小波變換學(xué)習(xí)心得

1、小波變換學(xué)習(xí)心得第一章 什么是小波變換1從傅里葉變換到小波變換1.1 短時(shí)傅里葉變換為了克服傅里葉變換中時(shí)域和頻域不能兼容的缺點(diǎn)，短時(shí)傅里葉變換把一個(gè)時(shí)間信號(hào)變?yōu)闀r(shí)間和頻率的二維函數(shù)，它能夠提供信號(hào)在某個(gè)時(shí)間段和某個(gè)頻率范圍的一定信息。這些信息的精度依賴于時(shí)間窗的大小。短時(shí)傅里葉變換的缺點(diǎn)是對(duì)所有的頻率成分，所取的時(shí)間窗大小相同，然而，對(duì)很多信號(hào)為了獲得更精確的時(shí)間或頻率信息，需要可變的時(shí)間窗。1.2 小波變換小波變換提出了變換的時(shí)間窗，當(dāng)需要精確的低頻信息時(shí)，采用長(zhǎng)的時(shí)間窗，當(dāng)需要精確的高頻信息時(shí)，采用短的時(shí)間窗，圖1.3 給出了時(shí)間域信號(hào)、傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換和小波變換的對(duì)比示意圖。

2、由圖1.3看出，小波變換用的不是時(shí)間-頻率域。而是時(shí)間-尺度域，尺度越大，采用越大的時(shí)間窗，尺度越小，采用越短的時(shí)間窗，即尺度與頻率成反比。1.2 連續(xù)小波變換小波是一個(gè)衰減的波形，它在有限的區(qū)域里存在（不為零），且其均值為零。圖1.4是一個(gè)Daubechies小波（db10）與正弦波的比較。正弦波：隨時(shí)間無(wú)限振動(dòng)的光滑波形，小波變換：尖銳變化而且是無(wú)規(guī)則的波形。因此小波能更好的刻畫(huà)信號(hào)的局部特性。在數(shù)學(xué)上，傅里葉變換的公式為連續(xù)小波變換（Continue Wavelet Transform）的數(shù)學(xué)表達(dá)式式中，為小波；a為尺度因子；b為平移參數(shù)。圖1.6是小波變換的示意圖。由圖看出，小波變換給

3、出了在各個(gè)時(shí)刻信號(hào)是由哪些尺度的小波構(gòu)成。小波中的尺度因子的作用是將小波在保持完全相似條件下“拉伸”或者“壓縮”，圖1.7給吃了尺度因子的“拉伸”和“壓縮”作用。小波中的平移參數(shù)，是簡(jiǎn)單地將波形沿時(shí)間軸平移。連續(xù)小波變換CWTa,b是參數(shù)a和b的函數(shù)。下面的五個(gè)步驟是獲得CWTa,b的最簡(jiǎn)單方法。第一步，選擇尺度a一定的小波，把它與原始信號(hào)的開(kāi)始一段進(jìn)行比較。第二步，計(jì)算CWTa,b，它表示這段信號(hào)與尺度a小波的相關(guān)程度。CWTa,b越大，二者越相似。這個(gè)結(jié)果依賴于所選擇的小波的形狀。（圖1.8）第三步，向右移動(dòng)小波，然后重復(fù)第一步和第二步，直到處理完成全部的信號(hào)（圖1.9）第四步，增大小波的

4、尺度因子（拉升），重復(fù)第一步到第三步。第五步，對(duì)全部尺度因子重復(fù)第一步到第四步，得到的CWTa,b通常用灰度表示。圖1.11是小波變換的灰度圖例子。1.3 離散小波變換實(shí)際計(jì)算中不可能對(duì)全部尺度因子值和位移參數(shù)值計(jì)算CWTa,b值，加之實(shí)際的觀測(cè)信號(hào)都是離散的，所以信號(hào)處理中都是用離散小波變換（DWT）。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按2的冪次進(jìn)行離散。最有效的計(jì)算方法是S.Mallat于1988年發(fā)展的快速小波算法（又稱塔式算法）。對(duì)任一信號(hào)，離散小波變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部分（稱為近似部分）和離散部分（稱為細(xì)節(jié)部分）。近似部分代表了信號(hào)的主要特征。第二步對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似運(yùn)算

