精品課件材料力學第十二章能量法北航精品課件

1、材料力學（i ii） 北航 精品課件 北京航空航天大學單輝祖教授編著的材料力學(i)、材料力學()是教育部“高等教育面向21世紀教學內(nèi)容和課程體系改革計劃”的研究成果，是面向21世紀課程教材和教育部工科力學“九五”規(guī)劃教材，也是普通高等教育“九五”國家級重點教材 。該教材1999年初版，獲2000年度中國高?？茖W技術獎（教材類）二等獎，教學改革成果獲2001年度國家級教學成果二等獎、北京市教學成果一等獎 ；2004年修訂出版第2版，修訂版已列入“普通高等學校十五國家教材規(guī)劃”、高教社“高等教育百門精品教材”。以材料力學i、ii為主教材的材料力學立體化教學包已作為高等教育出版社的“名品”向全國推

2、廣。 n本教材在妥善處理傳統(tǒng)內(nèi)容的繼承和現(xiàn)代科技成果的引進以及知識的傳授和能力、素質(zhì)的培養(yǎng)方面，進行了積極探索，是一套面向21世紀的具有新內(nèi)容、新體系，論述嚴謹，重視基礎與工程應用(包括計算機的應用)，重視能力培養(yǎng)的新教材。教材體現(xiàn)了模塊式的特點，通過對模塊的選擇與組合，可同時滿足不同層次工科院校的不同專業(yè)對基礎力學課程的教學要求。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page 3第第 12 12 章章 能量法（一）能量法（一） 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page 4 引引求節(jié)點求節(jié)點a的鉛垂位移的鉛垂位移 的兩條研究途徑的兩條研究途徑 方法一方法一nnflflllea

3、ea 1 1212,al12fallflea 21221cossintansincos方法二方法二nnflflf lveaeaea 222211221cos222sincosfw 2flea 221cossincosnnffff 12sin,tan（壓）（壓）（拉）（拉）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page 5問題：問題：（1 1）求節(jié)點）求節(jié)點a的位移，哪種方法優(yōu)越？的位移，哪種方法優(yōu)越？（3 3）為什么要研究能量法？）為什么要研究能量法？（2 2）如何求）如何求bcbc桿的轉(zhuǎn)角？桿的轉(zhuǎn)角？fabc第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page 6一、計算外力功的基本公

4、式一、計算外力功的基本公式l 非線性彈簧非線性彈簧d wfdwfd *0,l 剛體剛體wfwf cosfl 線性彈簧線性彈簧k：彈簧常數(shù)：彈簧常數(shù)ffk ,fkwkd 2022f為什么線彈性體外力功表達式有常系數(shù)為什么線彈性體外力功表達式有常系數(shù)1/2？第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page 7l 一般彈性體一般彈性體相應位移相應位移 : 0 wf 0dl 線性彈性體線性彈性體載荷載荷 f : 0 f思考：常數(shù)思考：常數(shù)k怎樣確定？怎樣確定？fdf d f fk wk dkf 201122fk 對比：彈性體與彈簧對比：彈性體與彈簧第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）pag

5、e 8 廣義力與廣義位移廣義力與廣義位移相應位移：相應位移：載荷載荷f作用點沿載荷作用方向的位移分量作用點沿載荷作用方向的位移分量 。外力功：外力功： 載荷在相應位移上載荷在相應位移上所作之功。所作之功。廣義力：廣義力： 力，力偶，一對大力，力偶，一對大小相等、方向相反的力或轉(zhuǎn)向小相等、方向相反的力或轉(zhuǎn)向相反的力偶等。相反的力偶等。廣義位移廣義位移： 線位移，角位移，相對線位移，相對角位移等。線位移，角位移，相對線位移，相對角位移等。faa faa 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page 9二、二、niiifw 12fi廣義載荷廣義載荷 i相應廣義位移相應廣義位移外力功：外力功：

6、由于外力功與加載次序無關，由于外力功與加載次序無關，本定理也適用于非比例加載。本定理也適用于非比例加載。但只適用于線彈性體但只適用于線彈性體克拉比隆定理是否說明可由克拉比隆定理是否說明可由疊加法計算多個力的功？疊加法計算多個力的功？ iinf ff 12,，第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page10例：例：試確定圖試確定圖a均布載荷均布載荷q 對應的廣義位移，圖對應的廣義位移，圖b鉸鏈兩側(cè)鉸鏈兩側(cè)橫截面相對轉(zhuǎn)角橫截面相對轉(zhuǎn)角 對應的廣義力。對應的廣義力。 abc f(b)(a)abql相應廣義位移：面積相應廣義位移：面積l m對應廣義力：一對力偶對應廣義力：一對力偶mm第十二章第

