加速度檢測儀數(shù)據(jù)校正數(shù)學建模論文

1、第七屆華中地區(qū)大學生數(shù)學建模邀請賽承 諾 書我們仔細閱讀了第七屆華中地區(qū)大學生數(shù)學建模邀請賽的競賽細則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們的參賽報名號為：參賽隊員 (簽名) ： 武漢工業(yè)與應用數(shù)學學會第七屆華中地區(qū)大學生

2、數(shù)學建模邀請賽組委會第七屆華中地區(qū)大學生數(shù)學建模邀請賽編 號 專 用 頁選擇的題號：參賽的編號： （以下內容參賽隊伍不需要填寫） 競賽評閱編號： 23第七屆華中地區(qū)大學生數(shù)學建模邀請賽題目： 加速度檢測儀數(shù)據(jù)校正 【摘 要】本文討論了加速度檢測儀數(shù)據(jù)校正的問題,首先建立一個模型通過數(shù)值積分的方法求解出聲屏障的速度與位移,并且做出了它們分別與時間的函數(shù)關系,發(fā)現(xiàn)與實際情況不相符合,也就是存在著誤差。然后我們通過模型的建立求解出仿真的加速度與時間的關系,此時我們采用了誤差理論里的經(jīng)驗公式進行嚴格計算得出加速度與時間的函數(shù)關系以及擬合曲線。在求解過程中,我們主要運用Excel對數(shù)據(jù)進行了分析以及SP

3、SS為輔助分析得出能很好反應出加速度與時間關系的時間段，接著用嚴格計算法求出加速度與時間的最佳配合次數(shù)，從而求解出它們之間的關系。我們利用求解出來的加速度數(shù)值積分仿真出速度與位移，與原始數(shù)據(jù)所得到的曲線相比較，分析出系統(tǒng)誤差與隨機誤差。在問題二中，通過對原始數(shù)據(jù)數(shù)值積分得到的速度圖像可以觀察到速度在開始階段成線性增長,由于誤差是累積的,所以可以推測原始加速度的系統(tǒng)誤差是一個常數(shù),然后對原始數(shù)據(jù)通過增加修正值進行校正。對校正后的數(shù)據(jù)進行最小二乘法擬合,以消除隨機誤差，使得速度與位移的計算結果基本符合物體運動事實。而在問題三中，是對模型的推廣與運用，在問題二中，由于原始數(shù)據(jù)的規(guī)律性，我們直接采用了

4、增加修正值得方法和最小二乘法就將速度與位移的系統(tǒng)誤差與隨機誤差進行了校正，因此若用加速度檢測儀測出的數(shù)據(jù)也具有這樣的規(guī)律性，我們也可以采用這種方法進行校正，但若更普遍性，我們可以采用加速度修正算法也就是對其主要產生系統(tǒng)誤差的因素進行校正，同時利用卡爾曼濾波將隨機誤差進行最大程度的消除，最后將改進的應用在各個領域中。 本文分為兩個部分：第一部分是問題重述；第二部分是對問題1，問題2，問題3的數(shù)學模型以及求解，從而分析出系統(tǒng)誤差與隨機誤差，并接著對其進行校正使之基本符合事實，最后進行推廣與應用。關鍵字：數(shù)值積分，時域積分，修正值，卡爾曼濾波模型，最小二乘法一：問題重述聲屏障是一種控制鐵路、公路、高

5、速鐵路等各種道路行車對周圍環(huán)境的噪聲污染有效措施之一，隨著列車的大幅度加速，脈動風交替出現(xiàn)在列車兩側，從而引起對聲屏障的拉壓作用，聲屏障發(fā)生擺動。正常狀態(tài)下，聲屏障的擺動應當在一定的范圍內，當超過正常范圍則需要對其進行加固維修。由于聲屏障維修或重建費用高昂，故需聲屏障檢測儀對聲屏障的工作狀態(tài)進行檢測，有針對性的對聲屏障進行維修。然而，聲屏障檢測儀是通過加速度傳感器記錄屏障震動所產生的加速度的數(shù)值，而在試驗中，傳感器測得的數(shù)值會存在誤差，由于我們是通過測得的加速度的數(shù)據(jù)，利用數(shù)值積分的方法求出速度和位移，將此位移轉化為震動的位移，從而對聲屏障的狀態(tài)進行，因此誤差的存在就會結果有一個累積的效應。故