5、。不過(guò)這時(shí)尺度因子已改變。依次進(jìn)行到所需要的尺度。圖1.12給出了一個(gè)信號(hào)經(jīng)過(guò)第一次運(yùn)算后獲得的近似部分和細(xì)節(jié)部分。除了連續(xù)小波（CWT）、離散小波（DWT），還有小波包（Wavelet Packet）和多維小波。第二章 預(yù)備知識(shí)（傅里葉變換）第三章 連續(xù)小波變換3.1 引言小波變換采用改變時(shí)間-頻率窗口形狀的方法，很好地解決了時(shí)間分辨率和頻率分辨率的矛盾，在時(shí)間域和頻率域有很好的局部化性質(zhì)。對(duì)信號(hào)中的低頻成分，采用寬的時(shí)間窗，得到高的頻率分辨率；對(duì)信號(hào)中的高頻成分，采用窄的時(shí)間窗，得到低的頻率分辨率。小波變換的這種自適應(yīng)特性，使它在工程技術(shù)和信號(hào)處理方面獲得廣泛應(yīng)用。3.2 連續(xù)小波變換定義

6、設(shè)函數(shù)，滿足下述條件 （3.1）稱為基本小波（Prototype），引入尺度因子（伸縮因子）a和平移因子b，a和b滿足：將基本小波進(jìn)行伸縮和平移，得到下列函數(shù)族 （3.2）稱為分析小波，系數(shù)為歸一化常數(shù)，它使得對(duì)所有尺度a和平移因子b，下式成立（3.3）通常取=1，（本式的意義就是能量守恒）函數(shù)的連續(xù)小波變換（CWT）的定義為（3.4）式中，為的共軛函數(shù)。若基本小波滿足下述條件： （3.5）（小波變換中狄更斯條件？）則連續(xù)小波變換CWTa,b存在逆變換，公式為 （3.6） （3.7）稱式（3.5）為容許條件（Admissibility Condition），稱滿足容許條件的小波為容許小波。1&

7、gt;關(guān)于容許條件（其中，應(yīng)該為1階導(dǎo)數(shù)）2>關(guān)于尺度因子a根據(jù)傅里葉變換的尺度定理尺度因子a越小，的波形變窄，的頻譜向高頻端擴(kuò)展；a越大，的波形越寬，的頻譜向低頻段擴(kuò)展，從而實(shí)現(xiàn)了時(shí)間-頻率窗的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。3>小波變換逆變換式的證明傅里葉變換的巴什瓦公式為連續(xù)小波變換的公式為先根據(jù)傅里葉變換的時(shí)移和共軛性質(zhì)求出3.3 連續(xù)小波變換的物理意義連續(xù)小波變換的實(shí)質(zhì)是濾波器。濾波器在時(shí)間域和頻率域中的表示式為式中，h(t)是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)；H()是濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。與連續(xù)小波變換公式比較，小波變換的脈沖響應(yīng)為(3.10)其系統(tǒng)函數(shù)為這種濾波器稱為相關(guān)濾波器或者鏡像濾波器。由逆傅里葉變換公

8、式可得小波變換的濾波器是恒Q濾波器。3.4 連續(xù)小波變換的時(shí)間-頻率特性1 時(shí)頻空間設(shè)函數(shù)，且，定義單窗函數(shù)在時(shí)頻空間里的中心(t0，0)為 (3.11)t0和0相當(dāng)于物體的重心，在這里可理解為在時(shí)間域里信息的重心和頻率域里信息的中心，定義單窗函數(shù)在時(shí)頻空間中的時(shí)寬t和頻寬為 (3.12)時(shí)頻空間中以為(t0，0)中心，以2t和2為邊長(zhǎng)的矩形稱為時(shí)頻窗口（或分辨率窗口）。為了討論方便，一般去（t0，0）=（0，0），且=1。時(shí)頻空間中雙窗函數(shù)的相似定義如下：（3.13） t、-和+定義為（3.14）種雙窗為標(biāo)準(zhǔn)雙窗函數(shù)。在信號(hào)不確定原則一節(jié)曾證明過(guò)，t和必須滿足下述關(guān)系：即信號(hào)的時(shí)間分辨率與頻