7、十二章 能量法能量法( (一）一）page11 0dwf eafl 33llfcabnfnfcfealeafll3232 例：例：已知已知 ，求，求 與與 關系。關系。, ,f l eaf 幾何非線性問題與外力功計算幾何非線性問題與外力功計算載荷載荷-位移關系位移關系外力功計算外力功計算eaeafwll 4 333 0d42 構成線性彈性結(jié)構的條件構成線性彈性結(jié)構的條件 材料符合胡克定律（物理線性）材料符合胡克定律（物理線性） 小變形小變形 可按原始幾何關系分析內(nèi)力與變形（幾何線性）可按原始幾何關系分析內(nèi)力與變形（幾何線性）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page12作業(yè)作業(yè)12-

8、3第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page13三、三、d dddx zyv2應變能密度應變能密度dvvve 222d d dx y z2 拉壓應變能密度拉壓應變能密度vg 222純剪應變能密度純剪應變能密度第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page142. 2. 基本變形的基本變形的拉壓拉壓fn(x)dxve 2222vv dxdydzdxdydze nf ( x )(x)=,dydzaa lfxvxea2n ( )1 d2 ni iiiif lve a2n112 對于桁架對于桁架應變能密度應變能密度拉壓桿應變能拉壓桿應變能第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）pa

9、ge15 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)ltxvxgi2 t1( ) d2 t(x)dxd vg 22 應變能密度應變能密度vv dxdydzdxdydzg 22圓軸扭轉(zhuǎn)應變能圓軸扭轉(zhuǎn)應變能pt( x )(x)=i 2222122 lppt ( x )t (x )vdxdydz dxgigi 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)應變能非圓截面軸扭轉(zhuǎn)應變能第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page16 彎曲彎曲m(x)dxd 應變能密度應變能密度22vv dxdydzdxdydze 拉壓桿應變能拉壓桿應變能zm( x )y(x)=i lzzm ( x )ym (x )vdxdydz dxeiei 2222122ve 2222 (

10、 )d( )d =22yzllyzmxxmxxveiei 非對稱彎曲沿兩主軸分解計算應變能非對稱彎曲沿兩主軸分解計算應變能yczl f注：忽略了彎曲剪力的應變能注：忽略了彎曲剪力的應變能第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page17t(x)dxd m(x)dxd 利用功能原理計算應變能利用功能原理計算應變能fn(x)dxd 拉壓拉壓n( )ddd2fxvw nf dxdea 2nf (x )dxdv2ea t(x )ddvdw2 ptdxdgi 2pt (x )dxdv2gi 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)m(x )ddvdw2 mdxdei 2zm (x )dxdv2ei 彎曲彎曲第十二章第十二章 能量

11、法能量法( (一）一）page183. 3. 組合變形的組合變形的t(x)dxd m(x)dxd fn(x)dxd fn(x)m(x)fs(x)t(x)dx2nf (x )dxdv2ea 2pt (x )dxdv2gi 2zm (x )dxdv2ei 思考：思考：組合變形的總應變能能否由各基組合變形的總應變能能否由各基本變形的應變能疊加，為什么？本變形的應變能疊加，為什么？答：答：能夠。因為各基本變形的應變能不能夠。因為各基本變形的應變能不耦合。換句話說，一種基本變形的對應耦合。換句話說，一種基本變形的對應內(nèi)力在其他基本變形上作的功為零。內(nèi)力在其他基本變形上作的功為零。第十二章第十二章 能量法

12、能量法( (一）一）page19fn(x)m(x)fs(x)t(x)dxn222np( )d( )d( )d d 222( )d( )d( )d222fxt xm xvfxxtxxmxxeagiei 圓截面桿或桿系圓截面桿或桿系222n p( )d( )d( )d 222lllfxxtxxmxxveagiei2222n t( )d( )d( )d( )d 2222yzllllyzmxxmxxfxxtxxveagieiei 非圓截面桿或桿系（非圓截面桿或桿系（y , z軸主形心軸）軸主形心軸）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page20解解: :（1 1）計算梁的應變能）計算梁的應變

