魯閩皖高考數(shù)學文一輪復習精編課件：2.12導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例新人教A版

1、第十二節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與 生活中的優(yōu)化問題舉例三年三年3636考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單了解函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間( (其中多項式函數(shù)一般不超過三次其中多項式函數(shù)一般不超過三次).).2.2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值求函數(shù)的極大值、極小值( (其中多項式函數(shù)一般不超過三次其中多項式函數(shù)一般不超過三次) )；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值會求閉區(qū)間上

2、函數(shù)的最大值、最小值( (其中多項式函數(shù)一般不超其中多項式函數(shù)一般不超過三次過三次).).3.3.會利用導數(shù)解決某些簡單的實際問題會利用導數(shù)解決某些簡單的實際問題. .1.1.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值極值( (最值最值) )是考查重點；是考查重點；2.2.含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點和難含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點和難點；點；3.3.題型有選擇題和填空題，難度較小；與方程、不等式等知識題型有選擇題和填空題，難度較?。慌c方程、不等式等知識點交匯則以解答題為主，難度較大點交匯

3、則以解答題為主，難度較大. .1.1.導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)(1)函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導在某個區(qū)間內(nèi)可導若若f(x)f(x)0 0，則，則f(x)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)_；若若f(x)f(x)0 0，則，則f(x)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)_._.如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0f(x)=0，則，則f(x)f(x)為為_._.(2)(2)單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性的應(yīng)用若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上單調(diào)，則上單調(diào)，則y=f(x)y=f(x)在該區(qū)間上不在該區(qū)間上不變號變號.

4、 .單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)=1+x-sinxf(x)=1+x-sinx在在(0,2)(0,2)上的單調(diào)情況是上的單調(diào)情況是_._.(2)(2)設(shè)設(shè)f(x)f(x)是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的導函數(shù)，的導函數(shù)，y=f(x)y=f(x)的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，則則y=f(x)y=f(x)的圖象最有可能是的圖象最有可能是_._.(3)(3)若函數(shù)若函數(shù)y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是r r上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍是是_._.【解析解析】(1)(1)在在

5、(0(0，2)2)上有上有f(x)=1-cosx0f(x)=1-cosx0，所以，所以f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .(2)(2)由導函數(shù)圖象知，由導函數(shù)圖象知，f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上為正，在上為正，在(0,2)(0,2)上為上為負，在負，在(2,+)(2,+)上為正，所以上為正，所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在(0,2)(0,2)上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(2,+)(2,+)上是增函數(shù)，比較，只上是增函數(shù)，比較，只有符合有符合. .(3)(3)函數(shù)函數(shù)y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+m

6、x+1是是r r上的單調(diào)函數(shù)，只需上的單調(diào)函數(shù)，只需y=3xy=3x2 2+2x+m0+2x+m0恒成立，恒成立，即即=4-12m0=4-12m0，mm答案：答案：(1)(1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 (2)(2) (3)m (3)m1.3132.2.函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念(1)(1)極值點與極值極值點與極值設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x x0 0及附近有定義，且在及附近有定義，且在x x0 0兩側(cè)的單調(diào)性兩側(cè)的單調(diào)性_( (或?qū)?shù)值異號或?qū)?shù)值異號) )，則，則x x0 0為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)的極值點，的極值點，f(xf(x0 0) )為函數(shù)的極為函數(shù)的極值值. .(2)(2)

7、極大值點與極小值點極大值點與極小值點若先增后減若先增后減( (導數(shù)值先正后負導數(shù)值先正后負) )，則，則x x0 0為為_點點. .若先減后增若先減后增( (導數(shù)值先負后正導數(shù)值先負后正) )，則，則x x0 0為為_點點. .相反相反極大值極大值極小值極小值【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)判斷下列結(jié)論的正誤判斷下列結(jié)論的正誤.(.(請在括號中填請在括號中填“”“”或或“”)”)導數(shù)為零的點一定是極值點導數(shù)為零的點一定是極值點 ( )( )函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x x0 0及附近有定義，如果在及附近有定義，如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x