9、率分辨率是相互制約的。補(bǔ)充：信號(hào)的不確定性原則2 的時(shí)頻特性由基本小波條件可以推出因從可知基本小波是雙窗函數(shù)。在以下討論中，假定小波函數(shù)是實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)雙窗函數(shù)。對(duì)有中心t0=0；0+和0-。下面討論分析小波的時(shí)頻空間里的中心、時(shí)寬和頻寬。1> 時(shí)域中心因?yàn)閠0=0，所以2> 頻域中心同樣可得3> 時(shí)寬（3.18）4> 頻寬討論：根據(jù)上述結(jié)果，在時(shí)頻空間里以和為中心確定了兩個(gè)時(shí)頻窗口，分別為面積S的大小由基本小波的性質(zhì)決定，與參數(shù)a,b無(wú)關(guān)。由于時(shí)頻窗口邊長(zhǎng)的變化，使得小波變換既滿足了信號(hào)的不確定性原則，又提高了小波的時(shí)間頻率分辨率。當(dāng)a值小時(shí)，時(shí)頻窗的時(shí)寬邊短，而頻寬邊長(zhǎng)，

10、提高了對(duì)信號(hào)中高頻成分的時(shí)間分辨率；當(dāng)a值大時(shí)，時(shí)頻窗的時(shí)寬邊長(zhǎng)，而頻寬邊短，提高了對(duì)信號(hào)中低頻成分的頻率分辨率。圖3.1給出了的時(shí)頻窗口隨尺度因子變化情況。在前面的討論中已經(jīng)指出，小波變換的物理本質(zhì)是濾波器。由上面討論的頻率中心和頻寬可知，小波變換的濾波器的中心頻率與帶寬的比為常數(shù)，稱為恒Q濾波器。圖3.2給出了小波變換恒Q濾波器的示意圖3.5 連續(xù)小波變換的性質(zhì)1> 線性連續(xù)小波變換是線性變換，即一個(gè)函數(shù)的連續(xù)小波變換等于該函數(shù)的分量的變換和。用公式表示如下：則2> 時(shí)移性3> 時(shí)標(biāo)定理4> 微分運(yùn)算5> 能量守恒6> 冗余度連續(xù)小波變換是把以為信號(hào)變換

11、到二維空間，因此小波變換中存在多余的信息，稱為冗余度（Redundancy）。因而小波變換的逆變換公式不是唯一的。從分析小波角度看，是一組超完備基函數(shù)，它們之間是線性相關(guān)的。度量冗余度的量稱為再生核再生核就是小波本身的小波變換。再生核度量了小波變換二維空間里兩點(diǎn)與之間的相關(guān)性大小。再生核K作用于小波變換仍得到。（3.24）將逆變換公式（3.6）代入式（3.4）即可證明式（3.24）第四章 離散小波變換連續(xù)小波變換中，中的參數(shù)a和b都是連續(xù)變換的值。實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)是離散序列，a和b也須離散化，成為離散小波變換，記為DWT（Discrete Wavelet Transform）。離散小波變換中的

12、重要問(wèn)題是是否存在逆變換。討論這個(gè)問(wèn)題涉及框架（Frame）理論。因此本章先簡(jiǎn)單介紹函數(shù)空間概念和框架理論的一些有關(guān)結(jié)果，然后介紹離散小波變換、二進(jìn)小波變換和二進(jìn)正交小波變換。4.1 函數(shù)空間及框架概念一 函數(shù)空間1. 預(yù)希爾伯特（Hilbert）空間2. 巴納赫（Banach）空間3. 希爾伯特（Hilbert）空間一個(gè)預(yù)希爾伯特（Hilbert）空間H，在其中定義內(nèi)積為范數(shù)，即，H成為一個(gè)賦范空間，若該賦范空間是完備的，則稱為希爾伯特空間。希爾伯特空間具有優(yōu)良的性質(zhì)，正交性是其中最重要的性質(zhì)之一。正交投影：二 框架概念關(guān)鍵詞：A、B稱為框架邊界；B為實(shí)數(shù)，保證是連續(xù)的，常數(shù)A>0保證

