數(shù)理方程課件：第4章4_2格林函數(shù)

1、1),0( rrU1ln0二維、三維二維、三維拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的基本解基本解分別為分別為rU101 12 2.)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)格林第二公式格林第二公式.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)3 3調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式式.)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu2, 0dSnu性質(zhì)性質(zhì)1 1(12)(12)調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)4 4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)它在它在上連續(xù)，且上連續(xù)，且不為常數(shù)不為常數(shù)，),(zyxu則則內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，是區(qū)域是區(qū)域性質(zhì)性質(zhì)3 3它的最大值

2、、它的最大值、最小值只能在邊界最小值只能在邊界上達(dá)到上達(dá)到 ( (極值原理極值原理) )。.41)(20dSuaMua性質(zhì)性質(zhì)2 2(13)(13)3設(shè)設(shè)且在且在上連續(xù)，上連續(xù)，vu,則在則在內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)， 都是區(qū)域都是區(qū)域推論推論1 1若在若在且只有在且只有在vu 時(shí)，時(shí)，( (比較原理比較原理) ) , vu 邊界邊界上成立不等式上成立不等式內(nèi)該不等式同樣成立，內(nèi)該不等式同樣成立，內(nèi)等號(hào)才成立。內(nèi)等號(hào)才成立。在在4的解是惟一性。的解是惟一性。拉普拉斯方程狄利克雷問題：拉普拉斯方程狄利克雷問題： ),(|zyxfu,),(, 0),(zyxzyxu (14)(14)推論推論2(2

3、(唯一性唯一性) )54.2 4.2 格林函數(shù)格林函數(shù)對(duì)于在區(qū)域?qū)τ谠趨^(qū)域有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們有等式我們有等式在邊界在邊界還不能直接由還不能直接由(8)(8)式求出。式求出。此積分表達(dá)式表示函數(shù)此積分表達(dá)式表示函數(shù)但但狄利克雷問題狄利克雷問題或或諾依曼問題諾依曼問題的的解解上的數(shù)值上的數(shù)值表示出來。表示出來。nu中為中為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，在，在, u及其法向?qū)?shù)及其法向?qū)?shù)上具上具u.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)內(nèi)部的數(shù)值內(nèi)部的數(shù)值在區(qū)域在區(qū)域可以用函數(shù)可以用函數(shù)u64.2 4.2 格林函數(shù)格林函數(shù)對(duì)于在區(qū)域?qū)τ谠趨^(qū)域有一階

4、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們有等式我們有等式由于由于在邊界在邊界因此因此比如，對(duì)于比如，對(duì)于狄利克雷問題狄利克雷問題，上上狄利克雷問題狄利克雷問題的解是的解是惟一惟一的，的，上的值就不知道，上的值就不知道，的值就不能再任意給定了。的值就不能再任意給定了。nu中為中為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，在，在, u而而上具上具.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)上的值是已上的值是已在在給定的，給定的，在邊界在邊界nu比如，對(duì)于比如，對(duì)于狄利克雷問題狄利克雷問題，而而u上的值是已上的值是已74.2 4.2 格林函數(shù)格林函數(shù)對(duì)于在區(qū)域?qū)τ谠趨^(qū)域有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有

5、一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)我們有等式我們有等式所以為了求解所以為了求解狄利克雷問題狄利克雷問題，函數(shù)函數(shù)的概念。的概念。.nu中為中為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，在，在, u上具上具.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)我們自然首先想到我們自然首先想到從公式從公式(8)(8)中設(shè)法中設(shè)法消去消去還需要借助還需要借助格林第二公式格林第二公式.)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)為此，需要引入為此，需要引入格林格林8.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)在在格林第二公式格林第二公式(6)(6)中，

6、取中，取調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，vu,均為區(qū)域均為區(qū)域?qū)⑸鲜脚c將上式與(8)(8)式相加得式相加得內(nèi)的內(nèi)的并且在并且在則得則得上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，.0dSnuvnvu00011().44MMMMuu MuvvdSnrrn(15)(15)9.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)如果選取如果選取調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)00011().44MMMMuu MuvvdSnrrn(15)(15), v使之滿足使之滿足項(xiàng)就消失了，項(xiàng)就消失了，01| ,4MMvrnu這樣這樣(15)(15)式中的式中的于是有于是有001(