8、)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是極大值是極大值 ( )( )函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x x0 0及附近有定義，如果在及附近有定義，如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是極大值是極大值 ( )( )(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為開區(qū)間的定義域為開區(qū)間(a(a，b)b)，導函數(shù)，導函數(shù)f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a(a，b)b)內(nèi)有極小值點內(nèi)有極小值點的個數(shù)為的個數(shù)為_

9、._.(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x2 2-9x-9x的極值點為的極值點為_._.【解析解析】(1)(1)導數(shù)為零只是函數(shù)在該點取極值的必要條件，導數(shù)為零只是函數(shù)在該點取極值的必要條件，正確，正確，f(xf(x0 0) )為極小值，故錯誤為極小值，故錯誤. .(2)(2)從從f(x)f(x)的圖象可知的圖象可知f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增次為增減減增增減，所以減，所以f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)只有一個極小值點；內(nèi)只有一個極小值點；(3)(3)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2+6x-9=0

10、+6x-9=0得得x=1x=1或或x=-3,x=-3,當當x x-3-3時，時，f(x)f(x)0,0,當當-3-3x x1 1時，時，f(x)f(x)0,0,當當x x1 1時，時，f(x)f(x)0,0,x=1x=1和和x=-3x=-3都是都是f(x)f(x)的極值點的極值點. .答案：答案：(1)(1) (2)1 (3)x=1,x=-3 (2)1 (3)x=1,x=-33.3.函數(shù)極值與最值的求法函數(shù)極值與最值的求法(1)(1)求可導函數(shù)極值的步驟：求可導函數(shù)極值的步驟：求導數(shù)求導數(shù)f(x)f(x)；求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根；的根；列表，檢驗列表，檢驗f(x)f(x)在方

11、程在方程f(x)=0f(x)=0的根左右兩側(cè)的符號的根左右兩側(cè)的符號( (判判斷斷y=f(x)y=f(x)在根左右兩側(cè)的單調(diào)性在根左右兩側(cè)的單調(diào)性) )，確定是否為極值，是極大，確定是否為極值，是極大值還是極小值值還是極小值. .(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)y=f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,ba,b上的最值可分兩步進行：上的最值可分兩步進行：求求y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)的內(nèi)的_；將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)f(a)、f(b)f(b)比較，比較，其中最大的一個為其中最大的一個為_，最小的一個為，最小的

12、一個為_._.極值極值最大值最大值最小值最小值【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考：最值是否一定是極值？思考：最值是否一定是極值？提示：提示：不一定不一定. .如果最值在端點處取得就不是極值如果最值在端點處取得就不是極值. .(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)=3x-4xf(x)=3x-4x3 3，x0,1x0,1的最大值是的最大值是_._.【解析解析】由由f(x)=3-12xf(x)=3-12x2 2=0=0得得x=x=f(0)=0f(0)=0，f( )=1f( )=1，f(1)=-1f(1)=-1，f(x)f(x)maxmax=1.=1.答案：答案：1 112 ，12(3)(3)已知函數(shù)已知函數(shù)

13、f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1處取極值處取極值1010，則，則f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，由題意，由題意即即 得得a=4a=4或或a=-3.a=-3.但當?shù)攁=-3a=-3時，時，b=3,f(x)=3xb=3,f(x)=3x2 2-6x+30-6x+30，故不存在極值，故不存在極值，a=4a=4，b=-11b=-11，f(2)=18.f(2)=18.答案：答案：1818f(1)10,f (1)021aba10,32ab0 4.4.導數(shù)的實際應(yīng)用導數(shù)的實際應(yīng)用導數(shù)

14、在實際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤最大、用料最省、導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤最大、用料最省、效率最高等問題中，解決這類問題的關(guān)鍵是建立恰當?shù)臄?shù)學模效率最高等問題中，解決這類問題的關(guān)鍵是建立恰當?shù)臄?shù)學模型型( (函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系) )，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值. .解題過程中解題過程中要時刻注意實際問題的意義要時刻注意實際問題的意義. .【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(y(單位：萬元單位：萬元) )與年產(chǎn)量與年產(chǎn)量x(x(單位：單位：萬件萬件) )的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為y= +81x-234y=

