布朗運動的計算

1、2. 與布朗運動有關的隨機過程與布朗運動有關的隨機過程過程過程1：d維布朗運動維布朗運動過程過程2：2( ,) 布朗運動布朗運動2,=+( ),0,0tbtw ttr 相關函數相關函數均值函數均值函數2,( )=bmtt 2,22( , )=+min( , )brs tsts t 2( ,) 布朗運動是一個高斯過程布朗運動是一個高斯過程性質性質帶漂移的布朗運動的民用航空發(fā)動機實時性能可帶漂移的布朗運動的民用航空發(fā)動機實時性能可靠性預測，航空動力學報靠性預測，航空動力學報2009，vol.1,no.12.任淑紅任淑紅2( ,) 布朗運動是一個高斯過程布朗運動是一個高斯過程證明證明對任意自然數對任

2、意自然數2,n 不是一般性，取不是一般性，取n個不同個不同的時間指標的時間指標010= ,nttt定義增量定義增量22-1,=-,=1,kkkttbbkn 則則2-1-1 ( ( -),( -)kkkkknt tt t221,1(,)=(,)nttnn nbb m過程過程3：布朗橋：布朗橋=( )-(1)0,1brtbw t twt 則稱則稱 =,0,1brbrtbbt 為從為從0到到0的布朗橋的布朗橋均值函數均值函數( )= ( )-(1)=0,0,1brbmte w t twt 相關函數相關函數(s, )=mins,t-st,0,1brbrts t性質，從性質，從0到到0的布朗橋是高斯過程

3、的布朗橋是高斯過程例例 設常數設常數,a br定義從定義從a到到b的布朗橋的布朗橋：= +( - ) +0,1abbrttbab a t bt證明證明 ：01(1)= ,=ababbabb(2) 從從a到到b的布朗橋是高斯過程的布朗橋是高斯過程,且且( )= +( - )0,1abmtab a tt( , )= (-( )(-(t)=min , -0,1abababababstcs te bmsbms tstt 布朗橋在研究經驗分布函數中起著非常重要的作用。設x1,x2, xn, 獨立同分布，xnu(0,1) ，對0s0gettbbtr 均值函數均值函數相關函數相關函數22,( )= exp(

4、)=exp( +) ,02getbmtebtt 22( - )( + )22(s, )=,0get st ssbrteees t股票價格服從幾何布朗運動的證明股票價格服從幾何布朗運動的證明謝惠揚2,( )= exp()getbmteb 2-+2-1=2xtxteedxt2-2-+2-1=2xt xtteedxt22( -)()-+22-1=2x ttttteeedxt2=exp( +) ,02tt +( )+(t)( + )+( )+( )(s, )=gesw stws tw sw tbrteeeee( + )( )+( )=s tw sw teee( + )( )+( )-( )+( )=s

5、 tw sw t w sw seee( + )2( )( )-( )=s tw sw t w seeee22( - )( + )22=,0t st sseees t過程過程5：反射布朗運動：反射布朗運動=( )0retbw tt 均值函數均值函數2( )= ( ) =,0rebtmte w tt ( )= ( ) rebmte w t2-+2-1=2xtxedxt2+-202=(-)2xttet2=,0tt 過程過程6：奧恩斯坦：奧恩斯坦-烏倫貝克過程烏倫貝克過程-=( ( )00outtbewtt），其中其中2201( )=(-1)2tsttedse均值函數均值函數-( )= ( ( ) =

6、0,0outbmte e wtt ）-( + )( , )=min (s), (t),0ous tbrs tes t相關函數相關函數補充：補充：隨機變量序列或隨機過程隨機變量序列或隨機過程均方極限均方極限均方連續(xù)均方連續(xù)均方可導均方可導均方可積均方可積1均方極限的定義均方極限的定義定義定義設設,1,2,nx xh n如果如果則稱則稱xn,n=1,2,均方收斂于均方收斂于x,或稱或稱 x 為為xn,n=1,2,的均方極限，記為的均方極限，記為.nnlimxx2lim0nne xx2 均方連續(xù)均方連續(xù)設設x(t), tt t 是二階矩過程是二階矩過程, , t0t, 若若00. .( )( )tt