7、).4MMu Muv dSnr (16)(16)10選取的選取的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù), v滿足滿足01| ,4MMvr于是有于是有001().4MMu Muv dSnr (16)(16)令令001(,),4MMG M Mvr(17)(17)則則(16)(16)式可表示為式可表示為.)(0dSnGuMu(18)(18)稱為稱為拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的格林函數(shù)格林函數(shù)),(0MMG其中其中( (或或上恒等于上恒等于0 0. .稱為稱為狄利克雷問題狄利克雷問題的的源函數(shù)源函數(shù)).).在在),(0MMG而且而且邊界邊界11),(|zyxfu,),(, 0),(zyxzyxu (19)(19)001(,

8、),4MMG M Mvr(17)(17).)(0dSnGuMu(18)(18)已經(jīng)知道，已經(jīng)知道，),(0MMG因此，如果因此，如果格林函數(shù)格林函數(shù)并且并且上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，斯方程斯方程的的狄利克雷問題狄利克雷問題上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在的話，上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在的話，在在它在它在那么問題那么問題(19)(19)的解可表示為的解可表示為.),()(0dSnGzyxfMu(20)(20)如果如果拉普拉拉普拉12),(|zyxfu,),(,),(zyxFzyxu ,41),(00vrMMGMM(17)(17)已經(jīng)知道，已經(jīng)知道，),(0MMG因此，如果因此，如

9、果格林函數(shù)格林函數(shù)并且并且上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)于對(duì)于泊松方程泊松方程的的狄利克雷問題狄利克雷問題而言而言上如果存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解，上如果存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解，在在它在它在解必能表示為解必能表示為.)(0FGddSnGfMu則這個(gè)則這個(gè).),()(0dSnGzyxfMu(20)(20)1301|4MMvr,),(, 0zyxv 001(,),4MMG M Mvr(17)(17)v應(yīng)用應(yīng)用(20)(20)求解拉普拉斯方程的求解拉普拉斯方程的狄利克雷問題狄利克雷問題時(shí)，時(shí)，關(guān)鍵在于要找到關(guān)鍵在于要找到格林函數(shù)格林函數(shù)(17)(17)是下面是下面特殊的狄利克雷問題特殊的

10、狄利克雷問題的解的解由這個(gè)函數(shù)由這個(gè)函數(shù)v問題的格林函數(shù)問題的格林函數(shù)。),(0MMG其中其中確定的格林函數(shù)，稱為確定的格林函數(shù)，稱為第一邊值第一邊值.),()(0dSnGzyxfMu(20)(20)(21)(21)( (對(duì)于某些對(duì)于某些特殊區(qū)域特殊區(qū)域，如，如球域球域、半空間半空間等，可求出格林函數(shù)等，可求出格林函數(shù)) )14補(bǔ)充補(bǔ)充3 3 定義定義平面上第一邊值問題的格林函數(shù)平面上第一邊值問題的格林函數(shù)并并為此，我們需要借助公式為此，我們需要借助公式和和平面上的第二格林公式平面上的第二格林公式導(dǎo)出該問題導(dǎo)出該問題解的積分表達(dá)式解的積分表達(dá)式.)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdS

11、nMurrnMuMu( (8)8)CDdSnuvnvuduvvu.)( (6)6)15在在格林公式格林公式(6)(6)中，中，取取調(diào)和函數(shù)，調(diào)和函數(shù)，vu,均為區(qū)域均為區(qū)域?qū)⑸鲜脚c將上式與(8)(8)式相加得式相加得內(nèi)的內(nèi)的并且在并且在D，則得，則得CD 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).0CdSnuvnvuCMMMMdSnuvrrvnuMu.1ln211ln21)(000(1(15)5)CDdSnuvnvuduvvu.)( (6)6).)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu( (8)8)16如果選取如果選取調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù), v滿足滿足項(xiàng)就消失了，項(xiàng)就消

12、失了，,|1ln21|0CMMCrvnu這樣這樣(15)(15)式中式中的的于是有于是有CMMdSvrnuMu.1ln21)(00(1(16)6)CDdSnuvnvuduvvu.)( (6)6).)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu( (8)8)CMMMMdSnuvrrvnuMu.1ln211ln21)(000(1(15)5)17令令,1ln21),(00vrMMGMM(1(17)7)則則(16)(16)式可表示式可表示為為CdSnGuMu.)(0(1(18)8)稱為稱為二維二維拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的格林函數(shù)格林函數(shù)),(0MMG其中其中上恒等于上恒等于0

13、 0. .( (或稱或稱狄利克雷問題狄利克雷問題的的源函數(shù)源函數(shù)).).在在),(0MMG而且而且C邊界邊界CMMdSvrnuMu.1ln21)(00(1(16)6)18),(|yxfuC,),(, 0),(Dyxyxu (1(19)9)已經(jīng)知道，已經(jīng)知道，),(0MMG因此，如果因此，如果格林函數(shù)格林函數(shù)并且并且上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果如果二維二維拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷問題狄利克雷問題上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在的話，上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在的話，CD 在在CD 它在它在那么問題那么問題(19)(19)的解可表示為的解可表示為CdSnGyxfMu.)

