高中數(shù)學直線和圓的方程課時教材素材10

1、圓的一般方程 一、教學目標(一)知識教學點使學生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程(二)能力訓練點使學生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導出圓的方程，培養(yǎng)學生用配方法和待定系數(shù)法解決實際問題的能力(三)學科滲透點通過對待定系數(shù)法的學習為進一步學習數(shù)學和其他相關(guān)學科的基礎(chǔ)知識和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)二、教材分析1重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程(解決辦法：(1)要求學生不要

2、死記配方結(jié)果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強這方面題型訓練)2難點：圓的一般方程的特點(解決辦法：引導學生分析得出圓的一般方程的特點，并加以記憶)3疑點：圓的一般方程中要加限制條件d2+e2-4f0(解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件)三、活動設(shè)計講授、提問、歸納、演板、小結(jié)、再講授、再演板四、教學過程(一)復(fù)習引入新課前面，我們已討論了圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+dx+ey+f=0請大家思考一下：形如x2+y2+dx+ey+f=0的方程的曲

3、線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題復(fù)習引出課題為“圓的一般方程”(二)圓的一般方程的定義1分析方程x3+y2+dx+ey+f=0表示的軌跡將方程x2+y2+dx+ey+f=0左邊配方得：(1)(1)當d2+e2-4f0時，方程(1)與標準方程比較，可以看出方程半徑的圓；(3)當d2+e2-4f0時，方程x2+y2+dx+ey+f=0沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形這時，教師引導學生小結(jié)方程x2+y2+dx+ey+f=0的軌跡分別是圓、法2圓的一般方程的定義當d2+e2-4f0時，方程x2+y2+dx+ey+f=0稱為圓的一般方程(三)圓的一般方程的特點請同學們分析下列問題：問題：比較

4、二元二次方程的一般形式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(2)與圓的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0，(d2+e2-4f0)(3)的系數(shù)可得出什么結(jié)論？啟發(fā)學生歸納結(jié)論當二元二次方程 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0具有條件：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零，即a=c0；(2)沒有xy項，即b=0；(3)d2+e2-4af0它才表示圓條件(3)通過將方程同除以a或c配方不難得出教師還要強調(diào)指出：(1)條件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圓的必要條件，但不是充分條件；(2)條件(1)、(2)和(3)合起來是二元二次方程(2)表示圓的充要條件(四)應(yīng)用與舉例同圓的

5、標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2一樣，方程x2+y2+dx+ey+f=0也含有三個系數(shù)d、e、f，因此必具備三個獨立的條件，才能確定一個圓下面看一看它們的應(yīng)用例1 求下列圓的半徑和圓心坐標：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0此例由學生演板，教師糾錯，并給出正確答案：(1)圓心為(4，-3)，半徑為5；(2)圓心為(0，-b)，半徑為|b|，注意半徑不為b同時強調(diào)：由圓的一般方程求圓心坐標和半徑，一般用配方法，這要熟練掌握例2 求過三點o(0，0)、a(1，1)、b(4，2)的圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0，由o、a、b在圓上，則有

6、解得：d=-8，e=6，f=0，故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0例2小結(jié)：1用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標準式或一般式；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或d、e、f的方程；(3)解方程組，求出a、b、r或d、e、f的值，代入所設(shè)方程，就得要求的方程2關(guān)于何時設(shè)圓的標準方程，何時設(shè)圓的一般方程：一般說來，如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程再看下例：例3 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓c1x2+y2-2x+10y-24=0和c2x

7、2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程(0，2)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，因為兩點在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10這時，教師指出：(1)由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標準方程(2)此題也可以用圓系方程來解：設(shè)所求圓的方程為：x2+ y2-2x+10y-24+(x2+y2+2x+2y-8)=0(-1)整理并配方得：由圓心在直線l上得=-2將=-2代入所假設(shè)的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0此法到圓與圓的位置關(guān)系中再介紹，此處為學生留下懸念

8、的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線此例請兩位學生演板，教師巡視，并提示學生：(1)由于曲線表示的圖形未知，所以只能用軌跡法求曲線方程，設(shè)曲線上任一點m(x，y)，由求曲線方程的一般步驟可求得；(2)應(yīng)將圓的一般方程配方成標準方程，進而得出圓心坐標、半徑，畫出圖形(五)小結(jié)1圓的一般方程的定義及特點；2用配方法求出圓的圓心坐標和半徑；3用待定系數(shù)法，導出圓的方程五、布置作業(yè)1求下列各圓的一般方程：(1)過點a(5，1)，圓心在點c(8，-3)；(2)過三點a(-1，5)、b(5，5)、c(6，-2)2求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程3等腰三角形的頂點是a(4，2)，底邊一個端點是b(3，5)，求另一個端點的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么4a、b、c為已知直線上的三個定點，動點p不在此直線上，且使apb=bpc，求動點p的軌跡作業(yè)答案：1(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02x2+y2-x+7y-32=03所求的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+10=0(x3，x5)，軌跡是以4以b為原點，直線