高三數(shù)學不等式證明教案同步教案新人教A版

1、 高 三 數(shù) 學（第9周）【教學內(nèi)容】不等式的性質(zhì)、不等式證明的幾種常見方法 比較法、綜合法、分析法、換元法和放縮法等?！窘虒W目標】不等式的性質(zhì)是不等式證明和求解不等式的理論基礎和前提條件。比較法是證明不等式的最基本的方法，它思維清晰，可操作性強，適用范圍廣泛，在不等式證明中常常采用。比較法通常分兩類：第一、作差與零比較，作差后常需要把多項式因式分解，再由各因式的符號來確定差與零的大??；第二、作商與1比較，但要注意除式的符號，作商后常需把分子分母因式分解后約分再與1進行大小比較。綜合法常常用到如下公式：（1）2ab(a,br) (2) (3)2(a.b>0)(4) (5)利用綜合法證明不

2、等式時常需要進行靈活的恒等變形,創(chuàng)造條件去運用公式。對于不能直接分析出如何用綜合法來證明的不等式，我們可以采用分析法，執(zhí)果索因，從要證明的結(jié)論出發(fā)，去追逆它要成立的條件，得到要證明的結(jié)論就是已知條件或已有的公式，從而說明所證不等式成立。另外，換元法、放縮法等對較復雜的不等式的證明也很有幫助?！局R講解】例1、 設1>2a>0,試比較a=1+a2與b=的大小。解：a-b= = 恒成立.由條件知0<,a-1<0,a-b<0 即a<b.例2、設a.br+,求證aabbabba 分析:這里所證的不等式的左、右兩邊均正，且都為乘積的形式，所以可以考慮作商與1比較，轉(zhuǎn)化

3、為運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來證明。 證明：10當ab時,1,a-b0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知1.20當a>b時,a-b<0,同理可得1, 綜上所述,1即aabbabba.例3、設a>0且a1,m>n>0,求證:. 分析：這類不等式顯然不解直接用綜合法來證明，因此仍考慮用比較法，而所證不等式左、右均為幾個因式的代數(shù)和的形式，因此常采用作差與0比較的方法。證明： =10當0<a<1時,m>n>0,am<an而,(*)式>020當a>1時, m>n>0,am>an , (*)式>0當a>0且 a1時.(*)

4、式恒正,即.例4、設a.b.cr+,求證: 分析：初看上去似乎與基本不等式有關(guān)，但若直接運用基本不等式，僅能得到所證不等式兩端均非負，仍然不能證到原不等式成立。若注意到把兩端括號去掉，則出現(xiàn)了相同項a+b，因此可以考慮用比較法來證明。證明一、 = a.b.cr+, 0,即所證不等式成立.證明二、 =令 a.b.c r+， x,yr+ =(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2) =(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)0 并且僅當x=y即 c2=ab時“=”成立。 .說明:證法一運用了基本不等式,關(guān)鍵是對進行恒等變形,創(chuàng)造條件運用基本

5、不等式;證法二采用了換元法,關(guān)鍵是如何假設變量才解使差式化簡。 例5、當n>2時，求證：logn(n-1).logn(n+1)<1 證明：n>2. logn(n-1)>0.logn(n+1)>0 logn(n-1).log(n+1)< = 原不等式成立. 說明:該題所證的結(jié)論即為n>2時,logn-1n>logn(n+1),此結(jié)論應記住,它對我們今后的學習也是很有幫助的,由它可以得到一連串不等式:log2324>log2425>log2526>lup2627>。 例6、設a.b.cr+,求證:.分析:如果把因式a+b+c乘

6、到括號內(nèi),則所證不等式左邊較復雜,很難看出用什么方法去證明,若我們注意分析該不等式左邊的特征,它與三個變元的均值不等式的左邊很類似,再聯(lián)想到結(jié)論:當x.y.zr+時, 9就不難得到證明了.證明:a.b.cr+ 而2(a+b+c)=( a+b)+(b+c)+(c+a)9即.說明:掌握了此類不等式的證明方法后,與此類似的不等式,如10若a.b.cr+ 且a+b+c=1求證: 20若a.b.cr+,則等等就不難證明了. 例7、已知：a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,nn求證:a1x1+a2x2+anxn1 證明:a12+x122a1x1 , a22+x222a2x2an2+xn