15、+81x-234，則使該生產(chǎn)廠家獲得，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為最大年利潤的年產(chǎn)量為_._.(2)(2)將邊長為將邊長為1 m1 m的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記兩塊，其中一塊是梯形，記s= s= 則則s s的最小值是的最小值是_._.31x32(),梯形的周長梯形的面積【解析解析】(1)y=-x(1)y=-x2 2+81,+81,令令y=0y=0得得x=9x=9或或x=-9(x=-9(舍去舍去) )，當，當x x9 9時時yy0 0；當當x x9 9時時yy0 0，故當，故當x=9x=9時函數(shù)有極大值，也是

16、最大值；時函數(shù)有極大值，也是最大值；即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為9 9萬件萬件. .(2)(2)設(shè)剪成的小正三角形的邊長為設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x x，則：則：s=s=222(3x)4(3x)(0 x 1),1x133(x1)(1x)22 224(3x)s x,1x3s(x)=s(x)= =令令s(x)=0(0s(x)=0(0 x x1),1),得得x=x=當當x(0, )x(0, )時，時，s(x)s(x)0,s(x)0,s(x)遞減；遞減；當當x( ,1)x( ,1)時，時，s(x)s(x)0,s(x)0,s(x)遞增；遞增；故當故當x= x

17、= 時，時，s s取得最小值取得最小值答案：答案：(1)9(1)9萬件萬件 (2)(2)22224(2x6) (1x )(3x) ( 2x)(1x )32242(3x1)(x3),(1x )31,313131332 3.332 33 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【方法點睛方法點睛】1.1.導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用(1)(1)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)(3)已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍. .2.2.導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步

18、驟導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：求定義域：求函數(shù)第一步：求定義域：求函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域的定義域第二步：求根：求方程第二步：求根：求方程f(x)=0f(x)=0在定義域內(nèi)的根在定義域內(nèi)的根第三步：劃分區(qū)間：用求得的方程的根劃分定義域所在的區(qū)間第三步：劃分區(qū)間：用求得的方程的根劃分定義域所在的區(qū)間第四步：定號：確定第四步：定號：確定f(x)f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號在各個區(qū)間內(nèi)的符號第五步：結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)第五步：結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)y=f(x)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .【提醒提醒】當當f(x)f(x)不含參

19、數(shù)時，也可通過解不等式不含參數(shù)時，也可通過解不等式f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)f(x)2x2時，時，y= -2sinx0y= -2sinx0，排除，排除d.d.由由y= -2cosx0y= -2cosx0得得cosx cosx 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是增函數(shù)是增函數(shù), ,由由y= -2cosx0y= -2cosx cosx 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是減函是減函數(shù)數(shù). .由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無數(shù)多個由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無數(shù)多個, ,bb不正確，不正確，c c正確正確. .x21214

20、，1214，(2)(2)a= a= 時，時，f(x)=x(ef(x)=x(ex x-1)- x-1)- x2 2，f(x)=ef(x)=ex x-1+xe-1+xex x-x=(e-x=(ex x-1)(x+1).-1)(x+1).當當x(-,-1)x(-,-1)時時,f(x),f(x)0;0;當當x(-1,0)x(-1,0)時，時，f(x)f(x)0;0;當當x(0,+)x(0,+)時，時，f(x)f(x)0.0.所以所以f(x)f(x)在在(-,-1)(-,-1)和和(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，在在(-1(-1，0)0)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .故故f(x)f(x)的單調(diào)遞

21、增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(0,+),(-,-1),(0,+),單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0).(-1,0).1212f(x)=x(ef(x)=x(ex x-1-ax).-1-ax).令令g(x)=eg(x)=ex x-1-ax-1-ax，則，則g(x)=eg(x)=ex x-a.-a.若若a1a1，則當，則當x(0,+)x(0,+)時，時，g(x)g(x)0 0，g(x)g(x)為增函數(shù)，而為增函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0，從而當從而當x0 x0時時,g(x)0,g(x)0，即，即f(x)0.f(x)0.若若a a1 1，則當，則當x(0,lna)x(0,lna)時

