第12章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、遼寧科技學(xué)院教案課題名稱(chēng)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)課次第（ ）次課課時(shí)2課型理論（）；實(shí)驗(yàn)（）；實(shí)習(xí)（）；、實(shí)務(wù)（）；習(xí)題課（）；討論（）；其他（）教學(xué)目標(biāo)1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及其收斂級(jí)數(shù)和的概念； 2.掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件； 3.掌握幾何級(jí)數(shù)的收斂性及求和公式。重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決方法重點(diǎn)：收斂和發(fā)散的定義難點(diǎn)：根據(jù)定義判定級(jí)數(shù)的斂散性；收斂的必要條件。教學(xué)基本內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題的提出引例：求圓的面積圓內(nèi)接正六邊形的面積圓內(nèi)接正十二邊形的面積圓內(nèi)接正二十四邊形的面積圓內(nèi)接正邊形的面積稱(chēng)和式為無(wú)窮級(jí)數(shù)。二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1 數(shù)列構(gòu)成的和式稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)

2、級(jí)數(shù)，記為，稱(chēng)為一般項(xiàng)。定義2 由級(jí)數(shù)得：，稱(chēng)為級(jí)數(shù)的第n次部分和；無(wú)窮數(shù)列稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，記為。定義3 若，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，和為s，記為； 若不存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散。例1 判定幾何級(jí)數(shù)為公比）的收斂性。解 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，級(jí)數(shù)為 不存在故：時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，和。補(bǔ)例1 由幾何級(jí)數(shù)判定下列級(jí)數(shù)的收斂性（1）（2）（3）解 （1）這是公比的幾何級(jí)數(shù)，故收斂 （2）公比，故級(jí)數(shù)發(fā)散 （3）公比，故收斂。例3 判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：sn=(1-)+(-)+(-)=1-，=1，則級(jí)數(shù)收斂于1。補(bǔ)例2 判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：，則級(jí)數(shù)發(fā)散。三、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 若收斂于s，則

3、收斂于，即推論 與的收斂性相同。性質(zhì)2 若，分別收斂于，則收斂于，即性質(zhì)3 級(jí)數(shù)去掉、加上、改變有限項(xiàng)收斂性不變。性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)任意加 括號(hào)仍收斂，且和不變。推論 若加括號(hào)后發(fā)散，則必發(fā)散。四、級(jí)數(shù)收斂的必要條件若收斂，則證明 設(shè) 則注 只是收斂的必要條件，當(dāng)時(shí)，不一定收斂，如調(diào)和級(jí)數(shù)。補(bǔ)例2證明：調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散證明 即 故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。推論 若，則發(fā)散。補(bǔ)例3 由性質(zhì)判定下列級(jí)數(shù)的收斂性（1）（2）（3）（4）解 （1），故級(jí)數(shù)發(fā)散； （2）均收斂，故原級(jí)數(shù)收斂； （3）該級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)去掉前三項(xiàng)所得，故發(fā)散； （4）收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。思考：若收斂，問(wèn)（1）（2）（3）是否收斂？教學(xué)方法講

4、授教學(xué)手段板書(shū)示教課外學(xué)習(xí)安排作業(yè)： 參考資料高等數(shù)學(xué)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2007年第六版學(xué)習(xí)效果評(píng)測(cè)作業(yè)批改課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)安排課后答疑教學(xué)后記遼寧科技學(xué)院教案課題名稱(chēng)第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法課次第（ ）次課課時(shí)2課型理論（）；實(shí)驗(yàn)（）；實(shí)習(xí)（）；、實(shí)務(wù)（）；習(xí)題課（）；討論（）；其他（）教學(xué)目標(biāo)1.了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件； 2.會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和根值審斂法； 3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法； 4.掌握p級(jí)數(shù)的收斂性。重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決方法重點(diǎn)：比值審斂法 難點(diǎn)：比較審斂法教學(xué)基本內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)定義 若則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)性質(zhì) （1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列單

5、調(diào)遞增，即 （2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界證明 （1） （2）若收斂，則收斂，故有界； 若有界，又單調(diào)遞增，故收斂，從而收斂。正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法一、比較法定理1（比較審斂法）均為正項(xiàng)級(jí)，且若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散。證明 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和，則級(jí)數(shù)的部分和 即部分和數(shù)列有界，故級(jí)數(shù)收斂； 反之，設(shè)發(fā)散，若收斂，由上面已證明的結(jié)論將有收斂，與假設(shè)矛盾，故若發(fā)散，則發(fā)散。推論 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散。例1 討論級(jí)數(shù)的收斂性，其中常數(shù)解 設(shè)，則，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，故由比較法知，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散； 設(shè)，可證部分和 即數(shù)列有界，故當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。比較法的步驟：（1）選取參照級(jí)

6、數(shù)（2）推測(cè)收斂性（3）證明結(jié)論例2判定下列級(jí)數(shù)的收斂性（1） （2） （3） （4）解 （1），又收斂，故原級(jí)數(shù)收斂 （2），又發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散 （3），又收斂，故原級(jí)數(shù)收斂 （4），又發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散定理2 （比較法的極限形式）均為正項(xiàng)級(jí)，（1）若為正數(shù)，則的收斂性相同；（2）若，則當(dāng)收斂時(shí)，必有收斂；（3）若，則當(dāng)發(fā)散時(shí)，必有發(fā)散。例3 由比較法的極限形式，判定下列級(jí)數(shù)的收斂性（1） （2）解 （1） 又發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散 （2） 所以取參照級(jí)數(shù)為 因?yàn)椋旨?jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂二、比值法定理3 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（1）若，則收斂；（2）若，則發(fā)散；（3）若，則可能收斂可能發(fā)散。例4 由比

