數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯(cuò)題會診與高考試題預(yù)測16

1、經(jīng)典易錯(cuò)題會診與2012屆高考試題預(yù)測（十六）考點(diǎn)16復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算經(jīng)典易錯(cuò)題會診命題角度 1復(fù)數(shù)的概念1（典型例題）若z1=a+2i,z2=3-4i,且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_.考場錯(cuò)解 z1+a+2i,z2=3-4i,又為純虛數(shù)。a=.填。專家把脈 復(fù)數(shù)z=a+bi(a,br)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b0.因此上面解答雖然答案是正確的，但解答過程錯(cuò)了，在由解得a=時(shí)還需滿足。對癥下藥z1=a+2i,z2=3-4i,為純虛數(shù)，解得a=。填。2（典型例題）z=的共軛復(fù)數(shù)是 （ ）a+i b-ic1-i d1+i考場錯(cuò)解 選c z=1+

2、i.z為純虛數(shù)為1-i專家把脈 z=1+i是錯(cuò)誤的，因?yàn)椋?-i）(1+i)=1-(i)2-z1對癥下藥 選b z=z=的共軛復(fù)數(shù)是-i。3（典型例題）已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2=t+i,且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t= （ ）a b c- d-考場錯(cuò)解 選c z1·r=0。即（3+4i）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0t=-.專家把脈 zr=z.z為純虛數(shù)z+=0(z0)因此上面解答應(yīng)用的是z為純虛數(shù)的充根條件，因而求出的t是z1為純虛數(shù)的結(jié)果，顯然是錯(cuò)誤的。對診下藥 解法1：z1=（3+4i）(t-i)= (3-4i)(t+i)z1為實(shí)數(shù)，4t-3=0，t=.解法2：z1 r，z1=

3、 （3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)（3t+4）+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i4t-3=3-4tt=.4（典型例題）已知z是復(fù)數(shù)，z+2i,均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)（2+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限。求實(shí)數(shù)a的取值范圍?？紙鲥e(cuò)解 設(shè)z=x+yi(x,yr),z+2i=x+(y+2)i由題意得 y=-2.(x+2)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由題意得x=4,z=4-2i.(z+ai)2=4+(a-2)i2=(12+4a-a2)+8(a-2)i(z+ai)2在復(fù)平面上的點(diǎn)在第一象限，解得2a6.實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，6。專家把脈 復(fù)數(shù)z=a+

4、bi(a、br)對應(yīng)點(diǎn)（a、b）在第一象限的充要條件是a>0,b>0. a=0對應(yīng)點(diǎn)在虛軸上；b=0對應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上，不屬于任何象限，因此，a2，b6。對癥下藥 設(shè)z=x+yi(x、yr).z+2i=x+(y+2)i由題意得，y=-2.又(2x+2)+(x-4)i.由題意得：x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i根據(jù)條件，可知 解得2<a<6.實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，6）。專家會診1深刻理解復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、模、輻角、輻角主值、共軛復(fù)數(shù)的概念和得數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=a+bi(a,br)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（a、b）及向量是一一對應(yīng)的，

5、在對概念的理解時(shí)要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，如純虛數(shù)與虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)，實(shí)數(shù)與實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)，復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。2要善于掌握化虛為實(shí)的轉(zhuǎn)化方法，即設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,br)，但有時(shí)給許多問題的求解帶來不必要的運(yùn)算困難，而若把握復(fù)數(shù)的整體性質(zhì)運(yùn)用整體運(yùn)算的思想方法，則能事半功倍，同時(shí)要注意復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用?？紙鏊季S訓(xùn)練1 若復(fù)數(shù)(ar，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 （ ）a-2 b4 c-6 d6答案： c 解析：2 復(fù)數(shù)z=-1，在復(fù)平面內(nèi)，z所對應(yīng)的點(diǎn)在 （ ）a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案： b 解析：z=3 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則|1+z|=

6、（ ）a0 b1 c d2答案： c 解析：由|1+z|=|1-i|=4 已知復(fù)數(shù)z1滿足（1+i）z1=-1+5i，a2=a-2-i.其中i為虛數(shù)單位，ar。若|z1-|<|z1|，求a的取值范圍。答案：解：由題意得由1<a<7.命題角度 2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算1（典型例題）復(fù)數(shù)= （ ）ai b-ic-2-i d-2+i考場錯(cuò)解 選c專家把脈 上面解答錯(cuò)誤認(rèn)為i2=1.導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。對癥下藥 a 解法1： 故選a。解法2：2（典型例題）復(fù)數(shù)的值是 （ ） a-16 b16c- d8-8 考場錯(cuò)解 選d。 選d。專家把脈 上面解答似乎很有“道理”，但（-+）5=（-+）3是