13、了變換是可逆的。若A=B，則稱為緊致框架。關(guān)鍵詞：框架算子，對(duì)偶框架，重構(gòu)定理4.2 離散小波變換信號(hào)的連續(xù)小波變換為對(duì)尺度因子a和平移參數(shù)b進(jìn)行如下的離散采樣：則小波變?yōu)殡x散小波變換定義為寫(xiě)成內(nèi)積形式有（傅里葉變換其實(shí)就是f(t)在各個(gè)eiwt上內(nèi)積和投影，從內(nèi)積和投影的方式理解傅里葉變換）對(duì)于離散小波變換給出如下三點(diǎn)說(shuō)明：（1）等Q結(jié)構(gòu)離散化對(duì)于基本小波的等Q性質(zhì)，對(duì)參數(shù)也做等Q結(jié)構(gòu)離散化，即a增大時(shí)，a的間隔也增大，所以取。同樣地，a增大時(shí)，a延遲時(shí)間也增大，故取b為的整數(shù)倍，即。參數(shù)離散化的小波為時(shí)間采樣為，圖4.2表示采樣點(diǎn)隨a增大的變化。（2）離散小波變換實(shí)際上仍是一系列帶通濾波器

14、，只是帶通濾波器的中心頻率和帶寬由于a的離散采樣而成為一系列的離散值。但是仍然保持恒Q性質(zhì)。濾波后的輸出也因b的離散采樣而成為離散值。（3）離散小波變換的重構(gòu)根據(jù)前述框架理論結(jié)果，當(dāng)為的框架時(shí)，可由離散小波變換恢復(fù)出原信號(hào)，其重構(gòu)公式為（4.5）為的對(duì)偶框架，而4.3 二進(jìn)小波變換在離散小波變換中，一種方便的離散方法是取，所得到的小波和小波變換稱為二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換。如果再取，稱其為二進(jìn)正交小波和二進(jìn)正交小波變換。一、二進(jìn)小波變換設(shè)，若存在常數(shù)A和B，使得(4.6)則稱為二進(jìn)小波。條件（4.6）稱為穩(wěn)定條件。若A=B，則稱為最穩(wěn)定條件。二進(jìn)小波是容許小波?，F(xiàn)證明如下：對(duì)二進(jìn)小波、的二進(jìn)小波

15、變換定義為 （4.9）像證明式（3.23）一樣，很容易證明的傅里葉變換為（4.10）利用式（4.10）和式（4.6）有：（4.11）式（4.11）表明二進(jìn)小波是框架。根據(jù)框架理論結(jié)果，二進(jìn)小波變換可重構(gòu)f(t)。由框架重構(gòu)公式知道，需要給出重構(gòu)小波，為此定義下述方程：（4.12）式中，為重構(gòu)小波，但是它不是唯一的重構(gòu)小波。例如取為很容易證明滿足（4.12），因?yàn)槎M(jìn)小波重構(gòu)的公式為證明：也是一個(gè)二進(jìn)小波，且由于二進(jìn)小波僅對(duì)尺度因子進(jìn)行二進(jìn)離散化，對(duì)時(shí)間域的平移參數(shù)b仍保持連續(xù)，所以二進(jìn)小波變換仍然對(duì)時(shí)間b的連續(xù)取值。二、二進(jìn)正交小波變換設(shè)，且滿足（4.14）為二進(jìn)正交小波。尺度因子和平移參數(shù)按