14、,()(0(2(20)0),1ln21),(00vrMMGMM(1(17)7)CdSnGuMu.)(0(1(18)8)19011|(ln)|2CCMMvr,),(,Dyxv 0v應(yīng)用應(yīng)用(18)(18)求解拉普拉斯方程求解拉普拉斯方程狄利克雷問題狄利克雷問題時(shí)，時(shí)，關(guān)鍵在于要找到關(guān)鍵在于要找到格林函數(shù)格林函數(shù)(17)(17)是下面是下面特殊的狄利克雷問題特殊的狄利克雷問題的解的解由這個(gè)函數(shù)由這個(gè)函數(shù)v問題的格林函數(shù)問題的格林函數(shù)。),(0MMG其中其中確定的格林函數(shù)，稱為確定的格林函數(shù)，稱為第一邊值第一邊值(2(21)1)( (對(duì)于某些對(duì)于某些特殊區(qū)域特殊區(qū)域，如，如圓域圓域、半平面半平面等，

15、可求出格林函數(shù)等，可求出格林函數(shù)) ),1ln21),(00vrMMGMM(1(17)7)CdSnGuMu.)(0(1(18)8)20001(,),4MMG M Mvr(17)(17)格林函數(shù)格林函數(shù)的幾個(gè)重要的幾個(gè)重要性質(zhì)性質(zhì)：格林函數(shù)格林函數(shù)0MM 當(dāng)當(dāng)處處滿足拉普拉斯方程，處處滿足拉普拉斯方程，),(0MMG0MM 一點(diǎn)外一點(diǎn)外在除去在除去性質(zhì)性質(zhì)1 1相同。相同。趨于無窮大，趨于無窮大，01MMr時(shí)，時(shí)，其階數(shù)和其階數(shù)和),(0MMG在在邊界邊界),(0MMG恒等于恒等于0.0.上格林函數(shù)上格林函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)2 2在在區(qū)域區(qū)域0010(,).4MMG M Mr內(nèi)內(nèi)，下面不等式成立，下面不

16、等式成立性質(zhì)性質(zhì)3 321001(,),4MMG M Mvr(17)(17)格林函數(shù)格林函數(shù)的幾個(gè)重要的幾個(gè)重要性質(zhì)性質(zhì)：格林函數(shù)格林函數(shù),21MM即若即若之間具有對(duì)稱性質(zhì)，之間具有對(duì)稱性質(zhì)，),(0MMGM和參變量和參變量關(guān)于自變量關(guān)于自變量性質(zhì)性質(zhì)4 4這個(gè)性質(zhì)在這個(gè)性質(zhì)在電學(xué)上的意義電學(xué)上的意義可以這樣來描述：可以這樣來描述：2M則則處的處的單位單位點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷在1M).,(),(1221MMGMMG類似于這樣的原理，在物理學(xué)中稱為類似于這樣的原理，在物理學(xué)中稱為互易原理互易原理。處產(chǎn)生的電位等于處產(chǎn)生的電位等于0M( (對(duì)稱性對(duì)稱性) )1M處的處的單位單位點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷在2M處產(chǎn)生

17、的電位。處產(chǎn)生的電位。22001(,),4MMG M Mvr(17)(17)格林函數(shù)格林函數(shù)的幾個(gè)重要的幾個(gè)重要性質(zhì)性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)5 5. 1),(0MdSnMMG一方面利用關(guān)系式一方面利用關(guān)系式(20)(20)，證證. 1),(|zyxfu,),(, 0),(zyxzyxu 考察下列考察下列狄利克雷問題狄利克雷問題dSnGzyxfMu),()(0(20)(20)可得可得,dSnG另一方面由另一方面由極值原理極值原理知此問題解為知此問題解為. 1u根據(jù)根據(jù)狄利克雷問題解的惟一性狄利克雷問題解的惟一性可知性質(zhì)可知性質(zhì)5 5成立。成立。23001(,),4MMG M Mvr(17)(17)格林函數(shù)