13、能( (x軸從軸從a向左向左) )( )em xmfx 2222 3ee0( )2622lfm lm lmxf lvdxeieieiei e22 3e,f,m62m lf lvvveiei 多個外力引起的應變能不能利用疊加原理進行計算多個外力引起的應變能不能利用疊加原理進行計算例：例：懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計算梁的應變懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計算梁的應變能與外力所做之總功。彎曲剛度為能與外力所做之總功。彎曲剛度為ei。fmax第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page21解解: :(2) (2) 計算外力所作之總功計算外力所作之總功e23e,f,m32aaam lf

14、lwwweieie2e,f,m2aaam lfleiei222 3eee22622aamfm lm lfwf lweieiei 結(jié)論：梁的應變能等于外力所做總功結(jié)論：梁的應變能等于外力所做總功fma 撓度撓度 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 外力功外力功第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page22blcx2x1m0fal例例: : 試計算圖示水平面內(nèi)直角剛架的應變能。剛架試計算圖示水平面內(nèi)直角剛架的應變能。剛架截面為圓形，直徑為截面為圓形，直徑為 d，材料彈性模量和剪切模量分，材料彈性模量和剪切模量分別為別為e和和g。解解：對于圖示剛架，彎矩和扭矩對于圖示剛架，彎矩和扭矩方程分別為：方程分別為：ab段段

15、：101()m xmfxbc段段：2220(), ()m xfx t xmfl 分析分析：總應變能等于各段、各基本變總應變能等于各段、各基本變形的應變能疊加。形的應變能疊加。為什么？為什么？第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page23222 3004222 300432(332)316(2)m lm flf le dm lm flf lg d 222112222000()()()222lllpmxdxmxdxtxdxveieigi 22222 33000022222pppm lm flm lm flf lfleieieigigigiblcx2x1m0fal第十二章第十二章 能量法能

16、量法( (一）一）page24僅作用力僅作用力f，剛架應變能為，剛架應變能為2323()4464163fflflvedgd （）（）如果僅作用力偶，剛架應變能為如果僅作用力偶，剛架應變能為0m022()00443216mmlmlvedgd （）（）222 3222 30000443216(332)(2)3vm lm flf lm lm flf le dg d （1）檢驗：檢驗：（1）?vw （2）0()()?mfvvv單獨計算各載荷對應的應變能。單獨計算各載荷對應的應變能。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page25例例 12-3 試計算彈簧的軸向變形試計算彈簧的軸向變形l l43

17、8gdnfd l l解：解：sff2fdt 2 p1 d2stvsgi 影響彈簧變形的影響彈簧變形的主要內(nèi)力是扭矩主要內(nèi)力是扭矩2344f d nvgd 23442f d nfgdl l , sn d 彈簧絲長彈簧絲長n圈數(shù)圈數(shù)第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page26作業(yè)作業(yè)12-1b, 2, 4第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page27ij 同一彈性體的兩種受力狀態(tài)同一彈性體的兩種受力狀態(tài)引起位移的載荷引起位移的載荷發(fā)生位移的點發(fā)生位移的點a ad df f2 22 2 12 221 1a ad df f1 12 2 11 211 1第十二章第十二章 能量法能量

18、法( (一）一）page28221112ff先加先加 f1，后加，后加 f2：先加先加 f2，后加，后加 f1：11112221121122wfff 22221112211122wfff 線彈性體的兩種加載次序與功線彈性體的兩種加載次序與功總功與加載次序無關總功與加載次序無關 w1=w2a ad df2 22 2 22 21f1 1 111 1a ad df f2 22 2 22 11f1 1 121 1兩表達式的交叉項相等兩表達式的交叉項相等 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page29221112ffa ad df2 22 2 22 21f1 1 111 1a ad df f2

19、 22 2 22 11f1 1 121 1對于線性彈性體，對于線性彈性體，f1在在f2引起的位移引起的位移 12上所作的功，上所作的功，等于等于f2 在在f1引起的位移引起的位移 21上所作的功上所作的功功的互等定理（簡單情形）功的互等定理（簡單情形）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page30功的互等定理（簡單情形）功的互等定理（簡單情形）221112ff功的互等定理（一般情形）功的互等定理（一般情形）對于線性彈性體，第一組外力對于線性彈性體，第一組外力 f1 (i) (i=1,2,m)在第二組外力引起的位在第二組外力引起的位移移 12(i) 上所作的功，等于第二組上所作的功，等

20、于第二組外力外力 f2(j)(j=1,2,n)在第一組外力在第一組外力引起的位移引起的位移 21(j)上所作的功。上所作的功。a ad df2m2q2a ad df1m1q1( )( )( )( )112112mniijjijff其中力和位移均指廣義其中力和位移均指廣義力和廣義位移。力和廣義位移。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page31若若f1=f22112 位移互等定理位移互等定理221112ffa ad df f2 22 2 12 221 1a ad df f1 12 2 11 211 1當當f1與與f2的數(shù)值相等時，的數(shù)值相等時， f2在點在點1沿沿f1方位引起的位方位引