6、而在測得數(shù)據(jù)后，需要經(jīng)過系統(tǒng)誤差校正、隨機誤差數(shù)據(jù)濾波等對數(shù)據(jù)進行校正。二：數(shù)學建模和問題求解（一） 問題11.1問題分析在本題實例中，我們發(fā)現(xiàn)計算出來的速度波形與位移波形偏離了實際。理論上單方向從A點運動至B點，速度的變化是先快速增大，緩慢達到極值，速度下降由慢到快，直至速度降為0。而由此加速度數(shù)據(jù)計算的速度數(shù)據(jù)，下降后速度小于0（如圖1.221）。由位移圖形圖1.222可看出物體后期將一直勻速運動下去，也與實際不符。這是由于在試驗中傳感器測得的數(shù)據(jù)有誤差，從而我們知道本題中所給的三組在正常狀態(tài)下的數(shù)據(jù)是有一定誤差的，所以我們需要建立一個數(shù)學模型擬合出加速度與時間的關系，通過數(shù)值積分的方法計

7、算出速度與位移，然后作出加速度與時間的曲線與實際測得的數(shù)據(jù)所作出的曲線相比較，分析出誤差。1.2符號說明：各點加速度 ：多項式中每一項時間的函數(shù)：每一小份的矩形面積 ：多項式中每一項的系數(shù)：每點的速度 ：配合次數(shù)：每時刻對應的時間 ：第i次F分布：每一小份的位移 ：第i次配合殘差：加速度與時間的函數(shù)關系1.3模型假設1.假設儀器設備良好，測量方法正確。2.假設聲屏障只受脈動風的作用，其間不受其他外力作用。3.假設實驗數(shù)據(jù)中的加速度是等精確的。1.4模型建立與求解1.4.1數(shù)值積分求解速度與位移根據(jù)測試得到的加速度信號，按照數(shù)值積分算法(如矩形公式、辛普森公式、牛頓一科特斯公式、復化梯形公式等)

8、進行一次積分得到數(shù)值速度信號，進行兩次積分得到的位移信號，現(xiàn)在我們采用矩形公式進行積分計算，求得的結果如圖1-1和1-2:第i個加速度數(shù)據(jù)其矩形面積為第i個速度第i個位移圖1.1：數(shù)值積分算法求得的a到b速度 圖1.2：數(shù)值積分算法得到的a到b位移1.4.2建立模型進行仿真計算由于兩量關系y=f(x)可按泰勒級數(shù)展開為冪，即，也就是再用求解該多項式最佳配合的次數(shù)。由于 (1.1)配合,用契貝雪夫多項式，,代替1,即 (1.2)先取m=0配合數(shù)據(jù)，然而由于所測得的數(shù)據(jù)過多，并且從題目中的例子可以看出開始物體并沒有運動后期物體停止了運動，并且通過運用excel進行全部數(shù)據(jù)和部分數(shù)據(jù)的多次擬合，（如

9、圖1-3和1-4） 圖1.3：A到B加速度的測量數(shù)據(jù)分布圖圖1-4：A到B加速度的部分數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)只需要采取有效的一段數(shù)據(jù)進行擬合，所得到的曲線效果更好，因此我們取了曲線與x軸的交點附近的大概值，又曲線大致具有對稱性，因此我們選取了807-927之間的120個數(shù)據(jù)（計算數(shù)據(jù)見附表1），當 (1.3) 于是經(jīng)驗公式為0次時，其形式為 (1.4)且 (1.5)又設經(jīng)驗公式為1次，因 (1.6) (1.7)故經(jīng)驗公式為1次時 (1.8) (1.9)此時判斷是否足以配合數(shù)據(jù)，因取信度，由F分布可查得=3.92其中表參數(shù)時的值因故 不足以配合數(shù)據(jù)。為檢驗 是否足以配合數(shù)據(jù)，繼續(xù)求二次多項式，因 (1.1

