5.1平面向量的概念及線性運算教師(一)解析

1、第1頁共 15 頁5.1 平面向量的概念及線性運算【2014 高考會這樣考】1考查平面向量的概念、線性運算；2考查向量運算的幾何意義，向量共線的應用.【復習備考要這樣做】1重視向量的概念，熟練掌握向量加減法及幾何意義；2理解應用向量共線和點共線、直線平行的關系.I要點梳理I1 .向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量； 向量的大小叫作向量的長度（或稱模）平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0一單位向量長度等于 1 個單位的向量片a非零向量a的單位向量為士皐a平行向量方向相同或相反的非零向量10 與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫作共線向量

2、相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0 的相反向量為 02.向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算力、aa交換律：a a+ b b= b b+ a a.結(jié)合律：(a a+ b b) + c c= a a+ (b b+ c c).減法求 a a 與 b b 的相反向量一 b b 的和的運算叫a a b b= a a+ ( b b)第2頁共 15 頁作 a a 與 b b 的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)X與向量 a a 的積的運算| |掃掃| |=| |陽陽| |;當X0 時，X的方向與 a a 的方向相同；

3、 當X0 時，掃的方向與 a a 的方向相反；當X=0 時，X =0X=入灌；（入 +a a = =掃掃 + ；Xa a+b b）= X +X X）3.共線向量定理a a 是一個非零向量，若存在一個實數(shù)入使得 b b= :a,則向量 b b 與非零向量 a a 共線.難點正本疑點清源1.向量的兩要素向量具有大小和方 向兩個要素用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關 系.同向且等長的有向線段都表示同一向量.2.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的 向量.3.證明三點共線問題， 可用向量共線來解決， 但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系, 當兩向

4、量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直 線平行，必須說明這兩條直線不重合.I基礎自測1. 若 a a =向東走 8 km”，b b=向北走 8 km，貝 U |a a + b b| =_; a a + b b 的方向是I.答案 82 東北方向解析 根據(jù)向量加法的幾何意義，|a a+ b b 表示以 8 km 為邊長的正方形的對角線長， |a a+ b b|= 8,2, a a+ b b 的方向是東北方向.如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 為 DC 邊的中點,AD = b b,貝 U BE =_ .1答案 b b 2 a a且 AB= a a,2.第3頁共 1

5、5 頁有ir即觀察選項易知C滿足題意.題型一平面向量的概念辨析【例 1】給出下列命題：1_若a a= b b,貝 U a a= b b;若 A, B, C, D 是不共線的四點， 貝 U AB=DC 是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件； 若 a a= b b, b b= c,c,則 a a= c;c;a a = b b 的充要條件是a a=b b且 a a / b b. 其中正確命題的序號是.1 解析 BE= BA +AD+ 1DC1 1=-a a+ b b+ 2a a= b bqa a.3.已知 D 為三角形 ABC 邊 BC 的中點，點 P 滿足PA+ BP+ CP= 0, AP

6、= ?PD，則實數(shù) 入 的值為_ .答案2A解析如圖所示，由AP= ?PD，且PA+EP+CP= 0,貝 yP是以 AB、2.已知 O 是厶 ABC 所在平面內(nèi)一點，D 為 BC 邊的中點，且 2OA + OB+ OC= 0,那么（A. AO=ODB.AO = 2ODC.AO = 3ODD. 2AO= OD答案解析 由 2OA+ OB + OC = 0 可知，O 是底邊 BC 上的中線 AD 的中點，故 AO = OD.(2012 四川）設 a a、b b 都是非零向量，下列四個條件中，使i=常成立的充分條件是（A . a a= b ba a / b bC. a a = 2b ba a / b

7、 b 且|a a|= |b b|答案 Ca a解析 a a 表示與a同向的單位向量,器示與b同向的單位向量，只要a與b同向,AC 為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此AP= 2PD，貝y X=第4頁共 15 頁答案解析 不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.2正確./AB= DC , |AB|=|5C| 且 AB/DC,又/ A, B, C, D 是不共線的四點，四邊形 ABCD 為平行四邊形；反之，若四邊形 ABCD 為平行四邊形，則AB/ De 且 AB|=|DC|,因此，AB=DC.3正確./ a a = b b, a a, b b 的長度相等且方向相同；又 b b= c

8、c, b b, c c 的長度相等且方向相同， a a, c c 的長度相等且方向相同，故a a = c c.4不正確.當 a a / b b 且方向相反時，即使|a a|=|b b|,也不能得到 a a = b b,故|a a|=|b b|且 a a / b b” 不是“a a= b b”的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是.探究提高(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵.(2) 相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(3) 共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖像移動混為一談.