7、錯(cuò)誤的zmn=(zm)n在數(shù)范圍內(nèi)，必須是m、n均正整數(shù)時(shí)才成立，這一錯(cuò)誤是機(jī)械地照搬實(shí)數(shù)集中分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，所以對于數(shù)學(xué)中的有關(guān)定理、定義、法則、性質(zhì)等，在應(yīng)用時(shí)，必須注意成立的條件，否則會產(chǎn)生錯(cuò)誤。對癥下藥 選a。原式=3 滿足條件|z-i|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 （ ）a一條直線 b兩條直線 c圓 d橢圓考場錯(cuò)解 選a。 由|z-i|=|3+4i|知z在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是點(diǎn)（0，1）和（3，4）的垂直平分線。專家把脈 上面解答把條件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.這類型題應(yīng)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,yr)代入計(jì)算才能確定答案。對癥下藥 選c。設(shè)

8、z=x+yi(x,yr)代入|z-i|=|3+4i|中計(jì)算得即x2+(y-1)2=25.z的軌跡是表示以（0，1）為圓心，以5為半徑的圓，選c。4（05，上海卷）證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程|z|2+（1-i）-(1+i)z=(i為虛數(shù)單位)無解?？紙鲥e(cuò)解 |z|=|，原方程化簡為：兩邊取模的：|z|2+（1-i-1-i）|z|=|1-3i|=.|z|2-2i|z|=|z|2-=2i|z|。 |z|r。 |z|2-r 而2i|z|為純虛數(shù)或0。當(dāng)|z|=0。顯然不成立；當(dāng)2i|z|為純虛數(shù)，也不成立。綜合得：原方程無解。專家把脈 以上解答錯(cuò)在兩邊取模的計(jì)算，因?yàn)閨z1+z2|=|z1|+|z2|，

9、只有當(dāng)z1=z2（r+）時(shí)成立，而從題設(shè)條件中是無法得到這一條件的。對癥下藥 原方程化簡為|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.設(shè)z=x+yi(x,yr),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=1-3i將（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0 (*)=-16<0,方程（*）無實(shí)數(shù)解。原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無解。專家會診1復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行2求解計(jì)算時(shí)，要充分利用i、w的性質(zhì)，可適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化i、w轉(zhuǎn)化的計(jì)算問題。3在復(fù)數(shù)的求解過程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和運(yùn)用。考場思維訓(xùn)練1 （ ） a-2-i b-2+ic2-i d2+i答

10、案： c 解析：2 z=i+i2+i3+i4的值是 （ ）a-1 b0 c1 di答案： b解析：z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.3 答案：4 已知復(fù)數(shù)z=1+i，求實(shí)數(shù)a、b,使az+2b=(a+2z)2.答案：解：z=1+i,代入az+2b得a(1+i)+2b(1-i)=(a+2+2i)2即a+2b-(a+2)2+4+(-3a-2b-8)i=0.5 設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z和w滿足zw+2iz-2iw+1=0(1) 若z和w又滿足-z=2i，求z和w值。答案： （2）求證：如果|z|=，那么|w-4i|的值是一個(gè)常數(shù)，并求這個(gè)常數(shù)。答案：由wz+2iz-2iw+1=0有z(w+

11、2i)=2iw-1|z|w+2i|=|2iw-1|設(shè)w=x+yi,則有又|z|=3,故式可變?yōu)?(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1,x2+y2-8y=11.探究開放題預(yù)測預(yù)測角度 1復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用下列命題中：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；（2）若z=a+bi，則當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b0時(shí)，z為純虛數(shù)；（3）（z1-z2）2+（z2-z3）2=0，則z1=z2=z3；（4）x+yi=1+ix=y=1;（5）若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛集一一對應(yīng)。其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 （ ）a0 b1 c2 d3解題思路 關(guān)鍵是理解復(fù)數(shù)及其有關(guān)的概念，證明它們之間的關(guān)系，若對復(fù)數(shù)概念理解不透徹，

12、導(dǎo)致判斷失誤。解答 選a 都不正確：（1）因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小；（2）若b=i時(shí)，則有z=0+i2=-1r。（3）只有當(dāng)z1、z2、z3r時(shí)，命題才成立，當(dāng)z1=1，z2=0，z2=i滿足條件，故結(jié)論不成立。（4）只有當(dāng)x、yr時(shí)，命題才正確。（5）若a=0，則a·i=0,不再是純虛數(shù)。2復(fù)數(shù)z=log2(z2-3x-3)+ilog2(x-3),當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時(shí)。（1）zr；（2）z為虛數(shù)；（3）z為純虛數(shù)；（4）=log449-i;（5）在復(fù)平面上z的對應(yīng)點(diǎn)們于第三象限。解題思路 討論此類問題時(shí)，首先將原式化為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,br)的形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求解

