高一數學教學設計

1、第5頁共 5頁 嘉興第五高中校級公開課招標活動材料. 高一數學備課組2021/11/2“§2.3平面向量基本定理及坐標表示”教學設計高一數學備課組教學內容必修4第二章 §2.3.1平面向量基本定理、§2.3.2平面向量正交分解與坐標表示。教村內容分析平面向量基本定理是以平面向量的線性運算為基礎，又是平面的向量坐標表示及坐標運算的基礎。平面向量基本定理的內容是：用兩個不共線的基向量來表示平面上的任何一個向量，即：這是本小節(jié)的教學重點，又是教學難點，重要在，使幾何范疇的向量與向代數范疇的有序數對建立起對應關系成為可能，難在學生更本想不到，對“任何”一個向量都可以分解到

2、兩個不同方向的基向量上，因為其思維方向是與求“和”相反，對此沒有任何心理準備，特別是其中一對有序實數、為什么存在且唯一？定理給出后，沒有相應的例題及配套的練習，加以應用。既然是重、難點，為什么沒有配套的訓練？，我們可以理解為教材對此降低要求。平面向量正交分解與坐標表示，可以看成是平面向量基本定理的一個應用，即當兩個基向量互相垂直時的一種特例。對此結論，課本僅給出一個例題，也沒有相應的練習，其應用是綜合在下一節(jié)教學訓練之中，從以后的教學內容看，平面向量基本定理基本上沒有得到應用，而平面的向量坐標表示及坐標運算是本章應重點掌握的知識。但是，平面向量基本定理是本章的一個轉折點，是向量的幾何運算轉化為

3、數量運算的重要基礎，是使向量成為溝通代數與幾何的橋梁。平面向量的基本定理不僅建立了向量的代數表示及向量運算的代數化問題，同時，它還用基本要素（基底、元）表達事物，并把對事物的研究轉化為對事物的基本要素的研究的典型范例，這對于人們掌握認識事物的方法，提高研究事物的水平，有著重要的地位與作用。我們可以從這個意上去正確認識平面向量的基本定理的作用。教學目標解析知識目標： 1. 理解平面向量基本定理，特別是兩個向量能成為基底的條件。 2了解向量的正交分解，掌握平面向量的坐標表示。能力目標： 給定基底，能用基底表示向量。在給定直角坐標系中，能用坐標表示向量。情感態(tài)度：了解用基本要素（基底、元）表達事物，

4、轉化問題的思想方法。教學對象分析 平面向量的基本定理，本質上是已知和向量，求解在兩個不共線向量上的分向量，并用數乘向量運算加以伸縮，需要的是向量和的幾何意義“平行四邊形”法則的逆向運用，學生自己是想不到的。在§2.2平面向量的線性運算中，學生已初步掌握向量的加、減法、數乘向量運算及其幾何意義，學生有作出形如等向量的經驗(§2.2例6)，也有用、表示其它向量的經驗(§2.2例7)，但這樣經驗還是不足，教學時必需根據情況進行適當的復習，并引導學生去聯想與類比，并思考反過來的問題。定理中的兩個基底為什么必須不共線？理解起來不難，但學生往往不重視,過后就忘。有序實數對、為

5、什么唯一？課本未作證明，證明過程學生理解有困難，即使學生提出來，也只能課后處理，不宜課上證明，但應運用幾何畫板等軟件加強直觀理解。平面向量的坐標對許多學生來說，很可能與點的坐標分不清，因為，當表示向量的有向線段的起點在原點時，它就是終點坐標，我們的學生往往忘記“有向線段的起點在原點”這一前是條件，這是在學習向量的坐標表示，特別注意的。教學過程設計一、引入課題問題1：我們知各種各樣的顏色，都可以用三種基本顏色調配出，三種基本顏色指什么？意圖：關注依附于平面向量基本定理上的重要數學思想。通過類比用基本顏色（基底、元）表示一般顏色的思維方法，引出兩個基本向量（基底）其它向量的思想方法，引起學生興趣，

6、為用基底表示向量作鋪墊，將要學習的知識與思想寓于學生感興趣的問題中。 問題2：取一個與數軸方向相同的向量記為，那么與數軸平行的所有向量與向量有什么關系？意圖：引導學生回顧共線向量定理：并重新解析共線向量定理的意義與作用，體會共線向量的“基底”及用基底表示共線向量的方法，為探究平面向量基本定理作鋪墊。另問：向量與數軸不平行，那么向量能用表示嗎？問題3:如圖平行四邊形abcd，記，你能用向量、來表示向量、嗎？意圖：復習向量的加、減法、數乘向量的幾何意義，但思維的方向是逆向的，意在與基本定理思維方向相一致。二、探究基本定理問題4：就下面的圖進行探究，你能用作圖的方法將向量用向量和表示出來嗎？意圖：在

7、問題3的基礎上，學生獨立探究，引導學生得出平面向量基本定理的內容，并給出證明。評注：1. 基底和不共線（能表示平面上任何向量的前題）2. 有序數對、唯一確定，即基底和確定后，任一向量有且只有一種表示，如果有兩種，則、一定相同。問題5：如圖所示，d、e、f分別是的邊bc、ca、ab的中點，g是的重心，、，以、為基底表向量、.意圖：平面向量基本定理的應用，給定基底，能用基底表示向量。問題6：如圖，在直角坐標系中，點、，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，則向量可表示為。意圖：平面向量基本定理的中兩基底互相垂直的特殊應用，給定基底，能用基底表示向量，同時為平面向量的坐標表示準備。，另，如

8、果將的起點平移到原點，得向量，則，點的坐標是。三、坐標表示問題7：平面內的任一向量是不都可以象上面一樣用可基底、來表示？意圖：引出平面向量的坐標表示：依平面向量基本定理，有且只有一對實數、，使得。這樣 特別有：，如果將向量的起點平移到原點，得向量，則與點的坐標一致。結論：直角坐標系內，以原點為起點的向量的坐標，就是終點坐標。評注： 原點為起點是前題，問題8：課本意圖：鞏固平面向量的坐標表示，在給定直角坐標系中，能用坐標表示向量，其方法可以是引出平面向量基本定理所用的方法，也是對基本定理的鞏固。四、課堂小結關于平面向量基本定理:1 特別注意的是：兩個向量能成為基底的前題是不共線。2. 給定基底，

9、能用基底表示向量。3. 了解用基本元素（基底）表達一般元素的思想方法，一般元素分為基本元素的思想。關于平面向量的坐標表示:1. 特別注意：表示向量的有向線段以原點為起點時，終點坐標才是向量的坐標。2. 在給定直角坐標系中，能用坐標表示向量。3. 了解向量的正交分解(p107，自學)，掌握平面向量的坐標表示。五、自學解疑1. 學生復習與自學未祥講的教材內容2. 解答學生的疑問。有時間可思考下列問題(不作統一要求)：思考：p114，習題2.3 b組題3評注：此題可由“平面向量基本定理中有序數對、唯一確定”加以說明，嚴格的講要用向量共線的定理加以證明。拓展：p115，習題2.3 b組題4評注：(1)可用直角三角形邊角關系求解此題，