9、非零向量 a a 與看的關系：|0|0j 是 a a 方向上的單位向量.山“氓下列命題中正確的是()A . a a 與 b b 共線，b b 與 c c 共線，則 a a 與 c c 也共線B .任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C .向量 a a 與 b b 不共線，則 a a 與 b b 都是非零向量D .有相同起點的兩個非零向量不平行答案 C解析 由于零向量與任一向量都共線，所以A 不正確；由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，所以B 不正第5頁共 15 頁確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同

10、無關， 所以 D 不正確；對于 C,其條件以否定形式給出， 所以可從其逆否命題入手來考慮，假設 a a 與 b b 不都是非零向量，即 a a 與 b b 中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a a 與 b b 共線，符第6頁共 15 頁合已知條件，所以有向量a a 與 b b 不共線，則 a a 與 b b 都是非零向量，故選C.題型二 向量的線性運算【例 2 如圖，以向量OA= a a, OB= b b 為鄰邊作？OADB ,BM= CN，:3廣廣 ”* *=1CD，用 a a, b b 表示 OM ,ON, MN.思維啟迪：結(jié)合圖形性質(zhì)，準確靈活運用三角形法則和平行四邊

11、形法則是向量加減運算 的關鍵.解 / EA= OA - OB = a a b b, El =1EA =1a a-2 3b,b,OM = OB + BM = ia a+ 5b b.2112C.2b-1c0 尹+2c答案 A第7頁共 15 頁O O1O1O1OON=OC+ -CD=- OD+7OD2O22=3OD= 3a+3b，.MN = ON-OM = 3a a+ fb b-4511綜上，OM=1a a +5b b,ON=2a a+2b b, MN = 7a a -b.663326探究提高（1）解題的關鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個問題間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量

12、將加減法相互轉(zhuǎn)化.（2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置； 尋找相應的三角形或多邊形； 運用法則找關系； 化簡結(jié)果.繪式訂濟？ 在厶ABC中，AB= c c，AC= b b，若點D滿足 BD =2DC，則AD等于（）2 15 2A 2b+1cB.3c-?解析 /BD=2DC，. AD -AB=2（AC- AD）， 3AD = 2AC + AB，第8頁共 15 頁二 AD=3 正+1AB=知+3c c.題型三共線向量定理及應用【例 3】設兩個非零向量 a a 與 b b 不共線,(1)若 AB= a a+ b b, EBC= 2a a + 8b b, CD = 3(a

13、a-b b),求證：A、B、D 三點共線;試確定實數(shù) k,使 ka a+ b b 和 a a + kb b 共線.思維啟迪：解決點共線或向量共線的問題，要結(jié)合向量共線定理進行.BD = BC + CD = 2a a+ 8b b+ 3( a a b b)=2 a a + 8b b+ 3 a a 3 b b= 5( a a+ b b)= 5AB. A、B、D 三點共線.(2)解 / ka a+ b b 與 a a+ kb b 共線，存在實數(shù) 人 使 ka a+ b b=Xa a + kb b),即 ka a+b b= X + Xb b.(k Xa a=(X k-1)b b. a a、b b 是不共

14、線的兩個非零向量，k X= X 1=0, k21=0.k= 1.探究提高(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.(2)向量 a a、b b 共線是指存在不全為零的實數(shù)X,X，使Xa a+Xb b= 0 成立，若Xa a +Xb b= 0,當且僅當X= X=0 時成立，否則向量 a a、b b 不共線.壺九汕 I 沽鳥 設D、E、F分別是 ABC 的三邊 BC、CA、AB 上的點，且 DC = 2BD, CE =2EA, AF = 2FB，貝 V AD + BE+ CF 與 BC()A .反向平行B .同向平行

15、C .互相垂直D .既不平行也不垂直答案 A(1)證明/ AB = a a + b b, Be = 2a a+ 8b b,CD = 3(a a b b), AB、BD 共線，又它們有公共點B,第9頁共 15 頁解析 由題意，得 DC =DA+ AC,BD=BA+AD.第10頁共 15 頁又 DC = 2BD，所以DA+ AC = 2(BA + AD).，口宀1T2TT1T2T同理，得 BE = 3BC + 3BA, CF = 3CA+ 3CB.-T-T-T1 -T將以上三式相加，得 AD + BE + CF = -BC.故選 A.方程思想在平面向量的線性運算中的應用典例 4: (14 分)如圖