21、起的位移移 12，等于，等于f1在點在點2沿沿f2方位引起的位移方位引起的位移 21第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page32例：例： 測量線彈性梁（圖測量線彈性梁（圖a, 等等截面或任意形狀變截面）截面或任意形狀變截面）a、b兩點撓度，但僅端點兩點撓度，但僅端點c適合裝千適合裝千分表。分表。fabc a解：解： 設圖設圖a在在a點的撓度為點的撓度為ca fabc b如圖如圖b加載和裝千分表，加載和裝千分表，測得測得c點的撓度為點的撓度為ac 則根據(jù)位移互等定理則根據(jù)位移互等定理acca 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page33由功的互等定理由功的互等定理 *0a

22、aabfff baaff 例：例： 如圖如圖a支座支座a因裝配應力破因裝配應力破壞，壞，a、b點分別下降點分別下降 和和 , 在新的無初應力位置修復（圖在新的無初應力位置修復（圖b），求），求b點作用點作用f 時支座時支座a的約的約束反力。束反力。 a b 解：解： 在破壞前和破壞又修復在破壞前和破壞又修復后，結(jié)構受力狀態(tài)如圖后，結(jié)構受力狀態(tài)如圖a,b。 fabaf(b)aba b *af(a)第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page342fbfl flbea 例：例：（p63，題，題125）等直桿寬）等直桿寬b，拉壓剛度，拉壓剛度ea，泊松比，泊松比 求求, l 解解: 設第二種

23、受力狀態(tài)為設第二種受力狀態(tài)為 軸向拉力軸向拉力f2fbbbbbeea 對于任意截面形狀的等直桿，解答是否成立對于任意截面形狀的等直桿，解答是否成立? ?l fb(1)f(2)第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page35 qxyqee 11qdqde 1 dfaeh 1解：解： 考慮薄板受均布載荷考慮薄板受均布載荷q由功的互等定理由功的互等定理sqfdq hdsq ah 0ffabd 例：例： 已知已知e， ，h ，求均質(zhì)薄板面積改變量求均質(zhì)薄板面積改變量 aq第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page36ff思考題思考題1 板內(nèi)開任意一孔，板內(nèi)開任意一孔， 是否變化？是否

24、變化？a ff思考題思考題2 內(nèi)孔受一對圖示方內(nèi)孔受一對圖示方向的力，向的力， 是正還是負？是正還是負？a 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page37 一、一、0fcwdf c wwfccwv 0dwf 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page380cvvddv 0cvd 0vvddv 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page39二、克羅第二、克羅第恩格塞定理與卡氏第二定理恩格塞定理與卡氏第二定理問題：問題：彈性體受廣義力彈性體受廣義力fk（k=1,n)的作用，求相應位的作用，求相應位移移 k。a ab b 1fn 2f1 1f2 2fk k n fk k

25、解：解：使使fk增加微量增加微量 fk，余功增量，余功增量ckkwf 又又1(,.,.,)ccknvv fff cckvvf ccwv ckkvf 克羅第恩格塞定理克羅第恩格塞定理:彈性體的余能對載荷彈性體的余能對載荷 fk 的偏導數(shù)，等于該載荷的偏導數(shù)，等于該載荷的相應位移的相應位移 k第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page40cvv 對于線性彈性體，應變能數(shù)對于線性彈性體，應變能數(shù)值上等于余能值上等于余能ckkvf 克羅第恩格塞定理克羅第恩格塞定理: : kkvf 卡氏定理：卡氏定理：線性彈性體的應變能，對線性彈性體的應變能，對載荷載荷 fk 的偏導數(shù)，等于該的偏導數(shù)，等于該

26、載荷的相應位移載荷的相應位移 k注意：注意：對于線彈性體，應對于線彈性體，應變能數(shù)值上等于余能，但變能數(shù)值上等于余能，但應變能與余能是兩個完全應變能與余能是兩個完全不同的物理量。不同的物理量。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page412n ( )d 2lfxxvea 對于拉壓桿對于拉壓桿222n p( )d( )d( )d 222lllfxxtxxmxxveagieink ( )( ) nlkfxfxdxeaf 圓截面桿組合變形：圓截面桿組合變形：nk ( )( )t( )( )m( )( ) nlllkpkkfxfxxt xxm xdxdxdxeafgifeif 非圓截面桿組合