13、。解答 （1）一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0，解得x=4,當(dāng)x=4時(shí)，xr。（2）一個(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部非0。解得<x<4或x>4即x(,4) (4,+ )時(shí)，z為虛數(shù)。（3）一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則其實(shí)部為零且虛部不為零。即x不存在。（4）log2(x2-3x-3)-ilog2(x-3)=log49-i,根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件：解得x=5，當(dāng)x=5時(shí)，=log449-i.（5）依題意有解得<x<4當(dāng)<x<4時(shí)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限。預(yù)測角度 2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算1計(jì)算：（1）（2）解題思路 利用w的性質(zhì)和in的周期性進(jìn)行運(yùn)算。解答（1

14、）原式=（2）原式=2設(shè)復(fù)數(shù)z=，若z2+az+b=1+i,求實(shí)數(shù)a、b的值。解題思路 與實(shí)數(shù)集中求值問題類似，應(yīng)先化簡后代入求值。解答z=將z=1-i代入z2+az+b=1+i得（1-i）2+a(1-i)+b=1+i即(a+b)-(a+b)i=1+i3.若zc，且|z+2-2i|=1,則|z+2-2i|的了小值是 （ ）a2 b3c4 d5解題思路運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解。解答 b|z+2-2i|=1,即|z-(2+2i)|=1點(diǎn)z的軌跡是以（-2，2）為圓心，以1為半徑的圓|z-(2+2i)|表示圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)a（2，2）的最小距離|ap|=|ac|-1=4-1=3。4 設(shè)z是虛數(shù)，w=z+

15、為實(shí)數(shù)，且1-<w<2.（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍。（2）設(shè)u=，求證：u為純虛數(shù)。（3）求w-u2的最小值。解題思路 設(shè)z=a+bi(a,br,b0)代入w整理為w=x+yi形式w是實(shí)數(shù)的條件去創(chuàng)造等量關(guān)系。解答（1）設(shè)z=a+bi(a,br,b0)w=a+bi+w是實(shí)數(shù)，b0.a2+b2=1,即|z|=1。w=2a,-1<w<2.z的實(shí)部的取值范圍是（-，1）（2）u=又a(-，1), b0,u為純虛數(shù)。（3）w-u2=2a+.2(a+1)=即a=0 (-，1)時(shí)，上式等號成立。w-u2的最小值為1。考點(diǎn)高分解題綜合訓(xùn)練1 已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=

16、1+i,則z1·等于 （ ）a7+i b7-i c1-7i d1+7i答案： a解析：由z2=1+i得2 在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)向量=（x1,y1）, =（x2,y2），設(shè)復(fù)數(shù)z1=x1+y1i(x1,y1,x2,y2r)則·等于 （ ）az2+z1bz2-z1c（z2-z1）d（z2+z1）答案： d解析：3 若復(fù)數(shù)z滿足|z+1|=|z-i|，則z在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)集合構(gòu)成的圖形是 （ ）a圓 b直線 c橢圓 d雙曲線答案： b解析：|z+1|表示z對應(yīng)的點(diǎn)到(1，0)的距離，|z-i|表示z到對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的距離， |z+1|=|z-i|表示復(fù)平面內(nèi)到(-1

17、,0)和(0,1)距離相等的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)(-1,0)和(0,1)連結(jié)的垂直平分線，選b4 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（z+i）·z=1-2i3，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi) （ ）a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案： a解析：由(2+i)z=1-2i3,i3=-i.可得z=5 = （ ）a+i b-ic-+i d-i答案： c解析：6 的值為 （ ）a.2 b.-2c.0 d.1答案： b解析：7 當(dāng)z=時(shí)，z100+z50+1的值等于 （ ）ai b-i c1 d-1答案： b解析：8 已知z1=，中z2·的值是 （ ）a10 bc d答案： b解析：z1=9 定義運(yùn)算

18、=ad-bc,若復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yr)滿足的模等于x，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)z（x,y）的軌跡方程為_.答案：10 （1-）10的展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為_.答案：(1-i)10的展開式中各奇數(shù)項(xiàng)和為-29.11 已知z2=5-12i，求f(z)=z-的值。答案：解：設(shè)z=z+yi(x1yr),則z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi 由題設(shè)得x2-y2+2xyi=5-12i.z=3-2i或z=-3+2i,|z|2=13.f(z)=z-=z-當(dāng)z=3-2i 時(shí)，f(z)=(3-2i).當(dāng)z=-3+2i時(shí)，f(z)=-(3-2i)12 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且（3+4i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二