7、22anxn,相加得, (a12+a22+an2)+(x12+x22+xn2) 2(a1x1+anxn) 即a1x1+a2x2+anxn1. 例8、若a3,求證： 證法一：若證原不等式成立，只要證成立，要證此不等式成立，只要證a2-3a<a2-3a+2,即證0<2,而此式顯然成立,又以上各步均可逆 ,原不等式成立.證法二:若證原不等式成立,只要證成立,只要證 成立,而此式顯然成立, . 例9、已知a>b>0,求證：證明：若證原不等式成立，只要證：，只要證明 ，只要證，只要證 ，只要證只要證即證即證成立，a>b>0的此式顯然成立,又以上各步均可逆,原不等式成立

8、. 例10、若，則。證法一、要證只要證，只要證即證： , (*)式成立,原不等式成立證法二、如圖，設a（1,a）,b(1,b),則，由于三角形兩邊之差的絕對值小于第三邊， y a(1,a) o 1 x b(1,b)即， 說明:證法一是運用分析法證明的,在對變形時采用了分子有理化的手段,這種變形方法有著較廣泛的運用,證法二是構(gòu)造了一個三角形,其三邊恰好分別是、，然后借助于三角形本身的關(guān)系來證明，這種通過構(gòu)造圖形的方法，往往可以化難為易，化繁為簡，體現(xiàn)了數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合的思想，要引起我們高三復習時注意。【每周一練】（一） 選擇題： 1、如果0<a<，下列各式中正確的是（ ）a、loga

9、(1+a)>1 b、（1-a）n<an,nn c、當f(x)=2x2-3x時，f(a)>f(1-a)d、cos(1+a)-1<cos(1-a)-1 2、若 a>b>c,則下列不等式成立的是（ ）a、ab>ac b、 c、 d、a-bc>b(1-c) 3、已知x,a,br,則下列不等式: x2+3>2x, a5+b5>a3b2+a2b3, a2+b22(a-b-1), 2中恒成立的是 ( )a、 僅和 b、僅和 c、僅和 d、全部 4、若0<a<1,0<b<1,則a+b,2,a2+b2，2ab中最大的是（ ）a、

10、a2+b2 b、a+b c、 d、2ab 5、設x,x+2,x+4是一個鈍角三角形的三條邊，則x的取值范圍是（ ）a、3<x<6 b、2<x<6 c、x>2 d、0<x<6 6、xr，則的（ ）a、必要條件 b、充分條件 c、充要條件 d、既不充分也不必要條件 7、設0 <2a<1,m=1-a2,n=1+a2,p=那么（ ）a、q<p<m<n b、m<n<q<p c、q<m<n<p d、 m<q<p<n 8、設a和b是不相等的正數(shù)，則（ ） a、 b、c、 d、二、填空

11、題： 9、若a>1,那么m與n的關(guān)系是 10、a>b的充要條件是 11、用不等號把連接起來為 12、設與2的大小關(guān)系是 13、的 條件。 14、當0x的取值范圍是 15、若p,qr+且a=p3+q3,b=p2q+pq2則a,b的大小關(guān)系是三、證明題 16、求證：3(a2+b2+c2)(a+b+c)2. 17、設a>0且a1,t>0,試比較的大小，并證明你的結(jié)論。 18、若a1,b1求證：a2+b2ab+a+b-1 19、已知x,y,zr求證:x2y2+y2z2+z2x22cyz(x+y+z) 20、設a>b>0,求證：3. 21、若a+b=1,求證：2 22、a,b,cr求證： 23、已知a,b,c為不相等的正數(shù)，且abc=1求證： 24、若a+b+c=1，且a,b,c均為非負實數(shù)，求證： 25、設求證：【每周一練答案