27、變形：非圓截面桿組合變形：ynzk m ( )( )( )( )( )m ( )t( )( ) yznllllktkykzkxm xm xf xf xxxt xdxdxdxdxeafgifeifeif 思考：思考：為什么對于組合變形可以采用疊加法？為什么對于組合變形可以采用疊加法？ ) (kkvf 由卡氏定理由卡氏定理計算各基本和組合變形的位移計算各基本和組合變形的位移第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page42 討論兩個定理的適用范圍：討論兩個定理的適用范圍：克羅第克羅第恩格塞定理：恩格塞定理：kckfv 卡氏第二定理：卡氏第二定理：kkfv 一般彈性體一般彈性體線彈性體線彈性體

28、 對于非線性材料對于非線性材料( (應力應力應變關系非線性應變關系非線性) )， 需用需用克羅第克羅第- -恩格塞定理。恩格塞定理。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page43 ,mxmxfxxf 0313lawfxx dxeiflei 解：解：20()2lmxvdxei 例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求a a點撓度點撓度 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 梁軸線變形梁軸線變形 前后所掃過的面積前后所掃過的面積 。 ,aw,a 0lamxmxvwdxfeif （1 1）計算）計算a a點的撓度點的撓度 wa梁內(nèi)彎矩梁內(nèi)彎矩由卡氏定理，由卡氏定理，a a點撓度點撓度falx第十二章第十二章 能量法能量法(

29、 (一）一）page44 02000112lamflfxmdxeiei 解：解：例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求a a端撓度端撓度 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 梁軸線變形梁軸線變形 前后所掃過的面積前后所掃過的面積 。 ,aw 0lamxmxvwdxfeif （2 2）計算）計算a a點的轉(zhuǎn)角點的轉(zhuǎn)角 a， 00,1mxmxfxmm 梁內(nèi)彎矩梁內(nèi)彎矩由卡氏定理，由卡氏定理，a a端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角思考：所求廣義位移沒有思考：所求廣義位移沒有對應廣義力怎么辦？對應廣義力怎么辦？采用附加載荷法，在采用附加載荷法，在a點加一附加力偶點加一附加力偶m0falxm0負號表示什負號表示什么意義？么意義？,a 第十二章第十二章

30、能量法能量法( (一）一）page45解：解： lqqmxmxvdxqeiq 0000000計算梁軸線變形前后所掃過計算梁軸線變形前后所掃過的面積的面積 ， mxmxfxq xxq220011,22 梁內(nèi)彎矩梁內(nèi)彎矩思考：思考： 所對應的廣義力？所對應的廣義力？采用附加載荷法，在全梁加一附加均布載荷采用附加載荷法，在全梁加一附加均布載荷q0falxq0lqfxq xxdxei02200011122 軸線掃過面積軸線掃過面積 lflfxxdxeiei4201128 課后題：試由課后題：試由0( )lw x dx 對照對照第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page46例：例：用卡氏定理求

31、用卡氏定理求a a點撓度，點撓度， ei為彎曲剛度。為彎曲剛度。解：解：設設fa=2f, fb=f(a)f2allfbcaavfvorotherf,(2) 思考：思考：xafallbcbf(b)amxf xxl1( ),0 abab段：段： abmxf xfxllxl2( )(),2 bcbc段：段： llalaamxmxmxmxfldxdxeifeifei3211220( )( )( )( )37( )6第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page47等于等于a點撓度的兩倍與點撓度的兩倍與b點撓度之和。點撓度之和。討論：討論： 的幾何意義的幾何意義? ?vf abababvvvfff

32、ffffvvff2 (a)f2allfbcf2aa a bb f(b)對于剛架（對于剛架（b)b)abvf2 注意注意 a a和和 b b指沿力線的距離。指沿力線的距離。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page48meme例：例：計算圖示圓拱小曲率桿鉸鏈計算圖示圓拱小曲率桿鉸鏈a a兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角frabc(a)分析：分析： 先確定廣義位移先確定廣義位移 所所對應的廣義力（附加力法）對應的廣義力（附加力法）: : 作用于鉸鏈兩側(cè)一對力偶作用于鉸鏈兩側(cè)一對力偶me常見錯誤：常見錯誤：不會計算約束反力，不會計算約束反力，甚至錯誤當作靜不定結(jié)構。甚至錯誤當作靜不定結(jié)構。取整