22、，時，g(x)g(x)0 0，g(x)g(x)為減函數(shù)，而為減函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0，從而當從而當x(0,lna)x(0,lna)時時,g(x),g(x)0 0，即，即f(x)f(x)0.0.綜合得綜合得a a的取值范圍為的取值范圍為(-,1.(-,1.【互動探究互動探究】若本例若本例(2)(2)第問中條件改為第問中條件改為“若當若當x0 x0時，時，f(x)0”f(x)0”，則，則a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析解析】由例題知，若由例題知，若a1a1，則當，則當x(-,0 x(-,0時，時，g(x)g(x)為減函數(shù)，而為減函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0，g(x)0,f

23、(x)0.g(x)0,f(x)0.若若0 0a a1 1，則當，則當x(lna,0)x(lna,0)時，時，g(x)g(x)為增函數(shù)，而為增函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0，g(x)g(x)0,f(x)0,f(x)0,0,不合題意，若不合題意，若a0,a0,則當則當x(-,0 x(-,0時，時，g(x)g(x)為增函數(shù)，而為增函數(shù)，而g(0)=0,g(x)g(0)=0,g(x)0,f(x)0,f(x)0,0,不合題意，不合題意，a a的取值范圍是的取值范圍是1,+).1,+).答案：答案：1,+)1,+)【反思反思感悟感悟】1.1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，切記定義域優(yōu)先的原求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，切記

24、定義域優(yōu)先的原則，一定要注意先求定義域則，一定要注意先求定義域. .2.2.恒成立問題的處理，一般是采用恒成立問題的處理，一般是采用“分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化”的的方法方法. .【變式備選變式備選】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-ax-1.-ax-1.(1)(1)若若f(x)f(x)在實數(shù)集在實數(shù)集r r上單調(diào)遞增，求實數(shù)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a a的取值范圍；的取值范圍；(2)(2)是否存在實數(shù)是否存在實數(shù)a,a,使使f(x)f(x)在在(-1(-1，1)1)上單調(diào)遞減？若存在，求上單調(diào)遞減？若存在，求出出a a的取值范圍；若不存在，說明理由的取值范圍；若不存在，說明

25、理由. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知f(x)=3xf(x)=3x2 2-a,-a,f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-,+)(-,+)上恒成立，上恒成立，即即a3xa3x2 2對對xrxr恒成立恒成立. .3x3x2 20,0,只需只需a0,a0,又又a=0a=0時，時，f(x)=3xf(x)=3x2 200且只有且只有f(0)=0,f(0)=0,故故f(x)=xf(x)=x3 3-1-1在在r r上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，a0.a0.(2)(2)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-

26、1,1)(-1,1)上恒成立，上恒成立，得得a3xa3x2 2在在(-1,1)(-1,1)上恒成立上恒成立. .-1x1,3x-1x1,3x2 23,3,只需只需a3.a3.當當a=3a=3時，時，f(x)=3(xf(x)=3(x2 2-1),-1),在在(-1,1)(-1,1)上，有上，有f(x)0,f(x) x 時，時，m(x)0m(x)3,c3,所以所以c-20,c-20,所以令所以令yy0 0得得:r:r令令yy0 0得得:0:0r r當當3 3c c 即即 2 2時，函數(shù)時，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是單調(diào)遞減上是單調(diào)遞減的，故建造費用最小時的，故建造費用最小時r=2.r=2.

27、當當c c 即即0 0 2 2時，函數(shù)時，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是先減后增上是先減后增的，故建造費用最小時的，故建造費用最小時r=r=2160r328(c2)r20,r320;c2320,c292，320c292，320c2320.c2【反思反思感悟感悟】1.1.解決實際問題，數(shù)學建模是關(guān)鍵，恰當變量解決實際問題，數(shù)學建模是關(guān)鍵，恰當變量的選擇，決定了解答過程的繁簡；函數(shù)模型的確定，決定了能的選擇，決定了解答過程的繁簡；函數(shù)模型的確定，決定了能否解決這個問題否解決這個問題. .2.2.解決實際問題必須考慮實際意義，忽視定義域是這類題目失解決實際問題必須考慮實際意義，忽視定義域是這類題

28、目失分的主要原因分的主要原因. .【變式訓練變式訓練】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量的耗油量y(y(升升) )關(guān)于行駛速度關(guān)于行駛速度x(x(千米千米/ /小時小時) )的函數(shù)解析式可以的函數(shù)解析式可以表示為：表示為： 已知甲、乙兩地相距已知甲、乙兩地相距100100千米千米. .(1)(1)當汽車以當汽車以4040千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？耗油多少升？(2)(2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油