7、l i m x tx t則稱則稱x(t), t t在在t0處均方連續(xù)處均方連續(xù) 若對任意的若對任意的tt, x(t), tt在在t處均方連續(xù)處均方連續(xù),則稱則稱 x(t), tt在在t上均方連續(xù)上均方連續(xù). 或稱或稱 x(t), tt是是均方連續(xù)均方連續(xù)的的.1. 均方連續(xù)定義均方連續(xù)定義3 均方導數均方導數1. 均方導數的均方導數的定義定義 設設( ),x t tt是二階矩過程是二階矩過程，0,tt若均方若均方極限極限000()(). .tx ttx tl i mt 存在存在,則稱此則稱此極限為極限為( ),x t tt在在t0點的均方導數點的均方導數.0( )x t或或0( ).t tdx

8、 tdt這時稱這時稱( ),x t tt在在t0處均處均方可導方可導記為記為 4 均方積分均方積分1. 均方積分的定義均方積分的定義設設x(t),ta,b是二階矩過程，是二階矩過程，f(t,u)是是a,b u上的普通函數，對區(qū)間上的普通函數，對區(qū)間a,b 任一劃分任一劃分01natttb1,1,2, )kkktttkn（記1,1,2,kkkttntk任?。ǎ┳骱褪?( , )( ),kknkkttfu xth如果以下均方極限存在如果以下均方極限存在01. .( , )( )nkkkkl i mf t u x tt1maxkk nt 令該均方極限值該均方極限值y(u)稱為稱為 ( , )( ),

9、 , f t u x t ta b在在a,b上的上的均方積分均方積分.kt且此極限不且此極限不依懶于對依懶于對a,b的分法及的分法及的取法的取法,則稱則稱 ( , )( ), , f t u x t ta b在在a,b上上均方可積均方可積. ( , )( ),baf t u x t dt記為記為即即 ( , )( ),( )baf t u x t dtuyuu 結論結論 設二階矩過程設二階矩過程x(t),tt均方可導均方可導.則則(1)導數過程導數過程的均值函數等于原過程的均值函數等于原過程( ),x t tt均值函數的導數，即均值函數的導數，即( )( ),;xxmtmt tt( ),x t

10、 tt(2) 導數過程導數過程( ),x t tt和原過程和原過程 ( ),x t tt的的互相關函數互相關函數( , )xxrs t等于原過程等于原過程 ( ),x t tt的的相關函數相關函數( , )xr s t關于關于s的偏導數，即的偏導數，即( , )( , ), ,;xxxrs tr s t s tts( , )( , ), ,;xxxrs trs t s ttt(3)原過程原過程( ),x t tt( ),x t tt和導數過程和導數過程的的互相關函數互相關函數( , )xxrs t等于原過程等于原過程( ),x t tt的的相關函數相關函數( , )xrs t關于關于t的偏導數

11、，即的偏導數，即的的的的(4) 導數過程導數過程( ),x t tt相關函數相關函數( , )xrs t等于原過程等于原過程( ),x t tt相關函數相關函數( , )xrs t的二階混合偏導數，即的二階混合偏導數，即22( , )( , )( , ), ,.xxxrs trs trs t s tts tt s 是參數為是參數為定義定義 設設( ),0w t t 2的的wiener過程過程.如果存在實隨機過程以如果存在實隨機過程以2()st 為其相關函數，為其相關函數，則稱該過程為則稱該過程為wiener 過程過程( ),0w t t 的導數過的導數過程記為程記為( ),0.w t t從而從

12、而2( , )(), ,0.wrs tst s t 稱稱參數為參數為2的的wiener過程過程( ),0w t t 的導數過的導數過程程( ),0w t t為參數為為參數為2的的白噪聲過程白噪聲過程或或白噪聲白噪聲.七七.布朗運動的導數過程布朗運動的導數過程tststsrsw, 0,),(2因為tststsu, 0, 1)(令：)(),(2tsutsrsw則有()()stdriu stcat再引進函數：)(),(22tstsrstw于是有)(),(22tstsrtsw同理八八.布朗運動的積分過程布朗運動的積分過程0( )( ),( ).ts tw u dus t令稱為積分布朗運動積分布朗運動是正態(tài)過程積分布朗運動是正態(tài)過程( )0e s 20( , )()23sstsscs tt當九：在某點被吸收的布朗運動九：在某點被吸收的布朗運動( )0.( ),( ), ( ),0.( )xxxtw txxw t ttz txttz t txxz t設為布朗運動首次擊中 的時刻，令則是擊中 后被吸收停留在 狀態(tài)的布朗運動是混合型隨機變量.本章作業(yè)本章作業(yè) 1. 2. 3