18、格林函數(shù)在靜電學(xué)中的在靜電學(xué)中的物理意義物理意義：01.4MMr處放一處放一單位正單位正電荷，電荷，0M則在自由空間則在自由空間中，中，設(shè)在點(diǎn)設(shè)在點(diǎn)它所產(chǎn)生的電位為它所產(chǎn)生的電位為在在導(dǎo)電面內(nèi)導(dǎo)電面內(nèi)的電位，可用函數(shù)的電位，可用函數(shù)則此時(shí)則此時(shí)v而這個(gè)導(dǎo)電面又是接地的，而這個(gè)導(dǎo)電面又是接地的，點(diǎn)的點(diǎn)電荷是包圍在一個(gè)封閉的點(diǎn)的點(diǎn)電荷是包圍在一個(gè)封閉的0M導(dǎo)電面內(nèi)，導(dǎo)電面內(nèi)，如果在如果在001(,),4MMG M Mvr來表示，來表示， 此函數(shù)在此函數(shù)在導(dǎo)電面上恒等于導(dǎo)電面上恒等于0 0， 其中函數(shù)其中函數(shù)正好表示導(dǎo)電面上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位。正好表示導(dǎo)電面上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位。244.3 4.

19、3 格林函數(shù)的應(yīng)用格林函數(shù)的應(yīng)用由公式由公式分表示出來。分表示出來。則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，可知，對(duì)于一個(gè)由曲面可知，對(duì)于一個(gè)由曲面普拉斯方程普拉斯方程的的狄利克雷問題狄利克雷問題的解就可以用此積的解就可以用此積源像法源像法( (鏡像法鏡像法) )求得。求得。拉拉它的格林函數(shù)可用它的格林函數(shù)可用靜電靜電對(duì)于某些特殊區(qū)域，對(duì)于某些特殊區(qū)域，只要求出它的只要求出它的格林函數(shù)格林函數(shù)，來說，來說，圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)254.3 4.3 格林函數(shù)的應(yīng)用格林函數(shù)的應(yīng)用關(guān)于關(guān)于的的像點(diǎn)像點(diǎn)( (對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn))

20、)所謂所謂鏡像法鏡像法，處放置處放置適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，此時(shí)二者形成電場(chǎng)在此時(shí)二者形成電場(chǎng)在然后在這個(gè)像點(diǎn)然后在這個(gè)像點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)由它所產(chǎn)生的由它所產(chǎn)生的負(fù)電位負(fù)電位與與0M邊界邊界外外找出點(diǎn)找出點(diǎn)就是就是在區(qū)域在區(qū)域001(,),4MMG M Mvr(17)(17)內(nèi)內(nèi)的電位，的電位，, 1M1M處的處的單位正電荷單位正電荷所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的正電位正電位在曲面在曲面0M上上互相抵消，互相抵消，就相當(dāng)于所要求的就相當(dāng)于所要求的格林函數(shù)格林函數(shù)。26dSnGMfMu)()(0(20)(20)001(,),4MMG M Mvr(17)(17)4.3.1 4.3.1 半空間的格林函數(shù)半空間的格林函數(shù)

21、及狄利克雷問題及狄利克雷問題求解上半空間求解上半空間,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx ),(0000zyxM0z0z內(nèi)的狄利克雷問題內(nèi)的狄利克雷問題(23)(23)(22)(22)先求出格林函數(shù)先求出格林函數(shù)).,(0MMG為此，為此，在上半空間在上半空間的點(diǎn)的點(diǎn)處放置一處放置一單位正電荷單位正電荷， 在點(diǎn)在點(diǎn)),(0001zyxM0M的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)0z關(guān)于平面關(guān)于平面處放置一處放置一單位負(fù)電荷單位負(fù)電荷。27dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)4.3.1 4.3.1 半空間的格林函數(shù)及狄利克雷問題半空間的格林函數(shù)

22、及狄利克雷問題求解上半空間求解上半空間,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx 0z內(nèi)的狄利克雷問題內(nèi)的狄利克雷問題(23)(23)(22)(22)由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位在平面在平面上上因此，因此，上半空間的格林函數(shù)上半空間的格林函數(shù)為為0z恰好為恰好為0 0. .,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)28dSnGMfMu)()(0(20)(20)為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0znG0z上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，

