(完整word)高等數(shù)學求極限的常用方法(附例題和詳解)

1、高等數(shù)學求極限的14 種方法一、極限的定義1. 極限的保號性很重要：設(shè)limf (x)A ，x x0（ i ）若 A0 ，則有0 ，使得當0| xx0 |時， f (x)0 ；（ ii ）若有0, 使得當 0 | x x0|時， f (x)0,則A0 。2. 極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限，其中函數(shù)極限又分為限是否存在在：x時函數(shù)的極限和xx0 的極限。要特別注意判定極（ i ）數(shù)列 xn收斂于 a的充要條件 是它的所有子數(shù)列均收斂于 a。常用的是其推論，即“一個數(shù)列收斂于a 的充要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a”（ ii ） limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)limf

2、 ( x)AlimlimAx x0x x0x x0(iv) 單調(diào)有界準則（ v）兩邊夾擠準則（夾逼定理 / 夾逼原理）（ vi） 柯 西 收 斂 準 則 （ 不 需 要 掌 握 ） 。 極 限 limf ( x) 存 在 的 充 分 必 要 條 件 是 ：x x00,0, 使得當 x1、 x2U o ( x0 )時，恒有 | f ( x1 )f ( x2 ) |二解決極限的方法如下：1. 等價無窮小代換。只能在乘除時候使用。例題略。2. 洛必達（ Lho spital ）法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）它的使用有嚴格的使用前提。首先必須是X 趨近，而不是 N趨近，所以面對數(shù)列極限時

3、候先要轉(zhuǎn)化成求x 趨近情況下的極限，數(shù)列極限的n 當然是趨近于正無窮的，不可能是負無窮。其次, 必須是函數(shù)的導數(shù)要存在，假如告訴 f （x）、g（x）, 沒告訴是否可導， 不可直接用洛必達法則。另外，必須是 “0 比 0”或“無窮大比無窮大” ,并且注意導數(shù)分母不能為0。洛必達法則分為3 種情況：（i）“ 0”“”時候直接用0(ii)“0? ”“”，應為無窮大和無窮小成倒數(shù)的關(guān)系，所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后，就能變成(i)中的形式了。即f ( x)g( x) ；11g (x)f ( x)f (x)g ( x)或 f ( x) g (x)11f ( x) g( x)1g (

4、x)f ( x)f (x) g(x )f ( x) g ( x)g ( x) ln f ( x)(iii)“00”“1”“0 ”對于冪指函數(shù) , 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，即e，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，變成“0 ?”型未定式。13. 泰勒公式 ( 含有 ex 的時候，含有正余弦的加減的時候）ex1 xx2x ne xxn 1；2!n!(n1)!sin xx3x 5mx2 m 1(m 1cosx2m 3x5!( 1)( 2m1)!1)(2mx3!3)!cos=1x2x 4( 1)mx2 m( 1) m 1cosxx2 m 22!4!(2m)!(2m2)!ln （1+x） =x-x2x

5、3(1)n 1 x n( 1)nx n 123n(n1)(1x) n 1(1+x)u =1 uxu(u1) x 2Cun x nCun 1 (1x) un 1 x n12!以上公式對題目簡化有很好幫助4. 兩多項式相除 : 設(shè) an ,bm 均不為零 ，P（ x）= an x nan 1 x n 1a1 x a0 , Q( x) bm x mbm 1 x m 1b1 x b0an , (mn)P( x)P( x0 )(i)P(x)bn（ ii）若 Q (x0 )0 ，則lim0, (nm)lim Q( x)Q( x0 )xQ( x)xx0, (nm)5. 無窮小與有界函數(shù)的處理辦法。例題略。面

6、對復雜函數(shù)時候，尤其是正余弦的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了。6. 夾逼定理：主要是應用于數(shù)列極限，常應用放縮和擴大不等式的技巧。以下面幾個題目為例： （1）設(shè) a bc0 ，xnna nb ncn，求 limnxn解：由于 axnan 3,以及 lim aa,lim ( an 3)a ，由夾逼定理可知lim xnannn（ 2）求 lim111n2(n1)2(2n)2n解：由 01111111 ，以及010可知，原式 =0limnlimn nn2(n1)2(2n) 2n2n2n 2n(3)求 limn111n21n22n

7、2n解：由1111111111n,以及n nnn21n 2n2nn 2nn2nn 2nn2n2lim 1limnlim1得，原式 =1n2n1nnn11n7. 數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應用（等比數(shù)列的公比q 絕對值要小于1）。例如：求12x3x 2nx n 1(| x |1) 。提示：先利用錯位相減得方法對括號內(nèi)的式子求和。limn8. 數(shù)列極限中各項的拆分相加（可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡數(shù)列）。例如：lim111= lim11111lim 1 112 23n(n 1)1n( n 1)(n 1)1nn2 2 3n9. 利用 xx與 xn 1 極限相同求極限。例如：（ 1）已知 a12, a

8、n 121 ，且已知 lim an 存在，求該極限值。ann解 : 設(shè) lim an =A，（顯然 A0）則A 21，即 A22 A 10 ，解得結(jié)果并舍去負值得 A=1+2nA（ 2）利用 單調(diào)有界的性質(zhì) 。利用這種方法時一定要先證明單調(diào)性和有界性。例如 設(shè) x12, x222 , xn2xn 1 ,求 lim xnn解：（ i ）顯然 x1x22 （ ii）假設(shè) xk1xk 2, 則2 xk 12xk22，即 xk xk12 。所以，xn 是單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界，收斂。設(shè)limA ，（顯然 A0)則A2A，即 A2A2 0 。n解方程并舍去負值得A=2. 即 lim xn2n10. 兩個

9、重要極限的應用。（ isin x1常用語含三角函數(shù)的“ 0 ” 型未定式） limx 0x0(ii)lim 11e ，在“ 1 ”型未定式中常用x xx 011. 還有個非常方便的方法就是當趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，n n 快于 n！ ,n ！快于指數(shù)型函數(shù) b n (b 為常數(shù) ) ，指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù) , 冪函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)。當x 趨近無窮的時候，它們比值的極限就可一眼看出。12. 換元法。這是一種技巧，對一道題目而言，不一定就只需要換元，但是換元會夾雜其中。例如：求極限arccosxlim2。解：設(shè) tarccosx,則 x時， t0,且 xt)sin t 。s

10、in 2x0cos(x 0222xarccosx2 limarccosxt1原式 =limsin 2x2x2lim2 sint2x0x 02xt01113 利 用 定 積 分 求 數(shù) 列 極 限 。 例 如 ： 求 極 限 lim111。 由 于n， 所 以n1 n2n nn in1in3lim111lim1112 1ln 2n 1 n 2n n1n n1xnn11nn14. 利用導數(shù)的定義求“0 ”型未定式極限。一般都是x0 時候，分子上是“ f (a x) f (a) ”的形式，看見了這0種形式要注意記得利用導數(shù)的定義。（當題目中告訴你'f（ a） m 告訴函數(shù)在具體某一點的導數(shù)值時，基本上就是暗示一定要用導數(shù)定義）n例 : 設(shè) f (a)0, f'(a)