16、二進(jìn)制離散。，二進(jìn)正交小波為（4.15）在后面的多分辨率分析中將詳細(xì)討論二進(jìn)正交小波。說(shuō)明：（1）在尺度因子和平移參數(shù)離散化過(guò)程中，有很多坐著采用，這種離散化的直觀性是k取值大多對(duì)應(yīng)著高頻，k取值小對(duì)應(yīng)著低頻。但在實(shí)際資料處理時(shí)，是從最高頻率（有奈奎斯特定律確定）向低頻分解。所以采用更為方便。K=0時(shí)為信號(hào)的采樣頻率，k=1時(shí)將頻率二等分，依此進(jìn)行下去。所以采用。（2）至此可將小波變換分類為注： 小波變換分為連續(xù)小波變換，離散小波變換，小波包變換。第五章 多分辨率分析多分辨率分析概念是由S.Mallat和Y.Meyer于1986年提出的，它可將在此之前所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一起來(lái)，使小波理論產(chǎn)

17、生突破性進(jìn)展。同時(shí)，在多分辨率理論分析基礎(chǔ)上，S.Mallat給出了快速二進(jìn)小波變換算法，稱為（Mallat）算法，這一算法在小波分析中的地位很重要，相當(dāng)于快速傅里葉算法（FFT）在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。5.1 康托爾（Cantor）間斷集為了介紹小波變換中的多分辨率分析（Multiresolution Analysis，MRA），采用康托爾集的直觀方法，引入多分辨率分析的思想。一、康托爾間斷集設(shè)，則是一個(gè)長(zhǎng)度等于1的區(qū)間?，F(xiàn)在將單位長(zhǎng)度三等分，去掉中間長(zhǎng)度為1/3的開(kāi)區(qū)間（1/3，2/3），剩下的是左、右各1/3長(zhǎng)度的閉區(qū)間，用表示，則，接著再把中兩個(gè)長(zhǎng)度各為1/3的區(qū)間三等分，去掉中間的

18、1/3部分，其長(zhǎng)度為1/32的開(kāi)區(qū)間，剩下的是，則有它是由個(gè)長(zhǎng)度等于的閉區(qū)間所構(gòu)成，如圖5.1所示，由此繼續(xù)分割下去，就得到一個(gè)無(wú)窮嵌套序列，其中是由個(gè)長(zhǎng)度為的閉區(qū)間所組成，這些集的交集用D記之，則，這就是康托爾間斷集。因?yàn)槭怯蓚€(gè)長(zhǎng)度等于的閉區(qū)間所組成，它的總長(zhǎng)度等于。所以D若是有長(zhǎng)度（測(cè)度）的話，其長(zhǎng)度等于如下極限：與閉區(qū)間同時(shí)存在的是開(kāi)區(qū)間，記為，。不難看出，康托爾間斷集中任意兩個(gè)不同的開(kāi)區(qū)間的交集是空集，說(shuō)明它們是相互正交的，即為了方便，稱下標(biāo)k為康托爾間斷集的尺度。二、康托爾間斷集與希爾伯特空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系由圖5.1很易將康托爾間斷集與希爾伯特空間H聯(lián)系起來(lái)，不難建立二者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為此用H空間的子空間表示康托爾間斷集中的。每次去掉的部分用子空間記之，而每次剩余的部分用子空間表示。顯然，任意兩個(gè)不同的開(kāi)區(qū)間與的交集是，意味著他們彼此正交。同時(shí)與的交集不是，因此與并不正交，在尺度為1時(shí)，分解為與的直和，即，就是在中的正交補(bǔ)空間，改變尺度繼續(xù)分割下去就有，可見(jiàn)，就是對(duì)空間結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)補(bǔ)充。同時(shí)就是在尺度i下對(duì)的基本特性的表征。圖5.1 康托爾間斷集與希爾伯特空間的關(guān)系三、康托爾間斷集的性質(zhì)由圖5.1可以直觀地看出，康托爾間斷集有如下的性質(zhì)：1. ：即分辨率高的空間包含了分辨率的空間的全部信息。2. ，即。3.