16、所示，在 ABO 中，OC =1OA, 0D = OB, AD 與BC相交于點 M，設 OA = a a, OB= b b.試用 a a 和 b b 表示向量 OM.審題視角(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.既然 OM 能用 a a、b b 表示，那我們不妨設出 OM = ma a + nb.b.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解.規(guī)范解答解設OM=ma a+ nb b,則 AM = OM OA = ma a+ n b b a a= (m- 1) a a+ nb b.TTT1 TT1AD = OD OA= ?OB OA=

17、 a a+ 尹3 分又A、M、D三點共線， AM與AD共線.存在實數(shù) t，使得AM= tAD,- (m 1)a a+ nb b= ta a + *tb.b.,消去 t 得，m 1 = 2n,即 m + 2n = 1.7 分即(m 1)a a+ n b b= t a a+分第11頁共 15 頁CB=B-C=b-4a=-4a+b.又 C、M、B 三點共線， CM 與 CB 共線.10 分存在實數(shù) X,使得 CM = tiCB,C i im4 =4tl44，消去 ti得，4m+ n=112 分小=t113T13由得 m= 7, n= 7, OM =尹 + 7b b.14 分溫馨提醒 （1）本題考查了

18、向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復雜，有一定的 難度.易錯點是，找不到問題的切入口，亦即想不到利用待定系數(shù)法求解.數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有形”的量，因此在解 決向量有關問題時，多數(shù)習題要結(jié)合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最 重要的方法與技巧.如本題易忽視A、M、D 共線和 B、M、C 共線這個幾何特征.（4）方程思想是解決本題的關鍵，要注意體會思想方法感悟提高方法與技巧1 .將向量用其它向量（特別是基向量）線性表示，是向量坐標形式的基礎.2 可以運用向量共線證明線段平行或三點共線.如 AB CD 且 AB 與 CD 不共線，則 AB /

19、 CD ;若 AB / BC,則 A、B、C 三點共線.失誤與防范1 .解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小， 更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2 .在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤.練出高分又/ CM =OM OC1ma a+ nb b 二a anb b.第12頁共 15 頁A 組專項基礎訓練（時間：35 分鐘，滿分：57 分）一、選擇題（每小題 5 分，共 20 分）1 .給出下列命題：1兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；2兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?掃=

20、0（入為實數(shù)），則入必為零；4人為實數(shù)，若/a/a= b b，貝 U a a 與 b b 共線.其中錯誤命題的個數(shù)為A . 1B. 2C. 3D. 4答案 C解析 錯，由于終點相同，兩起點不一定相同，所以可以不共線.2對，由于模是實數(shù)，所以可以比較大小.3錯，由于 a a = 0,苗 0 時，也可以得 掃=0.4錯，當 匕尸 0 時，雖然?a=向，但是 a a 與 b b 可以不共線.2 .設 P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點，EBC+ BA = 2BP，貝 VA. PA + PB= 0B.PC + PA= 0C.PB + PC= 0D.PA + PB + PC = 0答案 B解析 如圖，根

21、據(jù)向量加法的幾何意義有BC+BA= 2BP?P是AC 的中點，故 PA+ PC = 0.3.已知向量 a a, b b 不共線，c c= ka a+ b b (k R R), d d= a a b b.如果 c c/ d d,A . k= 1 且 c c 與 d d 同向B. k = 1 且 c c 與 d d 反向C. k= 1 且 c c 與 d d 同向D . k= 1 且 c c 與 d d 反向答案 D解析/ c/c/ d d, c c= ?d?d,k =入錯誤命題個數(shù)為 3.（ ）那么（）第13頁共 15 頁即 ka a+b b= Xa ab b), 丨I.匕一 14.（2011

22、四川）如圖，正六邊形 ABCDEF 中，BA + CD + EF 等于（B.BEC.ADD.CF答案 D解析因 ABCDEF 是正六邊形,故 BA + CD + EF = DE + CD + EF = CE + EF = CF .二、填空題（每小題 5 分，共 15 分）5.設 a a、b b 是兩個不共線向量，AB = 2a a+ pb b,BC= a a + b b, CD = a a 2b,b,若 A、B、D 三點共線，則實數(shù) p 的值為_ .答案 1解析 / BD = BC+CD= 2a a b b,又 A、B、D 三點共線，T Tf2=2入存在實數(shù) 人使 AB =ED.即$, p=

23、1.p=-入6.在？ABCD 中，AB = a a, AD = b b, AN= 3NC, M 為 BC 的中點，則 MN =_（用 a a,b b 表示）.答案-Ja a + 4b bTTT3 T3解析 由 AN = 3NC 得 AN= 4AC= * a a+ b b）,-T1-T-T-TAM = a a+ ?b b,所以 MN = AN AM3111=嚴 +b）-a a+ 尹 一 4a a+ 4b b.7.給出下列命題：1向量 AB 的長度與向量 BA 的長度相等；2向量 a a 與 b b 平行，則 a a 與 b b 的方向相同或相反；3兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；4向