10、0) (1.11)故經(jīng)驗公式為2次時 (1.12)現(xiàn)檢驗是否足以配合數(shù)據(jù)，因 (1.13)由此可看出經(jīng)驗公式取一次多項式也不足以配合，同時我們也作出它的一次擬合圖像1-5，圖1-5因此繼續(xù)求三次多項式，因 (1.14) (1.15)故經(jīng)驗公式為3次時 (1.16) (1.17)現(xiàn)檢驗 是否足以配合數(shù)據(jù)，因由此又得出經(jīng)驗公式取二次仍然不足以配合，同時我們也作出了二次擬合圖像，如下圖1-6圖1-6為檢驗是否足以配合數(shù)據(jù)，繼續(xù)求四次多項式，因 (1.18) (1.19)故檢驗公式為4次時 (1.20) (1.21)先檢驗 是否足以配合數(shù)據(jù)，因由上可發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗公式取三次多項式足以，因此我們由此擬合出三次

11、多項式的曲線。如下圖1-7所示。 圖1-7利用加速度數(shù)值積分求解出仿真后的速度與位移，如圖1-8圖1-8現(xiàn)在做出原速度，原位移的圖像，如圖1-9所示圖1-9從曲線中我們可以看出加速度傳感器即聲屏障檢測儀測出的數(shù)據(jù)存在著明顯誤差，原速度曲線與仿真后的速度相比有一定的波動，也就是存在一定的誤差。同時，我們開始對全部數(shù)據(jù)進行分析時，由加速度與時間的數(shù)據(jù)分布圖我們也不難發(fā)現(xiàn)其曲線所圍成的面積也就是物體的速度并不等于0即x軸上面所圍的面積小于下方的，與事實不吻合，位移也是偏離了實際。無論A到B單方向還是C到D雙方向，還是E到F來去兩次，它們每段曲線大致趨勢一樣，因此上面我們對A到B單方向進行了曲線刻畫，

12、并從中得出數(shù)據(jù)存在著明顯的誤差，由此從隨機誤差和系統(tǒng)誤差兩個角度進行誤差分析：1.5誤差分析1.5.1系統(tǒng)誤差具有確定性的變化規(guī)律，即對測量結果的影響有一定的規(guī)律，且在一定的時間里具有相對的穩(wěn)定性。在聲屏障檢測儀中主要是加速度傳感器誤差。該類誤差由加速度傳感器引起，其中主要包括:（1）系統(tǒng)隨機噪聲;在硅電容式加速度傳感器中，主要的隨機噪聲主要包括機械領域的隨機噪聲和電路中隨機噪聲。機械領域的隨機噪聲主要為加速度傳感器彈性系統(tǒng)布朗噪聲。電路中的主要隨機噪聲主要來源于熱量有關的耗散過程產生的漲落;與雜散微粒流動相關產生的漲落;與微粒在流動中的釋放與捕獲相關的漲落。電路中的隨機噪聲主要為: a)熱噪

