歐拉法與龍格庫塔法比較分析

1、解微分方程的歐拉法，龍格-庫塔法簡單實例比較歐拉方法（euler method)用以對給定初值的常微分方程(即初值問題)求解分為前euler法、后退euler法、改進(jìn)的euler法。缺點：歐拉法簡單地取切線的端點作為下一步的起點進(jìn)行計算，當(dāng)步數(shù)增多時，誤差會因積累而越來越大。因此歐拉格式一般不用于實際計算。改進(jìn)歐拉格式（向前歐拉公式）：為提高精度，需要在歐拉格式的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。采用區(qū)間兩端的斜率的平均值作為直線方程的斜率。改進(jìn)歐拉法的精度為二階。算法：微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導(dǎo)數(shù)項，數(shù)值解法的第一步就是設(shè)法消除其導(dǎo)數(shù)值。對于常微分方程： 可以將區(qū)間分成段，那么方程在第點有，再用向前差商

2、近似代替導(dǎo)數(shù)則為：在這里，是步長，即相鄰兩個結(jié)點間的距離。因此可以根據(jù)點和的數(shù)值計算出來：這就是向前歐拉公式。改進(jìn)的歐拉公式：將向前歐拉公式中的導(dǎo)數(shù)改為微元兩端導(dǎo)數(shù)的平均，即上式便是梯形的歐拉公式?？梢?，上式是隱式格式，需要迭代求解。為了便于求解，使用改進(jìn)的歐拉公式：數(shù)值分析中，龍格庫塔法（runge-kutta）是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。實際上，龍格-庫塔法是歐拉方法的一種推廣，向前歐拉公式將導(dǎo)數(shù)項簡單取為,而改進(jìn)的歐拉公式將導(dǎo)數(shù)項取為兩端導(dǎo)數(shù)的平均。龍格-庫塔方法的基本思想：在區(qū)間內(nèi)多取幾個點，將他們的斜率加權(quán)平均，作為導(dǎo)數(shù)的近似。龍格庫塔法的家族中的一個成員如

3、此常用，以至于經(jīng)常被稱為“rk4”或者就是“龍格庫塔法”。令初值問題表述如下。則，對于該問題的rk4由如下方程給出：其中這樣，下一個值由現(xiàn)在的值加上時間間隔和一個估算的斜率的乘積決定。該斜率是以下斜率的加權(quán)平均：   是時間段開始時的斜率；   是時間段中點的斜率，通過歐拉法采用斜率來決定在點的值；   也是中點的斜率，但是這次采用斜率決定值；   是時間段終點的斜率，其值用決定。當(dāng)四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權(quán)值：rk4法是四階方法，也就是說每步的誤差是階，而總積累誤差為階。注意上述公式對于標(biāo)量或者向量函數(shù)(可以是向量)都適用。例子：下面給出了數(shù)值求解該微分方程的簡單程序。其中分別為向前歐拉公式，改進(jìn)的歐拉公式，4級4階龍格-庫塔公式及精確解。結(jié)果分析：圖1中顯示在時，3種算法與精確值較接近，即誤差不大，但當(dāng)繼續(xù)增加時則4級4階龍格庫塔法較