23、因此，oz軸的負(fù)軸的負(fù),1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)202020)()()(141zzyyxxz0202020)()()(1zzzyyxxz29dSnGMfMu)()(0(20)(20)為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0znG0z上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oz軸的負(fù)軸的負(fù),1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)2/32020200)()()(41zzyyxxzz0202020)()()(1zzzyyxxz30dSnGMfMu)()(0

24、(20)(20)為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)算的解，需要計(jì)算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0znG0z上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oz軸的負(fù)軸的負(fù),1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)2/32020200)()()(41zzyyxxzz02/32020200)()()(zzzyyxxzz31dSnGMfMu)()(0(20)(20)0|znG因此，因此，,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24),)()(212/32020200zyyxxz(25)(25)將將(25)(25)代入代入(2

25、0)(20)中，得到定解問題中，得到定解問題(22)(23)(22)(23)的解的解)(0Mu03/2222000( , )1.2()()f x y z dxdyxxyyz (26)(26)32)(0Mu.)()(),(212/32020200 zyyxxdxdyzyxf(26)(26)設(shè)在均勻的半空間的邊界上保持定常溫度設(shè)在均勻的半空間的邊界上保持定常溫度，在圓，在圓, 11:22 yxK之內(nèi)等于之內(nèi)等于1 1，例例1 1, 0而在其外等于而在其外等于0.0.求在半空間內(nèi)溫度的求在半空間內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布穩(wěn)定分布。解解這個(gè)問題歸結(jié)為如下定解問題這個(gè)問題歸結(jié)為如下定解問題),(|0yxfuz),

26、0(0zuuuzzyyxx 由公式由公式(26)(26)可得可得, 122 yx. 122 yx),(000zyxu.)()(22/32020200Kzyyxxdxdyz33應(yīng)用極坐標(biāo)：應(yīng)用極坐標(biāo)：在在Koz軸的軸的正半軸正半軸,sinry 上，有上，有是是圓域圓域，由于積分區(qū)域由于積分區(qū)域,cosrx )0, 0(00yx特別地，特別地，), 0 , 0(0z.)1 (12/1200zz),(000zyxu.)()(22/32020200Kzyyxxdxdyz), 0 , 0(0zu.22/320220Kzyxdxdyz得得), 0 , 0(0zu 10202/320202zrrdrdz10

27、2/32020zrrdrz102/120201rrzrz當(dāng)當(dāng)沿沿oz軸的軸的正半軸趨于無窮時(shí)正半軸趨于無窮時(shí)，. 0), 0 , 0(0zu34補(bǔ)充補(bǔ)充4 4 半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題CdSnGyxfMu.),()(0(2(20)0),1ln21),(00vrMMGMM(1(17)7)求解上半平面求解上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx ),(000yxM0y0y內(nèi)的狄利克雷問題內(nèi)的狄利克雷問題(2(23)3)(2(22)2)先求出格林函數(shù)先求出格林函數(shù)).,(0MMG為此，為此，在上半平面在上半平面的點(diǎn)的點(diǎn)處放置一處放置一單位正電荷單

28、位正電荷，在點(diǎn)在點(diǎn)),(001yxM0M的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)0y關(guān)于邊界關(guān)于邊界處放置一處放置一單位負(fù)電荷單位負(fù)電荷。35由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位在邊界在邊界上上因此，因此，上半平面的格林函數(shù)上半平面的格林函數(shù)為為0y恰好為恰好為0 0. .,1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(2(24)4)補(bǔ)充補(bǔ)充4 4 半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問題CdSnGyxfMu.),()(0(2(20)0),1ln21),(00vrMMGMM(1(17)7)求解上半平面求解上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx 0y內(nèi)的狄利克雷

29、問題內(nèi)的狄利克雷問題(2(23)3)(2(22)2)36為了求得問題為了求得問題(22)(23)(22)(23)的解，需要計(jì)的解，需要計(jì)算算由于在邊界由于在邊界00|yyyGnG.|0ynG0y上的外法線方向是上的外法線方向是向，因此，向，因此，oy軸的負(fù)軸的負(fù)2020)()(1ln21yyxxy02020)()(1lnyyyxxyCdSnGyxfMu.),()(0(2(20)0),1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(2(24)4)37022000()()yyyxxyy0220012()()yyxxyy00|yyyGnG因此，因此，CdSnGyxfMu.),()(0(2(20)0)

