 求證：當(dāng)0a時函數(shù))(xf是凹函數(shù)； （2） 如果1 , 0 x時1)(xf，試求實數(shù)a的范圍。 1、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本

7、初等函數(shù)的凹凸性。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的凹凸性。2、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 3、冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 6、雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù) 由由 構(gòu)成構(gòu)成.2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:d奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:d偶函數(shù)偶函數(shù).xey21 xey 21xxee,xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: d有界函數(shù)有界函數(shù),xxxxeeeexxx chshth奇函數(shù)奇函數(shù)有界有界雙曲正切雙曲正切定義域：定義域：) ,( 單調(diào)遞增單調(diào)遞增xxxxeeeexxx shchcoth雙曲余切雙曲余切奇函數(shù)奇函數(shù)定義域：定義域：) ,( xycoth xyth 雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 例9 求函數(shù)求函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù).)