13、聲。 b)閃爍噪聲。 c)散粒噪聲。（2）加速度傳感器制造誤差。此類誤差主要由加速度傳感器的制造工藝引起;（3）加速度測量誤差以及由傳感器動態(tài)性引起的誤差。此類誤差與1VMS系統(tǒng)的靈敏度、電容轉換效率有關;（4）環(huán)境因素引起的誤差。如測量環(huán)境溫度變化、磁場影響等帶來的非線性誤差。1.5.2隨機誤差分析隨機誤差具有不確定性，較為復雜，可能是由加速度數(shù)據(jù)傳輸丟包、重傳等造成的最后的計算結果出現(xiàn)誤差。該類誤差主要是由于通信過程中數(shù)據(jù)丟失、重發(fā)等現(xiàn)象導致的誤差。然而通過對加速度擬合曲線和原數(shù)據(jù)還觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)原數(shù)據(jù)的那些散點均勻分布在擬合曲線兩側，由此推測隨機誤差大致符合正態(tài)分布。（二）問題2.1

14、問題2的分析根據(jù)我們得到了誤差分析結果。此外，由于積分運算特性，系統(tǒng)中的誤差會隨著積分運算過程不斷累積，從而尋致每一個微小的加速度數(shù)據(jù)誤差將累積引起最終積分運算結果巨大誤差。我們需要再建一個新的模型對誤差進行校正，通過模型的計算盡量消除系統(tǒng)誤差與隨機誤差，使得我們在問題1建立的加速度與時間的模型更加符合事實因此我們通過加修正值消除系統(tǒng)誤差，利用最小二乘法減少隨機誤差。2.2符號說明：加速度信號：速度信號 v'(t)：速度的原函數(shù)：位移信號 s'(t)：位移的原函數(shù)：初速度 ：初位移：直流誤差項 ：一次誤差項的常數(shù)：二次誤差項的常數(shù) ：所有數(shù)據(jù)數(shù)：加速度在未受到車輛經(jīng)過影響前的數(shù)

15、據(jù)平均值：車輛開始影響的時刻 ：車輛停止影響的時刻 ：所有數(shù)據(jù)數(shù) ：校正后的加速度2.3模型假設1加速度是連續(xù)變化的2.4模型建立與求解2.4.1系統(tǒng)誤差校正誤差校正就是要校正測量結果中的大部分系統(tǒng)誤差的成分，并盡可能校正其隨機誤差成分。然而，系統(tǒng)誤差校正關鍵在于通過何種誤差分離技術，將其分離出來進行。在整個量程范圍內對被測量的結果的值進行校正，需要根據(jù)離散采樣獲得有限誤差值從而進行誤差校正，即擬合為一定的誤差曲線，以滿足對任意測量值進行誤差校正，現(xiàn)在我們利用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差。 假設測試得到的加速度信號為a(t)，則經(jīng)過一次得到的速度信號為: (2.1)經(jīng)過兩次時域積分得到的位移信號

16、為: (2.2)式中 ，分別為初速度和初位移，v(t), s(t)為理論待求速度和位移，v'(t), s'(t)為速度和位移的原函數(shù)。實際工程測量得到的加速度信號中包含由各種干擾因素引起的直流誤差項，所以測量得到的加速度信號為: (2.3)對上訴加速度信號進行一次積分，得到速度信號的表達式為: (2.4)誤差項在積分運算中被逐漸放大，同時由于積分初值無法確定，因此加速度時域一次積分結果中含有一次誤差項通過兩次積分所得位移信號的表達式為: (2.5)由于誤差項。在積分過程中逐漸被放大，導致在一次積分得到位移信號時出現(xiàn)了一次誤差趨勢項，在二次積分得到位移信號時出現(xiàn)了二次誤差趨勢項。

17、通過對原始數(shù)據(jù)圖形進行觀察，發(fā)現(xiàn)積分求得的速度在車輛未經(jīng)過和經(jīng)過后對其無影響時是呈線性增長，也就是存在一個誤差 。我們不妨先假設為一個常數(shù)，以到為例進行說明。圖1-10先求加速度在未受到車輛經(jīng)過影響前的數(shù)據(jù)平均值k1 (2.6)將所有原始數(shù)據(jù)減去k1，即 (2.6)對改正后數(shù)據(jù)進行數(shù)值積分，求得對應速度。作出對應圖像。如excel.k1中圖1-11發(fā)現(xiàn)在前期與軸重合較好，但是車輛影響后的部分，雖與軸平行，但是在軸下方，距離較大。說明常數(shù)消除只對部分有效。分析可知，在車輛經(jīng)過時，還存在一個誤差。也就是對數(shù)據(jù)要分段處理誤差常數(shù)。車輛經(jīng)過路段的數(shù)據(jù)平均值對原始數(shù)據(jù)分段處理，到和到減去，到減去。得到改

