中考壓軸題(二次函數)之【由面積產生的函數關系問題】精品解析

1、中考壓軸題之【由面積產生的函數關系問題】精品解析中考壓軸題（二次函數）之【由面積產生的函數關系問題】精品解析【例1】2013年菏澤市中考第21題如圖1， ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數的圖像與y軸、x軸的交點，點B在二次函數的圖像上，且該二次函數圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形（1）試求b、c的值，并寫出該二次函數的解析式；（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：當P運動到何處時，由PQAC？當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最??？此時四邊形PDCQ的面積是多少？圖1 思路點撥1求拋物線的解析式需要代入B、D兩點的坐

2、標，點B的坐標由點C的坐標得到，點D的坐標由ADBC可以得到2設點P、Q運動的時間為t，用含有t的式子把線段AP、CQ、AQ的長表示出來3四邊形PDCQ的面積最小，就是APQ的面積最大滿分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C關于OA對稱，所以B(4,0)，BC8因為AD/BC，ADBC，所以D(8,3)將B(4,0)、D(8,3)分別代入，得解得，c3所以該二次函數的解析式為（2）設點P、Q運動的時間為t如圖2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO當PQAC時，所以解得圖2 圖3如圖3，過點Q作QHAD，垂足為H由于SAPQ，SACD，所以S四邊形PD

3、CQSACDSAPQ所以當AP時，四邊形PDCQ的最小值是考點伸展如果把第（2）題改為“當P運動到何處時，APQ是直角三角形？”除了PQAC這種情況，還有QPAD的情況這時，所以解得（如圖4所示）圖4【例2】 2012年廣東省中考第22題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，聯(lián)結BC、AC（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作BC的平行線交AC于點D設AE的長為m，ADE的面積為s，求s關于m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的

4、圓的面積（結果保留）圖1思路點撥1ADE與ACB相似，面積比等于對應邊的比的平方2CDE與ADE是同高三角形，面積比等于對應底邊的比滿分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如圖2，因為DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范圍是0m9圖2 圖3（3）如圖2，因為DE/CB，所以因為CDE與ADE是同高三角形，所以所以當時，CDE的面積最大，最大值為此時E是AB的中點，如圖3，作EHCB，垂足為H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，當E與BC相切時，所以考點伸展在本題中，CDE與BEC能否相似？如圖2，雖然CEDBC

5、E，但是BBCAECD，所以CDE與BEC不能相似【例3】 2012年河北省中考第26題如圖1，圖2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如圖1，AHBC于點H，則AH_，AC_，ABC的面積SABC_拓展 如圖2，點D在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F設BDx，AEm，CFn（當點D與點A重合時，我們認為SABD0）（1）用含x，m或n的代數式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)與x的函數關系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現 請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線

6、的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個最小值圖1 圖2答案 探究 AH12，AC15，SABC84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC邊上的高，所以x的取值范圍是x14所以(mn)的最大值為15，最小值為12（3）x的取值范圍是x或13x14發(fā)現 A、B、C三點到直線AC的距離之和最小，最小值為【例4】 2011年淮安市中考第28題如圖1，在RtABC中，C90°，AC8，BC6，點P在AB上，AP2點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點

7、B時停止，點E也隨之停止在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與ABC在線段AB的同側設E、F運動的時間為t秒(t0)，正方形EFGH與ABC重疊部分的面積為S （1）當t1時，正方形EFGH的邊長是_；當t3時，正方形EFGH的邊長是_；（2）當1t2時，求S與t的函數關系式；（3）直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？圖1思路點撥1全程運動時間為8秒，最好的建議就是在每秒鐘選擇一個位置畫8個圖形，這叫做磨刀不誤砍柴工2這道題目的運算太繁瑣了，如果你的思路是對的，就堅定地、仔細地運算，否則放棄也是一種好的選擇滿分解答（1）當t1時，EF2；當t3時

8、，EF4（2）如圖1，當時，所以如圖2，當時，于是，所以如圖3，當時，所以圖2 圖3 圖4（3）如圖4，圖5，圖6，圖7，重疊部分的最大面積是圖6所示的六邊形EFNDQN，S的最大值為，此時圖5 圖6 圖7考點伸展第（2）題中t的臨界時刻是這樣求的：如圖8，當H落在AC上時，由，得如圖9，當G落在AC上時，由，得圖8 圖9【例5】 2011年山西省中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形直線l經過O、C兩點，點A的坐標為(8，0)，點B的坐標為(11，4)，動點P在線段OA上從O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿ABC的方向

9、向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線OCB相交于點M當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒（t0），MPQ的面積為S（1）點C的坐標為_，直線l的解析式為_；（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍（3）試求題（2）中當t為何值時，S的值最大？最大值是多少？圖1思路點撥1用含有t的式子表示線段的長，是解題的關鍵2第（2）題求S與t的函數關系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情況3第（2）題建立在第（2）題的基礎上，應用性質判斷圖象的最高點，運算比較繁瑣滿分解答（1）點C的坐標為(3，4)，直線l的解析式為（2）當M

10、在OC上，Q在AB上時，在RtOPM中，OPt，所以在RtAQE中，AQ2t，所以于是因此當M在OC上，Q在BC上時，因為，所以因此當M、Q相遇時，根據P、Q的路程和，解得因此當M、Q都在BC上，相遇前，PM4，所以圖2 圖3 圖4（3）當時，因為拋物線開口向上，在對稱軸右側，S隨t的增大而增大，所以當時，S最大，最大值為當時，因為拋物線開口向下，所以當時，S最大，最大值為當時，因為S隨t的增大而減小，所以當時，S最大，最大值為14綜上所述，當時，S最大，最大值為考點伸展第（2）題中，M、Q從相遇到運動結束，S關于t的函數關系式是怎樣的？此時， 因此圖5【例6】 2011年重慶市中考第26題如

11、圖1，矩形ABCD中，AB6，BC，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP3一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊EFG，使EFG和矩形ABCD在射線PA的同側設運動的時間為t秒（t0）（1）當等邊EFG的邊FG恰好經過點C時，求運動時間t的值；（2）在整個運動過程中，設等邊EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；（3）設EG

12、與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使AOH是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由 圖1思路點撥1運動全程6秒鐘，每秒鐘選擇一個點F畫對應的等邊三角形EFG，思路和思想以及分類的標準盡在圖形中2用t表示OE、AE、EF、AH的長，都和點E折返前后相關，分兩種情況3探求等腰三角形AOH，先按頂點分三種情況，再按點E折返前后分兩種情況4本題運算量很大，多用到12，注意對應關系不要錯亂滿分解答（1）在RtABC中，所以BAC30°如圖2，當等邊EFG的邊FG恰好經過點C時，在RtBCF中，BFC60°，BC=，所以BF2因此PF321，運動時間t1 圖2（2）如圖3，當0t1時，重疊部分為直角梯形BCNE，如圖4，當1t3時，重疊部分為五邊形BQMNE，如圖5，當3t4時，重疊部分為梯形FMNE，如圖6，當4t6時，重疊部分為等邊三角形EFG，圖3 圖4 圖5（3）等腰AOH分三種情況：AOAH，OAOH，HAHO在AOH中，A30°為定值，AO3為定值，AH是變化的AEH的形狀保持不變，A