世紀(jì)金榜高三文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練二三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)備課大師 【全免費(fèi)】溫馨提示： 此套題為word版，請(qǐng)按住ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。專(zhuān)項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練(二)三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用一、選擇題1.(2015·濟(jì)寧模擬)已知向量a=(1,),b=(cos,sin),若ab,則tan=()a.b.c.-d.-【解析】選b.因?yàn)閍b,所以sin-cos=0,即sin=cos.故tan=.2.已知abc的內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=(2sin b,-),n=(cos2b,2cos2-1),且mn,則銳角b的值為()a.b.c.d.【解題提示】根據(jù)mn,轉(zhuǎn)化為b

2、的三角函數(shù)值后求解.【解析】選d.因?yàn)閙n,所以2sinb(2cos2-1)=-cos2b,所以sin2b=-cos2b,即tan2b=-.又因?yàn)閎為銳角,所以2b(0,).所以2b=,所以b=.3.(2015·臨沂模擬)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),則a與b一定滿(mǎn)足()a.a與b的夾角等于-b.abc.abd.(a+b)(a-b)【解題提示】欲求a與b滿(mǎn)足的關(guān)系,先利用平面向量數(shù)量積公式,判斷a與b是否有垂直或者平行的關(guān)系,再結(jié)合選項(xiàng)判斷.【解析】選d.因?yàn)閍·b=(cos,sin)·(cos,sin)=cos(-),這表明這兩個(gè)向量的夾

3、角的余弦值為cos(-).同時(shí),也不能得出a與b的平行和垂直關(guān)系.因?yàn)橛?jì)算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)(a-b).故選d.4.已知a=,b=(cos,sin),(0,),則|a-b|的取值范圍是()a.(0,1)b.(0,1c.(0,)d.(0,【解析】選c.因?yàn)閍-b=,所以|a-b|=,因?yàn)?0,),所以,cos(0,1).故|a-b|(0,).5.(2015·鄭州模擬)在abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c,cosc=,·=-2且a+b=5,則c等于()a.b.c.4d.【解題提示】由已知cosc=,·=-2,利用數(shù)量積公

4、式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosc可求c.【解析】選a.由已知cosc=,·=-2,得b·a·cos(-c)=-2b·a·cosc=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosc=(a+b)2-2ab-2abcosc=52-2×8-4=5.所以c=.故選a.二、填空題6.在abc中,內(nèi)角a,b,c所對(duì)邊分別為a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosa,b),p=(c,-bcosa),若mn,mp,則abc的形狀是.【解題提示】利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊角關(guān)系后,再邊化角可解.【解

5、析】由mn可得,b=2ccosa.由正弦定理可得sinb=2sinccosa,即sin(a+c)=2sinccosa.從而sinacosc+cosasinc=2sinccosa,故sinacosc-cosasinc=0.即sin(a-c)=0,又-<a-c<,所以a-c=0,即a=c.由mp可得c-2bcosa=0,從而sinc-2sinbcosa=0,故sin(a+b)-2sinbcosa=0.即sinacosb-cosasinb=0,即sin(a-b)=0,故a-b=0,a=b.所以a=b=c.故三角形為等邊三角形.答案:等邊三角形7.(2015·銀川模擬)已知正三角

6、形oab中,點(diǎn)o為原點(diǎn),點(diǎn)b的坐標(biāo)是(-3,4),點(diǎn)a在第一象限,向量m=(-1,0),記向量m與向量的夾角為,則sin的值為.【解析】設(shè)向量與x軸正向的夾角為,則+=+=,且有sin=,cos=-,sin=sin(-)=sin=sin-cos=×-×=.答案:8.在abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c,且2cos2cosb-sin(a-b)sinb+cos(a+c)=-,若a=4,b=5,則在方向上的投影為.【解題提示】利用已知條件先轉(zhuǎn)化求得cosa,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosb-sin(a-b)·sinb+cos(a+c)=-,得

7、cos(a-b)+1cosb-sin(a-b)sinb-cosb=-,即cos(a-b)cosb-sin(a-b)sinb=-.則cos(a-b+b)=-,即cosa=-.由0<a<,得sina=,由正弦定理,有=,所以,sinb=.由題知a>b,則a>b,故b=,根據(jù)余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影為|cosb=.答案:三、解答題9.(2015·晉中模擬)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)(a-b),求cos2x的值.(2)若ab,求c

8、os2x-sin2x的值.【解析】(1)因?yàn)?a+b)(a-b),a+b=(sin x+cos x,-),a-b=(sin x-cos x,),所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0,即cos2x=-.(2)因?yàn)閍b,所以-sin x-cos x=0,即tan x=-,所以cos2x-sin2x=.10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函數(shù)f(x)=m(a·b+sin2x),m為正實(shí)數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.(2)將函數(shù)f(x)的圖象的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍,然后再向右

9、平移個(gè)單位得到y(tǒng)=g(x)的圖象,試探討:當(dāng)x0,時(shí),函數(shù)y=g(x)與y=1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】(1)f(x)=m(a·b+sin2x)=msin(x+)cos x-sin2x+sin2x=m(cos2x-sin2x+sin2x)=2msin(2x+).由m>0知,函數(shù)f(x)的最小正周期t=.又2k+2x+2k+(kz),解得k+xk+(kz).所以函數(shù)的遞減區(qū)間是k+,k+(kz).(2)將函數(shù)f(x)的圖象橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍,得y=2msin(x+),再向右平移個(gè)單位,得y=2msin(x-)+,所以:g(x)=2msin x.由0x及m>0得0g(x)

10、2m,所以當(dāng)0<m<時(shí),y=g(x)與y=1無(wú)交點(diǎn).當(dāng)m=時(shí),y=g(x)與y=1有唯一公共點(diǎn),當(dāng)m>時(shí),y=g(x)與y=1有兩個(gè)公共點(diǎn).11.(2015·保定模擬)abc的三個(gè)內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosbcosc,sinbsinc-),且mn.(1)求a的大小.(2)現(xiàn)給出下列四個(gè)條件:a=1;b=2sinb;2c-(+1)b=0;b=45°.試從中再選擇兩個(gè)條件以確定abc,求出你所確定的abc的面積.【解析】(1)因?yàn)閙n,所以-cosbcosc+sinbsinc-=0,即cosbcosc-sinbs

11、inc=-,cos(b+c)=-,因?yàn)閍+b+c=180°,所以cos(b+c)=-cosa,所以cosa=,又0°<a<180°,所以a=30°.(2)選擇可確定abc.因?yàn)閍=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,整理得b2=2,b=,c=.所以sabc=bcsina=×××=.【一題多解】(2)選擇可確定abc.因?yàn)閍=30°,a=1,b=45°,所以c=105°.因?yàn)閟in105°=sin(

12、60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,由正弦定理=,得b=,所以sabc=absinc=×1××=.12.已知向量a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),其中0<<x<.(1)若=,求函數(shù)f(x)=b·c的最小值及相應(yīng)x的值.(2)若a與b的夾角為,且ac,求tan2的值.【解析】(1)因?yàn)閎=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),=,所以f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,則2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.則y=t2+t-1=-,-1<t<,所以t=-時(shí),ymin=-,此時(shí)sinx+cosx=-,即sin=-,因?yàn)?lt;x<,所以<x+<,所以x+=,所以x=.所以函數(shù)f(x)的最