30、,1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(2(24)4)380|ynG022001,()yxxy (2(25)5)將將(25)(25)代入代入(20)(20)中，可得中，可得半平面拉普拉斯方半平面拉普拉斯方程程002200( )1().()f x y dxu Mxxy(2(26)6)因此，因此，CdSnGyxfMu.),()(0(2(20)0),),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx (2(23)3)(2(22)2)解的積分表達(dá)式解的積分表達(dá)式狄利克雷問題狄利克雷問題39dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)4.3.2 4.3

31、.2 球域的格林函數(shù)及狄利克雷問題球域的格林函數(shù)及狄利克雷問題求解求解球域上球域上的狄利克雷問題：的狄利克雷問題：).,(|zyxfu,),(0zyxuuuzzyyxx ),(0000zyxMo(28)(28)(27)(27)其中其中是以是以邊界為邊界為為心，為心，現(xiàn)在利用現(xiàn)在利用靜電源像法靜電源像法求球的求球的格林函數(shù)格林函數(shù)。 為此，為此，0oMR在半射線在半射線.為半徑的球域，為半徑的球域，上截取上截取在球內(nèi)任取一點(diǎn)在球內(nèi)任取一點(diǎn), 1oM線段線段.210RrrOMOM使使(29)(29)40dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17),441

32、10PMPMrqr0M點(diǎn)點(diǎn)1M稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)的的反演點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)反演點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)。關(guān)于球面關(guān)于球面要適當(dāng)選取要適當(dāng)選取電位電位在球面在球面上正好抵消上正好抵消。則應(yīng)有則應(yīng)有滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式P設(shè)設(shè).210RrrOMOM是球面上任一點(diǎn)，是球面上任一點(diǎn)，(29)(29)0M為求出格林函數(shù)為求出格林函數(shù)),(0MMG在點(diǎn)在點(diǎn)處放置處放置單位單位正電荷正電荷，我們我們的值，的值，q使得這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的使得這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的1M在點(diǎn)在點(diǎn)處放置處放置q單位的負(fù)電荷單位的負(fù)電荷，.01PMPMrrq 41dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17),001OMP

33、MPMrRrrO與與1OPM在點(diǎn)在點(diǎn)而夾此角而夾此角有公共角，有公共角，三角形相似。三角形相似。也就是說我們必須在也就是說我們必須在點(diǎn)點(diǎn)電荷電荷。0/rR處放置處放置由于由于POM0單位的負(fù)單位的負(fù).14110MMOMrrRv1M的相應(yīng)兩邊按的相應(yīng)兩邊按(29)(29)式是成比例的，式是成比例的，從而有從而有因此這兩個(gè)因此這兩個(gè).01PMPMrrq ,0OMrRq 由此得由此得42dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)那么，以那么，以記記則則(30)(30)式變形為式變形為0OM的夾角，的夾角，.1141),(1000MMOMMMrrRrMMG

34、為球面的為球面的球域的格林函數(shù)球域的格林函數(shù)就是就是是是(30)(30)OM和和cos2141),(02200rrrrMMGcos2112210rrrrrR,1010OMOMOMrrrrrr43dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)利用關(guān)系式利用關(guān)系式(29)(29)cos2141),(02200rrrrMMGcos2112210rrrrrR,210RrrOMOM則可得則可得cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrR為了求解原問題為了求解原問題(27)(28)(27)(28)的解，還需算的解，還需算出出.|

35、nG44dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)在球面在球面上，上，cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrRRrrGnG|2/302200cos2cos41rrrrrrRrRrrRrrRrRrr2/34022020220cos2cos45dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)在球面在球面上，上，cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrRRrrGnG|2/30202202cos241RrrRrRR因此，由因此，由(20)(

36、20)得問題得問題(27)(28)(27)(28)的解的表達(dá)式為的解的表達(dá)式為.cos2),(41)(2/302022020dSRrrRrRzyxfRMu(31)(31)46dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)因此，由因此，由(20)(20)得問題得問題(27)(28)(27)(28)的解的表達(dá)式為的解的表達(dá)式為.cos2),(41)(2/302022020dSRrrRrRzyxfRMu(31)(31)在在球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中，表達(dá)式中，表達(dá)式(31)(31)變?yōu)樽優(yōu)?200000),(4),(RfRru(32)(32),sincos22/30202202ddRrrRrR公式公式(31)(31)或或(32)(32)稱為稱為球域上的泊松公式球域上的泊松公式47 200000),(4),(RfRru(32)(32),sincos22