18、正數(shù)據(jù)。對其進行數(shù)值積分，求得對應速度。作出對應圖像，如圖1-12發(fā)現(xiàn)圖像符合理想情況。進一步作出位移圖像，發(fā)現(xiàn)依然符合理想情況（如圖1-13）。圖1-12圖-13由于，的確定是依據(jù)原始數(shù)據(jù)，而原始數(shù)據(jù)有誤差，所以，的取值必然也存在誤差，但是在前期數(shù)據(jù)處理時，由于數(shù)據(jù)采樣比較密集，所以影響不大。在消除誤差后，可以對，的值進行修正。多次重復用上述方法消除誤差。因此可以得出：此加修正值誤差校正法可以達到誤差校正的目的。2.4.2隨機誤差的校正由于上面我們對系統(tǒng)誤差進行了校正，所以只剩下隨機誤差。而前面1-7中已經(jīng)分析出其隨機誤差服從正態(tài)分布。由于加速度連續(xù)變化，通過最小二乘法，可以擬合出一條曲線。

19、這條曲線就是消除了隨機誤差后的數(shù)據(jù)曲線。求出曲線的表達式，就可以對任意時刻的加速度求解。對連續(xù)的數(shù)據(jù)進行一次積分和二次積分就可以得出其連續(xù)的速度和位移。（三）問題33.1問題3分析通過前面對加速度的校正，我們利用盡可能地消除了系統(tǒng)誤差通過最小二乘法減少隨機誤差，使速度與位移符合實際情況。但是在問題2中我們是通過分析圖形的規(guī)律性對其校正，然而大多數(shù)的加速度檢測儀可能測出的數(shù)據(jù)并不是這樣的規(guī)律。推廣到更普遍的系統(tǒng)誤差，我們可以從它的主要因素來考慮?，F(xiàn)在我們需要找出其一般規(guī)律使加速度檢測儀檢測其他數(shù)據(jù)時也能運用上去，使之更加完善。3.2模型假設1假設不考慮一些認為的或其它的一些因素，在理想狀態(tài)下。3

20、.3符號說明：加速度傳感器的實際輸出值 ：位移積分：加速度傳感器的理想輸出值。 ：標定誤差，：加速度傳感器的實際輸出值與理想輸出值 ：溫度誤差：曲線斜率 ：加速度傳感器的靈敏度：加速度傳感器輸出數(shù)值：加速度傳感器處于沒有物體通過狀態(tài)下的原始輸出數(shù)值：加速度傳感器在溫度T時的綜合補償誤差 ：加速度傳感器在溫度T時的實際輸出：加速度傳感器在溫度T時的原始輸出3.4模型推廣與運用3.4.1系統(tǒng)誤差由于系統(tǒng)誤差的主要引起原因是加速度傳感器，因此我們主要考慮由其所引起的誤差，在對于其他加速度所測的數(shù)據(jù)進行校正時，我們可以對，從而用數(shù)值積分求得速度與加速度。加速度數(shù)值修正的算法設計 假設在理性情況下，加速