24、量 AB 與向量 CD 是共線向量，則點 A、B、C、D 必在同一條直線上.其中不正確的個數(shù)為 _ .第14頁共 15 頁答案 2解析命題正確，不正確.、選擇題（每小題 5 分，共 15 分）第15頁共 15 頁三、解答題洪 22 分）18.（10 分）若 a a, b b 是兩個不共線的非零向量， a a 與 b b 起點相同，則當 t 為何值時，a a, tb b, 3（a a + b b）三向量的終點在同一條直線上？解 設 0A= a a, OB = tb b, 0C= 1（a a+ b b）,3=(1w+2AC=(1 Ra a+才 b.b.- im -又 AG = AC + CG =

25、AC + mCF = AC + (CA + CB),解得R=m= f, / AG = 3a a+ 3b b.B 組專項能力提升（時間：25 分鐘，滿分：43 分）AC=OC oA2 13a+ 3b，AB = OB OA = t b a a.要使 A、B、C 三點共線，只需 AC = 4B.2 1即3a a + 3b b =入 b b ?a.1二當 t= 2 時，三向量的終點在同一條直 線上.9.（12 分）如圖，在 ABC 中，E、F 分別為 AC、AB 的中點，BE與 CF 相交于 G 點，設AB=a a,AC= b,b,試用 a a, b b 表示 AG.解 AG= AB + BG= AB

26、+ ?BE=AB+ *BA + Be)=(1 m)Ao+ mmAB =m2 a a+ (1 m) b,b,11 m =才第16頁共 15 頁1 .(2012 浙江)設 a a, b b 是兩個非零向量.A .若 |a a+ b b|= |a a| |b b|,貝Ua a 丄 b bB .若 a a 丄 b b,則 |a a+ b b|= |a a| |b b|C .若|a a+ b b|= |a a| |b b|,則存在實數(shù)入使得 b b= /aD .若存在實數(shù) 人使得 b b=掃，則|a a+ b b|= |a a| |b b|答案 C解析由 |a a + b b|= |a a | |b b

27、| 知(a a+ b b)2= (|a a | |b b|)2,即 a a2+ 2a a b b+ b b2= |a a|2 2|a a|b b|+ |b b|2, a a b b= |a a|b b|./ a a b b= |a a|b b| cos a a, bb,cosa a,bb=1, a a,bb= n,此時 a a 與 b b 反向共線，因此 A 錯誤.當 a a 丄 b b 時，a a 與 b b 不反向也不共線，因此 B 錯誤. 若|a a+ b b|= |a a| |b b|,則存在實數(shù) 冶一 1,使 b b=a a, 滿足 a a 與 b b 反向共線，故 C 正確.若存在

28、實數(shù)人使得 b b=掃，則 |a a+ b b|= |a a+ /|= |1 + /|a a|,|a a| |b b|= |a a| | a|= (1|/)|a a|,只有當一 1w入w0 時，|a a+ b b|= |a a| |b b|才能成立，否則不能成立，故 D 錯誤.2.已知 ABC 和點 M 滿足 IMA + MB + MC = 0,若存在實數(shù) m 使得 AB+ AC = mAM 成立，則m 等于A . 2B . 3答案 B解析由已知條件得 MB + MC = MA.如圖，因此延長 AM 交 BC 于 D 點，則 D 為 BC 的中點.延長BM 交 AC 于 E 點，延長 CM 交

29、 AB 于 F 點，同理可證 E、F 分第17頁共 15 頁別為 AC、AB 的中點，即 MABC 的重心.第18頁共 15 頁2 1 AM = -AD = -(AB + AC)，即 AB+ AC= 3AM，貝 U m= 3.33 P 的軌跡一定通過 ABC 的內(nèi)心.二、填空題（每小題 5 分，共 15 分）_（將正確的序號填在橫線上）.2a a 3b b= 4e e,且 a a+ 2b b= 3e e;存在相異實數(shù)入，使 入 a a +b b= 0;x a a+ y b b= 0(實數(shù) x, y 滿足 x+ y= 0);若四邊形 ABCD 是梯形，則 AB 與 CD 共線.答案解析 由得 10a a b b= 0,故對.對對于當 x= y = 0 時，a a 與 b b 不一定共線，故不對若AB/CD，則 AB 與CD共