29、最少？最少為多少升？最少為多少升？313yxx8(0 x120).128 00080【解析解析】(1)(1)當當x=40 x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了時，汽車從甲地到乙地行駛了 2.52.5小小時，時，要耗油要耗油( ( 40403 3- - 40+8)40+8)2.5=17.5(2.5=17.5(升升).).答：當汽車以答：當汽車以4040千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油耗油17.517.5升升. .(2)(2)當速度為當速度為x x千米千米/ /小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小小時，設(shè)耗油量為時，設(shè)

30、耗油量為h(x)h(x)升，升，依題意得依題意得h(x)=h(x)=(0(0 x120),x120),1128 000380100 x3213100180015(xx8)x128 00080 x1 280 x410040h(x)= (0h(x)= (0 x120).x120).令令h(x)=0,h(x)=0,得得x=80.x=80.當當x(0,80)x(0,80)時，時，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是減函數(shù)；是減函數(shù)；當當x(80,120 x(80,120時，時，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是增函數(shù)是增函數(shù). .當當x=80 x=80時，時，h(x)h(x)取到極小值取

31、到極小值h(80)=11.25.h(80)=11.25.因為因為h(x)h(x)在在(0,120(0,120上只有一個極值，所以它是最小值上只有一個極值，所以它是最小值. .答：當汽車以答：當汽車以8080千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為耗油最少，最少為11.2511.25升升. .3322x800 x80640 x640 x【變式備選變式備選】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a a元元(3a5)(3a5)的管理費，

32、預的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為計當每件產(chǎn)品的售價為x x元元(9x11)(9x11)時，一年的銷售量為時，一年的銷售量為(12-x)(12-x)2 2萬件萬件. .(1)(1)求分公司一年的利潤求分公司一年的利潤l(l(萬元萬元) )與每件產(chǎn)品的售價與每件產(chǎn)品的售價x x的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系式；系式；(2)(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤l l最大，最大，并求出并求出l l的最大值的最大值q(a).q(a).【解析解析】(1)(1)分公司一年的利潤分公司一年的利潤l(l(萬元萬元) )與售價與售價x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式為：

33、為：l=(x-3-a)(12-x)l=(x-3-a)(12-x)2 2,x,x9,119,11. .(2)l=(12-x)(2)l=(12-x)2 2-2(x-3-a)(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).=(12-x)(18+2a-3x).令令l=0l=0得得x=6+ x=6+ 或或x=12(x=12(不合題意，舍去不合題意，舍去).).3a5,86+3a5,86+在在x=6+ x=6+ 兩側(cè)，由左向右兩側(cè)，由左向右ll的值由正變負的值由正變負. .所以當所以當86+ 86+ 9 9即即3a3a 時，時，l lmaxmax=l(9)=(9-3-a)(1

34、2-9)=l(9)=(9-3-a)(12-9)2 2=9(6-a).=9(6-a).2a3228a.332a32a392228a33，922a32a32a3當當96+ 96+ 即即 a5a5時，時，l lmaxmax=l(6+ )=(6+ -3-a)=l(6+ )=(6+ -3-a)12-(6+ )12-(6+ )2 2=4(3- )=4(3- )3 3. .所以所以q(a)=q(a)=即：若即：若3a3a 則當每件售價為則當每件售價為9 9元時，分公司一年的利潤元時，分公司一年的利潤l l最大，最大值最大，最大值q(a)=9(6-a)(q(a)=9(6-a)(萬元萬元) )；若；若 a5a5

35、，則當每件售，則當每件售價為價為(6+ )(6+ )元時，分公司一年的利潤元時，分公司一年的利潤l l最大，最大值最大，最大值q(a)=q(a)=4(3- )4(3- )3 3( (萬元萬元).).1a3399(6a) 3a2.194(3a) a53292，922a31a3【滿分指導滿分指導】函數(shù)綜合題的規(guī)范解答函數(shù)綜合題的規(guī)范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011湖南高考湖南高考) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=x- -alnxf(x)=x- -alnx(ar).(ar).(1)(1)討論討論f(x)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)(2)若若f(x)f(x)有兩個極值點有兩個極