33、體為研究對象，由對取整體為研究對象，由對稱性或由對稱性或由對b b、c c的力矩平的力矩平衡，確定衡，確定c c、b b鉛垂反力為鉛垂反力為f/2f/2，然后由，然后由acac段平衡確段平衡確定全部約束反力。定全部約束反力。mec f12emfr12f12(b)emfr12a第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page49解：解： acac段彎矩段彎矩eemmfrf rrmf r11()()sin(1co s)221sin(sinco s1)2 02 memefrabc(a)mec f12emfr12f12(b)emfr12aemmfr01()(sincos1)2 emm()sin 第

34、十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page50由卡氏定理：由卡氏定理：ememmrdeimfrdeifrei2002202()()2(sincos1)sin(2)4 memefrabc(a)mec f12emfr12f12(b)emfr12a第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page51由由a a、b b 兩節(jié)點平衡兩節(jié)點平衡nnnffff f123,2,0 nnnffffff3121,2,0 nnnaxnnnfffflflfleafff3121122331 flea12 2 例：例： 各桿各桿eaea，求，求a a點水平位移及點水平位移及abab轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。解：解： （1

35、1）計算）計算a a點水平位移點水平位移fal12b3clbyfcyfcxfbycycxfff ff, 由整體平衡由整體平衡第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page52問題問題 若由卡氏定理計算若由卡氏定理計算 ，附加載荷怎么施加？，附加載荷怎么施加？ab （2 2）計算）計算abab轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角由幾何關系由幾何關系nbxf300 abaxflea122 fal12b3clme/lme/l如圖，作用于如圖，作用于1 1桿的桿的me向節(jié)點向節(jié)點a、b分解分解第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page53 ennabnneemfffflfleammea12112201221 ne

36、neneffmlffmlfml123,2(), nnneeeffflllmmm312211, 在在a a、b b 兩點加附加力兩點加附加力emlfal12b3clme/lme/l（3 3）計算）計算abab轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角由卡氏定理由卡氏定理第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page54例：例：材料的應力材料的應力應變關系應變關系 c 。壓縮時，方程中的。壓縮時，方程中的 和和 均取絕對值。求均取絕對值。求a端的撓度端的撓度。fla axz zyhb分析：分析：非線性彈性問題，需非線性彈性問題，需用克羅第用克羅第恩格塞定理，其恩格塞定理，其中關鍵是余能的計算中關鍵是余能的計算解：解：1.應力

37、分析應力分析ycc hacmyayb y/23/2 0 d2d y 根據(jù)平面假設根據(jù)平面假設cbhm5/25 2 fx fxcbh5/215 2 fxybh5/25 2 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page55fla axz zyhbfxybh5/25 2 vc2c200dd f yxvc b h33/23c2315/2250 23 lhf lvvy xc b h3 4/2cc22500252d d6 avf lwfc b h2 4c225252 （ ）2. 余能計算余能計算 c 余能密度余能密度梁的總余能梁的總余能3. 由克羅第由克羅第恩格塞定理恩格塞定理計算撓度計算撓度第十

38、二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page56作業(yè)作業(yè)12-6, 8, 9,12第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page57一、一、 回顧剛體虛功原理回顧剛體虛功原理處于平衡狀態(tài)的任意剛體，作用于其上的力系在處于平衡狀態(tài)的任意剛體，作用于其上的力系在任意虛位移或可能位移上所作之總虛功等于零。任意虛位移或可能位移上所作之總虛功等于零。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page581. 幾個概念幾個概念plq( (x) )tf fq( (x) )fs sfn nmt二、二、 變形體的虛功原理變形體的虛功原理（1）可能內(nèi)力）可能內(nèi)力：與外力保與外力保持平衡的內(nèi)力稱為靜力可

39、能持平衡的內(nèi)力稱為靜力可能內(nèi)力或簡稱為可能內(nèi)力。內(nèi)力或簡稱為可能內(nèi)力。 桿的可能內(nèi)力用桿的可能內(nèi)力用fn ,t, fs與與m表示。表示。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page59滿足變形連續(xù)條件與位移滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件的任意微小位移，邊界條件的任意微小位移，稱為幾何可能位移或虛位移，稱為幾何可能位移或虛位移，相應之變形稱為可能變形或相應之變形稱為可能變形或虛變形。虛變形。（2). 虛位移與虛變形虛位移與虛變形桿微段的虛變形用桿微段的虛變形用d *,df f * *與與d * *表示。表示。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page60（3） 內(nèi)虛功與外虛功內(nèi)