21、度傳感器的輸入輸出特性應滿足線性關系。圖4-3為該種情況下輸入輸出曲線。理想情況下，輸入加速度(即系統(tǒng)運動加速度)與加速度傳感器輸出加速度應為一條斜率為1且過原點的直線。然而，由于受溫度、重力場、機械特性等因素影響，加速度傳感器存在著巨大非線性誤差。從而導致加速度傳感器的輸入輸出曲線并不是一條直線，且該曲線也并不過原點。該曲線在Y軸上的截距為加速度傳感器的溫度與標定補償誤差，輸出曲線與理性直線之間的差值即為加速度傳感器的非線性誤差。 圖4-3 輸入輸出曲線 現(xiàn)在提出了一種線性的補償方法。依據(jù)該情況下輸入輸出曲線，提出了基于加速度傳感器非線性特性的加速度數(shù)值修正算法。 在此系統(tǒng)中，為簡化計算，將

22、曲線AB近似看做斜率為k的直線. 令， 由幾何關系 (3.1)得系統(tǒng)在j時刻的理想加速度為 (3.2) 基于4-15式，對每一個存在誤差的輸出加速度進行修正和補償之前，必須知道k的數(shù)值。k值的求取過程如下:設標定過程中，加速計位移為S，需修正的x個加速度為，相對應的精確值為，。由位移積分計算式 (3.3)得 (3.4) (3.5)根據(jù)幾何關系得: (3.6)聯(lián)合式4-17, 4-18得: (3.7)在標定過程中，己知S, a和n個加速度輸出值，則k值可由式4-19解出(當在規(guī)定的范圍時，將k=1代入計算過程)。在以后的實驗中，所有超出所規(guī)定范圍之外的讀數(shù)都將被認為存在誤差，需根據(jù)式4-21來求

23、出近似理想的加速度。針對其它加速計，該加速度修正方法仍可適用。當曲線AB不為直線時，可將曲線AB分解為n段小直線，斜率分別為, 。增加標定實驗的次數(shù)n，由式4-19得到一個關于看, 的n元方程組4-20 (i的取值與所在的直線段對應)，所有的值可以通過解方程組求出。 . (3.8) 加速度傳感器補償誤差主要由標定誤差和溫度誤差組成，根據(jù)加速度傳感器特性，標定誤差和溫度誤差計算如下式所示: (3.9) (3.10)綜合上式得加速度傳感器的綜合誤差補償式為: (3.11)根據(jù)加速度傳感器的非線性特性和誤差補償，可得加速度傳感器在外界溫度為T時的理想輸出為: (3.12)因此對于加速度傳感器測得的其

24、他數(shù)據(jù)若與問題二的系統(tǒng)誤差變化規(guī)律相似我們可以運用問題二增加修正值得方法進行消除校正，若不相似我們用此加速度修正算法進行校正。3.4.2隨機誤差在該實驗中我們觀察到隨機誤差是較均勻分布，也就是服從正態(tài)分布，但對于其他的數(shù)據(jù)可能并不服從，有一定的局限性，而且隨機誤差分析較為復雜，沒有什么規(guī)律性。因此我們可以采用卡爾曼濾波器進行濾波，因為它能有效地濾除系統(tǒng)隨機誤差，并且卡爾曼濾波器適合于隨機系統(tǒng)，它能將僅與部分狀態(tài)有關的測量值進行處理，得出具有誤差均方最小的更多狀態(tài)的估計值。它是通過利用加速度傳感器溫度補償、標定補償和非線性補償?shù)确绞?，系統(tǒng)減小了該類非線性誤差。3.4.3改進加速度檢測儀的應用在已知其理想結果的測量中，我們可以通過對數(shù)據(jù)進行改正，對其處理結果和理想結果比較，以理想結果作為參照目標。同時，經(jīng)過對問題一的誤差分析，我們初步建立了合適的數(shù)學模型，為了使模型更加符合出實際情況，我們又對模型進行了校正，使模型更具有實際可行性。在進行推廣中我們又建立了加速度修正的算法模型和運用卡爾曼濾波器對數(shù)據(jù)進行校正。我們知道加速度檢測儀主要元件是靠其加速度傳感器，加速度檢測儀的原始算法雖然只有一定的系統(tǒng)誤差和隨機誤差，但在最后需要通過加速度關系來計算得出的速度關系和位移關系時