36、值點x x1 1和和x x2 2，記過點，記過點a(xa(x1 1,f(x,f(x1 1),b(x),b(x2 2, ,f(xf(x2 2)的直線的斜率為的直線的斜率為k k，問：是否存在，問：是否存在a a，使得，使得k=2-ak=2-a？若存？若存在，求出在，求出a a的值，若不存在，請說明理由的值，若不存在，請說明理由. .1x【解題指南解題指南】(1)(1)對對f(x)f(x)求導，就求導，就a a的取值分類討論；的取值分類討論；(2)(2)假設(shè)存在假設(shè)存在a a滿足條件，判斷條件是否滿足滿足條件，判斷條件是否滿足. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)f(x)(1)f(x)的定義域為的定義域

37、為(0,+).(0,+).f(x)= f(x)= 2 2分分令令g(x)=xg(x)=x2 2-ax+1,-ax+1,其判別式其判別式=a=a2 2-4.-4.當當|a|2|a|2時，時，00，f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞上單調(diào)遞增增. . 3 3分分當當a a-2-2時，時，0,g(x)=00,g(x)=0的兩根都小于的兩根都小于0 0，在，在(0,+)(0,+)上，上，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. . 4 4分分2221axax11xxx當當a a2 2時，時，0,g(x)=00

38、,g(x)=0的兩根為的兩根為當當0 0 x xx x1 1時，時，f(x)f(x)0 0；當；當x x1 1x xx x2 2時，時，f(x)f(x)0 0；當當x xx x2 2時，時，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)分別在分別在(0,x(0,x1 1),(x),(x2 2,+),+)上單調(diào)上單調(diào)遞增，在遞增，在(x(x1 1,x,x2 2) )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. . 6 6分分21aa4x,222aa4x2，(2)(2)由由(1)(1)知，知，a a2.2.因為因為f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(x)=(x1 1-x-x2 2)+ -a(lnx)+ -

39、a(lnx1 1-lnx-lnx2 2) )，所以所以k= k= 8 8分分又由又由(1)(1)知，知，x x1 1x x2 2=1.=1.于是于是k=2-ak=2-a若存在若存在a a，使得，使得k=2-a,k=2-a,則則即即lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2=x=x1 1-x-x2 2，亦即，亦即x x2 2- -2lnx- -2lnx2 2=0(x=0(x2 21)(1)(* *) ) 1010分分1212xxx x1212121212f(x )f(x )lnxlnx11axxx xxx 1212lnxlnx,xx1212lnxlnx1,xx21x再由再由(1)(1)知，函數(shù)知，

40、函數(shù)h(t)=t- -2lnth(t)=t- -2lnt在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增，而上單調(diào)遞增，而x x2 21 1，所以，所以x x2 2- -2lnx- -2lnx2 21- -2ln1=0.1- -2ln1=0.這與這與( (* *) )式矛盾式矛盾. . 1111分分故不存在故不存在a a，使得，使得k=2-a. k=2-a. 1212分分1t21x11【閱卷人點撥閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示在解答本題時有兩點容易造成失分：在解答本題時有兩點

41、容易造成失分：(1)(1)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值( (或最值或最值) )不熟不熟練練, ,忽視忽視a a的值對的值對f(x)f(x)符號的影響符號的影響. .(2)(2)對存在性命題的解題方法不熟悉，不能準確、有對存在性命題的解題方法不熟悉，不能準確、有效地確定解題方法效地確定解題方法. .備備考考建建議議解決函數(shù)的綜合問題時，還有以下幾點在備考時要解決函數(shù)的綜合問題時，還有以下幾點在備考時要高度關(guān)注：高度關(guān)注：(1)(1)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值( (極值極值) )的求解應(yīng)熟的求解應(yīng)熟練掌握；練掌握；(2)(2)與數(shù)列、三角、解析幾何、不等式等綜合時，能與數(shù)列、三角、解析幾何、不等式等綜合時，能夠迅速、準確地進行轉(zhuǎn)化；夠迅速、準確地進行轉(zhuǎn)化；另外需要較強的運算能力，才能快速正確地解決一