40、虛功與外虛功 內(nèi)虛功內(nèi)虛功作用在所有微段上的可能內(nèi)作用在所有微段上的可能內(nèi)力在虛變形上作之總虛功力在虛變形上作之總虛功in (d *d *d*)lwftm f f in (d *d *d*d*)yyzzlwftmmff 外虛功外力在可能位移上所作之總虛功外虛功外力在可能位移上所作之總虛功第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page612. 變形體虛功原理變形體虛功原理外力在虛位移上所作外虛功外力在虛位移上所作外虛功 we，等于可能內(nèi)力，等于可能內(nèi)力在虛變形上所作內(nèi)虛功在虛變形上所作內(nèi)虛功 wi，即，即 we wi第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page62 變形體虛功原理適

41、用于線性彈性體，非線變形體虛功原理適用于線性彈性體，非線性彈性體與非彈性體。性彈性體與非彈性體。3. 應用變形體虛功原理的應用條件與應用范圍：應用變形體虛功原理的應用條件與應用范圍： 所研究的力系（外力與內(nèi)力）必須滿足平所研究的力系（外力與內(nèi)力）必須滿足平衡條件與靜力邊界條件。衡條件與靜力邊界條件。 所選擇的位移應是微小的，且滿足變形連所選擇的位移應是微小的，且滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件。續(xù)條件與位移邊界條件。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page634. 驗證虛功原理驗證虛功原理q(x)la axdx外力虛功：外力虛功：*()elwqwx dx 內(nèi)力虛功：內(nèi)力虛功：*ilw

42、md 虛位移虛位移*( )wx以圖示梁為例驗證：以圖示梁為例驗證：we=wi可能內(nèi)力滿足：可能內(nèi)力滿足： dd ddssfxm,qxf 0)( lm（平衡條件）（平衡條件）（靜力邊界條件）（靜力邊界條件） dd*x*w 0)0( 0)()0( *,l*w*w 虛位移滿足：虛位移滿足：（變形連續(xù)條件）變形連續(xù)條件）（位移邊界條件）（位移邊界條件）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page64q(x)la axdx虛位移虛位移*( )wx虛位移虛位移*( )wx可能內(nèi)力滿足：可能內(nèi)力滿足： dd ddssfxm,qxf 0)( lm dd*x*w 0)0( 0)()0( *,l*w*w

43、虛位移滿足：虛位移滿足： d *ilmw d0 *ddlmxx 0 * d *llmm 外虛功：外虛功： ss 0 d* ddllwf wfxx *()elwqwx dx se d *ddlfwwxx 由分部積分由分部積分第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page65單位載荷法：單位載荷法：建立在虛功原理基礎上建立在虛功原理基礎上的計算位移的一般方法。的計算位移的一般方法。該方法的要點：該方法的要點：1. 由實際載荷引起的實際位移由實際載荷引起的實際位移當作虛當作虛位移位移，實際變形，實際變形當作虛變形當作虛變形右上圖，虛線表示的實際位移曲線右上圖，虛線表示的實際位移曲線當作虛位移曲

44、線；微段的軸向變形當作虛位移曲線；微段的軸向變形d d ，扭轉(zhuǎn)角，扭轉(zhuǎn)角d df f, , 相對轉(zhuǎn)角相對轉(zhuǎn)角d d y y,d,d z z (y,z(y,z為截面主形心軸為截面主形心軸) )當作虛變形。當作虛變形。2. 虛擬單位載荷（右下圖紅箭頭）虛擬單位載荷（右下圖紅箭頭）作作為實際外載，為實際外載，所引起的內(nèi)力所引起的內(nèi)力作為可能作為可能內(nèi)力：內(nèi)力：( ), ( ),( ),( )nyzfx t xmxmx第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page663. 單位載荷法的基本公式單位載荷法的基本公式 f f lzzyyxmxmxtxf n)d()d()d()d( n 1 ( )d(

45、 )d( )d( )dyzyzlfxt xmxmxff 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page67 f f lzzyyxmxmxtxf n)d()d()d()d( 線位移，加單位力線位移，加單位力角位移，加單位力偶角位移，加單位力偶相對線位移，加一對相等相反單位力相對線位移，加一對相等相反單位力相對角位移，加一對相等相反單位力偶相對角位移，加一對相等相反單位力偶 關于位移與單位載荷關于位移與單位載荷 關于位移方向關于位移方向當所得位移為正，則位移與所加單位載荷同向當所得位移為正，則位移與所加單位載荷同向 廣義位移，求解時廣義位移，求解時施加相應單位廣義載荷施加相應單位廣義載荷第十

