(完整)中南大學(xué)2013年高等代數(shù)

1、中南大學(xué)2013 年碩士研究生入學(xué)考試試題（ 883 高等代數(shù)）一、（ 16 分）設(shè)1 , 2 ,L ,n 是 n 個(gè) (n2) 互不相同的整數(shù) .證明：f ( x)( xa1) L ( xan )1不能表示成兩個(gè)次數(shù)大于零的整系數(shù)多項(xiàng)數(shù)之積 .二、（ 16 分）計(jì)算 n 階 n2 行列式100L0k1C210L0k 2Dn1C31C32L0k 3LLLLL其中 k 為正整數(shù)。L1Cn1 1Cn2 1LCnn 12k n 11Cn1Cn2LCnn 2k n三、（ 14 分）設(shè) A(a1, a2 ,L , an ) 是數(shù)域 F 上的一個(gè) m n 矩陣，對(duì) A 施行若干初等行變換后得到矩陣B(b1

2、 ,b2 ,L , bn ) 。證明：1.向量組 a , a ,L , a中的向量aj 1,a j 2 ,L , ajk線性無關(guān)的充要條件是12n向量組 b1 ,b2 ,L, bn 中的向量 bj 1, bj 2 ,L, bjk 線性無關(guān)；2.向量組 a1, a2 ,L , an 中的向量 ai , ai1 , ai 2L , air滿足aik1ai1k2 ai2Lkr air (k1, k2 ,L , krF ) 的充要條件是向量組b1 ,b2 ,L ,bn 中的向量 bi , bi1 , bi 2 L ,bir 滿足 bik1bi1k2bi2 Lkr bir。四、（ 16 分）設(shè) mn 矩

3、陣 A 的秩為 r。1.證明：存在 m 階可逆矩陣 P和 n 階矩陣 Q，使得 PAQEr0，00其中 Er 為 r 階單位矩陣；2.證明：存在 m r 矩陣 B 和 rn 矩陣 C，使得秩 B=秩 C=r且 A=BC；3.設(shè)計(jì)一個(gè)用矩陣的初等變換求1.中 P 與 Q 的方法。五、（ 14 分）設(shè) A,B 分別為 m n 和 nm 矩陣，滿足 ABA=A，b 是一個(gè)m 維列向量。證明： 方程 Ax=b 有解的充要條件是 ABb=b，且在有解時(shí)，通解為 x Bb (En BA) y ，其中 En 為 n 階單位矩陣， y為任意 n 維列向量。六、（ 22 分）設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣， B

4、為 n 階實(shí)對(duì)稱正定矩陣。記1.BA0 的 n 個(gè)根為1,2 ,L,n 。證明：1 ,2 ,L, n 都是實(shí)數(shù)；存在n的一組基 x1 , x2 ,L, xn ，使得對(duì)一切 i，j 有2.RAxii Bxi 及 xiT Bxj1,ij ；0,ij3.max xT Axmaxi且 minxT Axmini。nT1 i nnT1 i nxx R0x Bxx x R0x Bx七、（ 20 分）設(shè) V 是數(shù)域 F 上 2 階方陣全體所構(gòu)成的線性空間，A12。定義 V 的線性變換如下： (X) AX XA,X V 。031.求的值域與核的基與維數(shù)；2. 是否可對(duì)角化？若可對(duì)角化， 求 V 的一組基，使 在該組基下的矩陣為對(duì)角形。八、（ 16 分）設(shè) M 是 n 維歐式空間 V 的一個(gè)子空間， ( , ) 是 V 的內(nèi)積，V，記|(,)。證明：V，存在唯一0M，使得0min | 。M九、（ 16 分）設(shè) V 是實(shí)數(shù)域 R 上 n 階方陣全體所構(gòu)成的線性