7、值法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性（1） （2）解 （1），故級(jí)數(shù)發(fā)散 （2），故級(jí)數(shù)收斂例5 證明 證明 設(shè)，只須證正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 因?yàn)?又 所以由比值法知收斂，故收斂 由收斂的必要條件可知三、根值法定理4 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（1）若，則收斂；（2）若，則發(fā)散；（3）若，則可能收斂可能發(fā)散。例6 判定級(jí)數(shù)的收斂性解 ，故級(jí)數(shù)收斂教學(xué)方法講授教學(xué)手段板書(shū)示教課外學(xué)習(xí)安排作業(yè)： 參考資料高等數(shù)學(xué)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2007年第六版學(xué)習(xí)效果評(píng)測(cè)作業(yè)批改課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)安排課后答疑教學(xué)后記遼寧科技學(xué)院教案課題名稱(chēng)第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)課次第（ ）次課課時(shí)2課型理論（）；實(shí)驗(yàn)（）；實(shí)習(xí)（）；、

8、實(shí)務(wù)（）；習(xí)題課（）；討論（）；其他（）教學(xué)目標(biāo)了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念； 掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法； 了解冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決方法冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法教學(xué)基本內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1.是定義在區(qū)間上的函數(shù)列，稱(chēng)和式為定義在區(qū)間上的（函數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，記為定義2.若，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)； 若，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)； 的收斂點(diǎn)（發(fā)散點(diǎn)）的全體稱(chēng)為的收斂域（發(fā)散域）。定義3.在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是關(guān)于的函數(shù)，稱(chēng)之為和函數(shù)。即在收斂域上，例求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和

9、函數(shù)。二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域定義4.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，記為；（收斂）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，記為。定理1.(Abell定理)如果冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，則時(shí)，絕對(duì)收斂；如果當(dāng)時(shí)發(fā)散，則時(shí)，發(fā)散。推論 如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂可能發(fā)散。定義5.正數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；區(qū)間稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。注：（1）若僅在一點(diǎn)收斂，則規(guī)定收斂半徑，這時(shí)收斂域?yàn)辄c(diǎn) （2）若在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則規(guī)定收斂半徑，這時(shí)收斂域?yàn)閰^(qū)間； （3）若收斂半徑，則收斂域?yàn)?。收斂半徑的求法：公式法、比值法定?.

10、如果滿(mǎn)足，則收斂半徑例1、補(bǔ)例1、例5求下列級(jí)數(shù)的收斂域（1） （2） （3）解： 因=1，則R=1。當(dāng)x=-1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，故收斂區(qū)間為(-1, 1。=，當(dāng)|x|<時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)|x|>時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，則R=。x=±時(shí)級(jí)數(shù)均發(fā)散，故收斂區(qū)間為(-,)。 設(shè)t=x-1，級(jí)數(shù)可改寫(xiě)為，因=，則R=2。當(dāng)t=-2時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)t=2時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為-1,3。例2求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算加減運(yùn)算：的收斂半徑分別為，則和函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)。性質(zhì)2冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可積，并有逐項(xiàng)積分公式 （收斂半徑不變）性質(zhì)

11、3冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可導(dǎo)，并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 （收斂半徑不變）例6 求的和函數(shù)。解：設(shè)s(x)=，則有xs(x)=，逐項(xiàng)求導(dǎo)得：xs(x)'=(-1<x<1)，兩端同時(shí)積分得：xs(x)=-ln(1-x)，顯然s(0)=1，則s(x)=，由和函數(shù)的連續(xù)性知，s(x)在(-1, 1)內(nèi)連續(xù)。補(bǔ)例2 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。解：設(shè)s(x)=，逐項(xiàng)積分得：=(-1<x<1)，兩端同時(shí)求導(dǎo)得：s(x)=(-1<x<1)。教學(xué)方法講授教學(xué)手段板書(shū)示教課外學(xué)習(xí)安排作業(yè)： 參考資料高等數(shù)學(xué)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2007年第六

12、版學(xué)習(xí)效果評(píng)測(cè)作業(yè)批改課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)安排課后答疑教學(xué)后記遼寧科技學(xué)院教案課題名稱(chēng)第四節(jié) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)課次第（ ）次課課時(shí)2課型理論（）；實(shí)驗(yàn)（）；實(shí)習(xí)（）；、實(shí)務(wù)（）；習(xí)題課（）；討論（）；其他（）教學(xué)目標(biāo)1了解函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件； 2掌握的麥克勞林展開(kāi)式； 3會(huì)用間接法將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決方法間接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)教學(xué)基本內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)引言由上節(jié)知：即：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)問(wèn)題：（1）函數(shù)在什么條件下可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)； （2）如果能展開(kāi)，展開(kāi)式是否唯一？一、泰勒級(jí)數(shù)定義若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)任意階可導(dǎo)，則稱(chēng)級(jí)數(shù)為的泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，得，稱(chēng)該級(jí)數(shù)為的麥克勞林級(jí)數(shù)。定理1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)任意階可導(dǎo)，則在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是的泰勒公式中的余項(xiàng)滿(mǎn)足： 證明推論設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)任意階可導(dǎo)，則在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)充要條件是：。定理2.若能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，即，則（冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的）二、直接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)步驟：（1）求； （2）求； （3）寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù)，并求收斂域； （4）在收斂域內(nèi)，求若，則例1將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。解同理： 當(dāng)時(shí)，有三、間接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