46、二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page684. 單位載荷法的適用范圍：單位載荷法的適用范圍：不僅適用于線彈性桿或桿系，不僅適用于線彈性桿或桿系，也適用于非線性彈性與非彈性桿或桿系也適用于非線性彈性與非彈性桿或桿系 f f lzzyyxmxmxtxf n)d()d()d()d( ( )( )ntfx dxt x dxddeagi( )yzyzyzmx dxm dxddeiei( )( )( )( )( )( )( )( )nnlltyyzzllyzfxfxt x t xdxdxeagimxmxmxmxdxdxeiei 5. 對于線彈性桿或桿系的公式對于線彈性桿或桿系的公式第十二章第十二

47、章 能量法能量法( (一）一）page692.分段建立彎矩方程。分段建立彎矩方程。注意：注意：實際載荷狀態(tài)與單位載荷狀實際載荷狀態(tài)與單位載荷狀態(tài)必須分開畫兩個圖，且兩圖態(tài)必須分開畫兩個圖，且兩圖分段與坐標應相同。分段與坐標應相同。圓弧段用極坐標方便。圓弧段用極坐標方便。例例: 彎曲剛度彎曲剛度ei，求，求a點鉛垂位移點鉛垂位移 fabcr xao分析步驟：分析步驟：1.根據(jù)待求廣義位移配根據(jù)待求廣義位移配置單位載荷狀態(tài)。置單位載荷狀態(tài)。1abcr xao第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page70解：解： 對于對于ab段：段：()m xfx ( )m xx 對于對于bc段：段：(

48、)(sin)mf ar ( )sinmar 200( )( )( )( )aam x m x dxmmrdeiei 22001(sin)afx xdxf arrdei 3232(2)324farararei fabcr xao1abcr xao第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page71根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性1110222202()()2()()acam xm xdxeim xm xdxei 411( )384qaei 例例: 彎曲剛度彎曲剛度ei，求，求c點撓度點撓度 和和a點轉(zhuǎn)角點轉(zhuǎn)角c a adbcqa2a2a解：解：（1）求）求 ，配置單位載荷狀態(tài)，配置單位載荷狀態(tài)c adb

49、c11x2x8qa2qa141211()8m xqax 11()4m xx ab段：段：21()2m xx 221()2m xqx bc段：段：第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page7211()8m xqax 1()1xm xa 2()0m x 221()2m xqx 根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性/111011()()2aaa dm xm xdxei 011(1)8axqxdxeia 348qaei adbcqa2a2a8qa2qaadbc1x2x1a11解：解： （2）求）求 ，配置單位載荷狀態(tài)配置單位載荷狀態(tài)注意一對單位力偶分別作用在剛架的注意一對單位力偶分別作用在剛架的a、d端，這

50、樣求出的是端，這樣求出的是a、d的相對轉(zhuǎn)角的相對轉(zhuǎn)角a /a d 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page7323231()nnabnnfflfflea 3fea 解：解：450,2nnfff 123,2,nnnff ff ff 例例: 各桿各桿ea，求，求ab桿轉(zhuǎn)角桿轉(zhuǎn)角 ，a、d點相對位移點相對位移ab ad ab1234cdll52ff（1）求）求,ab 配置單位載荷系統(tǒng)配置單位載荷系統(tǒng)123110,nnnfffll 450nnff ab1234cdll51l1l第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page74ad 解解（2）求求a、d的相對位移的相對位移123111

51、,222nnnfff 451,12nnff 121235351(2 )nnadnnnnnnfflffleafflffl 2()flea 123,2,nnnff ff ff 450,2nnfff ab1234cdll52ff配置單位載荷系統(tǒng)配置單位載荷系統(tǒng)ab1234cdll511第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page75分析步驟：分析步驟：（1）建立彎矩、扭矩方程）建立彎矩、扭矩方程（2）校核強度（如何確定危險截面）校核強度（如何確定危險截面）（3）求相對位移）求相對位移例例: p=2f,f=80n, =240mpa,e=200gpa,g=80gpa r=35mm,d=7mm, 忽略開口寬度忽略開口寬度（1）按第三強度理論校核強度）按第三強度理論校核強度（2）求開口沿）求開口沿f 方向相對位移方向相對位移 opfrdpf第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）page76()sinmpr ()sinmfr ()(1cos)tfr （2）校核強度）校核強度a. 合彎矩方程合彎矩方程()5sintmfr b. 222,34sin2cos2teqmtfrww 解：解：（1）建立彎矩方程與扭矩方程）建立彎矩方程與扭矩方程 fp oprf tm